2025年大专成考通关攻略综合能力测评答案详解篇

【高等数学基础】形成性考核册答案

【高等数学基础】形考作业1答案：

第1章函数

第2章极限与持续

(-)单项选择题

1.下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.

A./(x)=(Vx)2,g(x)=xB.f(x)=E,g(x)=x

j.2

C./(x)=InX3,g(x)=3\nxD.f(x)=x+\,g(x)=----

x-\

分析：判断函数相等的两个条件(1)对应法则相似(2)定义域相似

A、/(x)=(Vx)2=x,定义域｛x|xNO｝；g(x)=x,定义域为R

定义域不一样，因此函数不相等：

B、f(x)=47=\x\,g(x)=x对应法则不一样，因此函数不相等；

C、f(x)=inx3=3Inx,定义域为｛x|x>0｝,g(x)=3lnx,定义域为｛x|x>0｝

因此两个函数相等

V2—1

D、/(x)=x+1,定义域为R；^(x)=-——-=x+],定义域为R,xw1｝

定义域不一样，因此两函数不等。

故选C

2.设函数/(X)的定义域为(-8,+8),则函数/(x)+/(—x)的图形有关(C)对称.

A.坐标原点B.无轴

C.y轴D.y=x

分析：奇函数，/(-X)=-/(A-),有关原点对称

偶函数，/(-x)=/(x),有关y轴对称

)，=/(x)与它的反函数y=(x)有关y=%对称，

奇函数与偶函数的前提是定义域有关原点对称

设ga)=/(x)+/(-x)，则g(-x)=/(r)+〃x)=g(x)

所认为g(6=/(可+/(-力偶函数，即图形有关y轴对称

故选C

3.下列函数中为奇函数是(B).

A.y=ln(l+^2)B.y=xcosx

ax+a~x...、

C.y=-------D.y=ln(l+x)

2

分析：A、y(-x)=ln(l+(-x)2)=In(1+x2)=y(A:),为偶函数

B、y(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-^(x),为奇函数

或者X为奇函数，COSX为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数

C、y(-x)=a=y(x),所认为偶函数

D、y(-.r)=ln(l-.r),芈奇非偶函数

故选B

4.下列函数中为基本初等函数是(C).

A.y=x+1B.y=-x

分析：六种基本初等函数

(I)y=c(常值)------常值函数

(2)y=为常数一一帚函数

(3)y="(a>O,awl)-----指数函数

(4)y=k)g“x(4>()MH1)-----对数函数

(5)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx-----三角函数

y=«/rsinx,[-l,l],

(6)y=«/rcosx,[-lj],---反三角函数

y=arctanx,y=arccotx

分段函数不是基本初等函数，故D选项不对

对照比较选C

5.下列极限存计算不对的的是(D).

r2

A.lim—....=1B.limln(l+x)=0

NTOO厂+2X->0

八「sinx八-.1

C.lim----=()D.limxsin—=0

KTOOXX

分析：A、已知lim」-=0(〃>0)

…£

hm—---=hm—----=lim-----=----=1

工e+2xxr2I*1,2l+0

+1+r

X2厂

B、limln(l+x)=ln(l+0)=0

.r->0

初等函数在期定义域内是持续的

一..sinx1.八

C、lim----=hm—sinx=O

XT8%X

x->8时，,是无穷小量，sinx是有界函数,

x

无穷小量X有界函数仍是无穷小量

.1

1sin-]•

D、limxsin—=lim—令，=--->0,xf8,则原式二出力-^-

XTy'X]XZ->0f

X

故选D

6.当戈―0时,变量(C)是无力小量.

sinx1

A.----B.-

xx

.1

c.xsm—D.ln(x+2)

x

分析；岬J/(X)=O,则称/(x)为时的无穷小量

A、lim—=1,重要极限

.t->0x

B、lim-=oo,无穷大量

C、limxsin—=0,无穷小量xx有界函数sin—仍为无穷小量

x

D、limln(x+2)=ln(0+2)=ln2

故选C

7.若函数/(x)在点X。满足(A),则/(A)在点x0持续。

A.limf(x)=/(x)B./(x)在点/的某个邻域内有定义

Xf%0

C.lim/(x)=/(x0)D.lim/(x)=limf(x)

>XQ.r—>.VQA—

分析：持续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点持续即lim/(x)=/(x。)

Xf%

持续的充足必要条件limfa)=/(%)olim/(x)=lim/(x)=/(x0)

.V->AQ.V-片—>的一

故选A

(-)填空题

1•函数f(x)=+ln(1+x)的定义域是—{x|戈>3}.

人一D

分析：求定义域一般遵照的原则

(1)偶次根号下的量之0

(2)分母的值不等于0

(3)对数符号下量(真值)为正

(4)反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值不不小于等于I

jr

(5)正切符号内的量不能取匕r±5(4=01，2)

然后求满足上述条件的集合的交集,即为定义域

yjx1-9

f(x)=-—:+ln(l+x)规定

x-3____

V-9>0卜之3或x<-3___________

•x-3w0得<xw3求交集一371:j____

l+x>0x>—1

定义域为{x|x>3}

2.已知函数/(X+l)=，+x,则二x2-X.

分析：法一，令r=x+l得x=r-1

则/Q)=«_1)2+«_[)=/则/(力=12_(

法二，/(x+l)=x(x+l)=(x+l-l)(x+l)因此=

3.1im(l+—)r=________.

x2x

将梯形的面枳表到达其高的函数.

C

设梯形ABCD即为题中规定的梯形，设高为h,即OE=h,下底CD=2R

直角三角形AOE中，运用勾股定理得

AE=ylo^-OE2=JR?-层

则上底=2AE=2jR2-万

故S=^・(2R+2正_叫=/?(/?+V/?2-/r

.sin3x

4.求lun--------.

1。sin2x

sin3xsin3x

--------x3x

痴，..sinjx..3v3rJ1JJ

解：hm---------=lim—-x-----------=lrim—r丝一x——-x—=—

zsin2x5sin2x_—osin2x2122

--------x2x--------

2x2x

5.求lim----------

Xgsin(x+1)

函x"—1..(x—l)(x+1)x—1-1-

解：lim------------=lim-----------------=lim———=——

x-*-'sin(x+l)x"sin(x+l)x»isin(x+l)1

x+1

6.求lim0

3X

tan3x..sin3x1..sin3x1.,1今今

解：hm--------=hm------------------=hm--------x---------x3=lx-x3=3

r

zx.v->oxcos3x-->03xcos3A:1

十].V1+x2—1

7.求lim---------------.

I。sinx

lim正Zzl]而(巧口(正Z112A

解==lim,---------

2

XT。sinx-。(VI+x+l)sinx^(Vl+x^Dsinx

lim-----------------：——==0

5(后了+产(-I)*

X

X—1

8.求lim(=>)].

iRx+3

r_ii--d--r[d+—rT/

解：lim(-----)r=lim(—y)'=lim-------—=lim--------―：——=—

丫+3x-»8,3x->oo3\xx-»xi-_p

1+-(1+-)[(1+-)313

XXX

3

9求lim'二F+g

14x'-5x+4

lin/「6工+8(^4)(A-2)二L士二

解:=lim

7jr-5x+4(x-4)(x-l)x-\4-13

10.设函数

（x-2）2,x>l

/（x）="x,-1<x<l

x+1,x<-\

讨论/（木）的持续性，并写出其持续区间.

解：分别对分段点x=-l,x=l处讨论持续性

(I)

limf(x)=limx=-\

X+1+')N+1+

=-14-1=0

因此帆/（x）工凿/（X）,即在x=-l处不持续

（2）

./（X）=既（7）2=（1-2）2=1

lim/（A：）=limx=l

/0）=1

因此叫1/（力=岬=（尤）=/⑴即/'（X）在X=1处持续

由（1）（2）得/（x）在除点工=一1外均持续

故/（"的持续区间为（f-1）」（一1,转）

【高等数学基础】形考作业2答案:

第3章导数与微分

(-)单项选择题

1.设/(0)=0且极限1血/^存在，则描"»=(C).

.r->0x*->0%

A./(0)B./(0)

C.f'(x)D.Ocvx

2.设/(x)在/可导，则呵/X。一『"，、=(D).

A.-2"/)B./30)

C.2;(%)D.-广(%)

3.设f(x)=e\则lim/(I+斓-/⑴=(A).

-AJC

A.cB.2e

_11

C.—eD.-e

24

4.设/(x)=x(冗—D(x—2)…(x—99),则/'(0)=(D).

A.99B.-99

C.99!D.-99!

5.下列结论中对的的是(C).

A.若/(A)在点x0有极限，则在点/可导.

B.若/a)在点与持续，则在点与可导.

C.若jf(x)在点xQ可导，则在点xQ有极限.

D.若/(A)在点与有极限，则在点与持续.

(二)填空题

L设函数而T"0,则/(0)=o.

0,x=0

2.设f(er)=e2x+5e\则叟3R=十二.

dxxx

3.曲线/a)=4+1在(1,2)处的切线斜率是k=g

4.曲线f(x)=sinx在(四，1)处的切线方程是y=gx="(1-7)

4224

5.设y=x2x,则y=2X2X(\+Inx)

e.设)，=xlnx,则)，"二'

x

(三)计算题

L求下列函数的导数)，'：

<l)y=(xVx+3)eAyf=(x2+3)e'+-x2e'

<2)y=cotx+x2Inxy'=-esc2x+x+2xln犬

0、/,2x\nx+x

⑶y=—y'=---；——

InxIn-x

cosx+2',x(-sinx+TIn2)-3(cosx+2')

⑷)，=-----y=-----------------------------

TX

1,

[2sinx(—2x)—(Inx—x)cosx

—inx—x,x

⑸)，=-------y=----------------------------

sinxsin'x

八4-i，-sinxi

<6)y=x-sinxlnxy=4x-------cosxlnx

x

_、sinx+x.3r(cosx+2x)-(sinx+x2)31In3

⑺),二三")'=

32x

ex1

<8)y=eAtanx+\nxyf=extanx+------+—

''COS~XX

2.求下列函数的导数），':

⑴y=e'k

⑵y=InCOSJV5

/—sinx32Q2*3

y=-------3ox=-3xtanx

cosx

⑶y=dXyj

7

y=x8

-8

⑷)，=Jx+6

i1zli-1

=-(x+x2)3(1+—x2)

(5)y=cos2ev

yf=-exsin(2ev)

2

<6)y=cose「

2

yf--2xexsinex

(7)y=sin"xcosnx

yr=〃sin"ixcosxcos〃x-〃sin“xsin(mr)

5sinx

y=2%m53/5水

⑼y=es"x

y'=sin2x*2x

22

ao)y=+e”"

22

yr=xx(x+2xlnx)+2xex

vA

<ii)yxe+ee

yf=(―--ke'Inx)+eeex

x

3.在下列方程中，)，=y(x)是由方程确定的函数，求丁：

⑴ycosx=e2v

y'cosx-ysinx=2e2yy'

,_ysinx

'COSX-262V

⑵y=cos)Hnx

y*=siny.y'In+cosy.一

'x

,cosy

y=；

x(l+sinyInx)

2

x

⑶2工siny=—

y

2yx-x2yrx粤-2siny

2xcosy.y'+2siny=>,,(2xcosy+—

2

yy

,_2xy-2ysiny

2xy2cosy+x2

⑷y=x+Iny

)/上+1

y

\.，一

)一i

y-l

(5)Inx+e'=y2

—+eyy'=lyy'

x

1

y一；-

x(2y-ey)

<6)y2+\=e'siny

lyy'=excosy.yr+siny.ex

,exsiny

y-

2y-excosy

<7)ev=eA-/

e'j/="—3y2v

V=1+3)，2

e

⑻)，=5*+2、'

/=5'In5+yr2yIn2

,5'In5

y=---------

-l-2yln2

4.求下列函数的微分dy：

<l)y=cotx+cscx

-1cosx

dy=(-2----「~)dx

cosxsinx

Inx

<2)y-

sinx

-sinx-lnxcosx

dy=--------；-------dx

sin"

\—x

⑶y=arcsin

1+x

dy=

⑷，=

V1

两边对数得：Iny=-[ln(l-x)—ln(l+A)]

)，3\-x1+x

,iii、

y=_OAH—(i—+\—)

3V1+x1-x1+x

⑸y=sin2er

dy=2sinexexexdx=sin(2ex)exdx

⑹y=tane1

dy=sec2ex3x2dx=3x2e'sec2xdx

，求下列函数的二阶导数:

⑴y=xlnx

)/=1=Inx

)'“二一1

x

⑵y=xsinx

y'=xcosx+sinx

y"=-xsinx+2cosx

⑶y=arctanx

l+x-

“一2x

J■■(TT7F

⑷y=3V

v=2x3,ln3y"=4/3/In23+21n3-3x2

(四)证明题

设/(x)是可导的奇函数，试证/'(X)是偶函数.

证：由于f(x)是奇函数因此/(-%)=-f(x)

两边导数得：=-f\x)nfX-x)=f(x)

因此尸(x)是偶函数。

【高等数学基础】形考作业3答案:

第4章导数的应用

(-)单项选择题

1.若函数/1)满足条件(D),则存在份，使得/&)=/("―/⑷

b-a

A.在(a,Z?)内持续B.在(a,Z?)内可导

C.在(a,〃)内持续且可导D.在内持续，在(a,Z?)内可导

2.函数/(©=/+4x—l的单调增长区间是(D).

A.(-8,2)B.(—1,1)

C.(2,+co)D.(-2,4-oo)

3.函数y=/+4%_5在区间(_6,6)内满足(A).

A.先单调下降再单调上升B.单调下降

C.先单调上升再单调下降D.单调上升

4.函数f(x)满足尸(x)=0的点，一定是/(幻的(C).

A.间断点B.极值点

C.驻点D.拐点

5.设/(幻在(凡与内有持续的二阶导数，xoe(a,b),若/(x)满足(C),则/*)在/取到极小

值.

A.广(/)>o,r(xo)=oB.f\x.)<o,3(/)=o

c.r(xo)=o,r(xo)>oD./'(/)=ojgvo

6.设/(x)在(凡与内有持续的二阶导数，且广(x)<0,/〃(x)<0,则/(x)在此区间内是(A).

A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的

C.单调增长且是凸的D.单调增长且是凹的

(二)填空题

L设/(不)在3,8)内可导，%€(〃，〃)，且当XV/时ra)〈o,当一>/时r(x)>o,则％是

fix)的极小值点.

2.若函数/(X)在点X。可导，且人是/(X)的极值点，则/"0)=①.

3.函数y=ln(l+x2)的单调减少区间是(—8,0).

4.函数/(x)=e*的单调增长区间是(0,+oo)

5.若函数/(X)在［a,8］内恒有广(幻<0,则f(x)在数，切上的最大值是小⑷.

e.函数/(r)=2+5.r-3r3的拐点是x=0

(三)计算题

L求函数)，=(x+1)(x—5)2的单调区间和极值.

令)，'=(X+1)2(X+5)2=2(X-5)(X-2)

=驻点x=2,x=5

X(-8,2)2(2,5)5(5,+oo)

y+极大-极小+

y上升27下降0上升

极大值：/(2)=27

极小值:/(5)=0

2.求函数)，=/-2工+3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值.

令：y=2x-2=0nx=l(9主点)

/(0)=3/(3)=6/(1)=2

n最大值/(3)=6

=最小值/(1)=2

3.试确定函数+灰2-以+〃中的,使函数图形过点(一2,44)和点(1,一10),且

x=-2是驻点，x=l是拐点.

44=-泌+48-2x+da=\

-\0=a+b+c=dh=-3

解：<n<

0=\2a-4b+cc=16

0=6a+2b[d=-24

4.求曲线),2=2x上的点，使其到点42,0)的距离最短.

解：设p(x,y)是V=2x上的点，d为p到A点的距离，则:

d=J(R-2)2+)，2=J(X-2)2+2X

令d'="义+2=1=()m

2,yj(x—2)~+2xJ(x—2)~+2x

/.=2%上点(1,2)到点4(2,0)的距离最短。

5.圆柱体上底的中心到下底的边缘的距离为L,问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大?

设园柱体半径为R,高为h,则体积

V=7rR2h=7r(l}-h2)h

出

令：V'=7c{h(-lh)+1}-h'}=TT[I}-3/?2]=0nL=®ih=­L

3

7?=J|A当h=W，R=gL时其体积最大。

6.一体积为V的圆柱体，间底半径与高各为多少时表面枳最小？

设园柱体半径为R.高为h,则体积

、V,

V=7iR-hS表面积=2威力+2欣-=2—+2成2

R

令：S'=-2VR2+4成=0=>-^―=R、nR=

2乃

7.欲做一种底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开II容器，怎样做法用料最省?

S：设底连长为x,高为h。则：

62.5=x2h=>力=喀

x

250

测面积为：S=X24-4A7?=X2+—

X

750

令S'=2x-然=0nj?=i25=x=5

x

答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。

(四)证明题

1.当x>0时，证明不等式x>ln(l+戈).

证：由中值定理得：1n(l+犬)=ln(l+x)-lnl=J<](•.•J>0)

X(1+X)-1l+J

n""+')<1=>x>ln(l+x)(当x>(M)

x

2.当人>0时，证明不等式e、>人+1.

设/3)="-(%+1)

f\x)=ex-\>0(当x>Oj)n当x>断"⑴单调上升且/(0)=0

/(x)>0,即/>(x+1)证毕

【高等数学基础】形考作业4答案：

第5章不定积分

第6章定积分及其应用

(-)单项选择题

L若/⑴的一种原函数是L则/'(%)=(D).

X

「I1c12

A.In区B.-C.—D.——

XXX

2.下列等式成立的是(D).

A”(x)dr=f(x)B.jdf(x)=f(x)C.djf(x)d.K=f(x)D.jf(x)dx=f(x)

3.若f(x)=cosx,则j/'(x)dLt=(B).

A.sinx+cB.cosx+cC.-sinx+cD.—cosx+c

4.一lx2f(x3)dx=(B).

drJ

A./(x3)B,x2/U3)C.1/(x)D.l/(x3)

氏若J/(x)(lr=/(x)+c，则