2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练）（试卷版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）含答案

2.3函数的对称性、周期性、图像（精练）（试卷版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）2.3函数的对称性、周期性、图像（精练试卷版）一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。1．（2024·河南·模拟预测）函数图象的对称中心是（

）A． B． C． D．2．（2025·广东·一模）若函数关于直线对称，则（

）A．1 B．3 C．5 D．73．（2025·天津河西·一模）已知函数，则（

）A．为奇函数 B．为偶函数C．为奇函数 D．为偶函数4．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2025·湖南长沙·二模）函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．6．（2024·江西景德镇·一模）函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（

）A． B．C． D．7．（23-24宁夏银川·期中）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．8．（2025北京）已知函数满足，则下列结论不正确的是（

）A． B．函数关于直线对称C． D．的周期为3多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（2025云南）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（

）A． B．C． D．10．（2025哈尔滨）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（

）A． B．C．为奇函数 D．为偶函数11．（2025·安徽·一模）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（

）A． B．C． D．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则．13（2025·新疆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为.（2025·江西上饶·一模）已知函数，则不等式的解集为．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（2025黑龙江鹤岗·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.(1)确定函数的解析式；(2)用函数单调性的定义证明在上是增函数；(3)解不等式.16．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中.(1)若函数的图像过点，求的解集；(2)求证：当时，存在使得成等差数列.17．（2025·上海崇明·二模）已知．(1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；(2)若且，解关于x的不等式．18．（2025山西）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.19．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数.①对任意的，有；②对于任意的，若，则.求证：(1)是型函数；(2)型函数在上为增函数；(3)对于型函数，有（为正整数）.2.3函数的对称性、周期性、图像（精练试卷版）一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。1．（2024·河南·模拟预测）函数图象的对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知的定义域为，所以可得，因此，即函数满足，因此的对称中心为.故选：B2．（2025·广东·一模）若函数关于直线对称，则（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【解析】由题意函数关于直线对称，故，即，即，即,故需满足且，即，则，故选：B3．（2025·天津河西·一模）已知函数，则（

）A．为奇函数 B．为偶函数C．为奇函数 D．为偶函数【答案】D【解析】，则，即故A错误；，故C错误；，，则，故B错误；，，则，故D正确.故选择：D.4．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，故是奇函数．不等式等价于不等式即不等式因为是奇函数，所以易证是上的减函数，则，即，解得．故选：B.5．（2025·湖南长沙·二模）函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】有意义可得，故，所以或，所以函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，令可得，，所以，故，所以函数有且仅有一个零点，零点为，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，所以当时，，又当时，，所以当时，，选项A的图象不关于原点对称，选项B的图象在内的函数值为负，选项C的图象对应的函数有三个零点，故选项ABC不能同时满足上述所有要求，而选项D同时满足以上所有要求，故选：D.6．（2024·江西景德镇·一模）函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵是奇函数，∴，即关于点对称．又函数的定义域为，故．当时，令，即，解得．根据对称性可知当时，．综上所述，的解集是．故选：B．7．（23-24宁夏银川·期中）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为定义在上的函数满足条件，所以函数是偶函数，对任意，当时都有，所以不妨设，则有，因此时，函数是增函数，因为函数是偶函数，所以，，因为时，函数是增函数，所以，即，故选：A8．（2025北京）已知函数满足，则下列结论不正确的是（

）A． B．函数关于直线对称C． D．的周期为3【答案】D【解析】解法一：令，，则，解得，A正确；令，则，所以，即是偶函数，所以，所以函数关于直线对称，B正确；令，则，令，则，所以，C正确；令，则①，所以②，①②联立得，所以，，即的周期为，D错误；解法二：构造函数，满足，且，，A正确；，因为表示的图象向右平移个单位，且的图象关于轴对称，所以关于直线对称，B正确；由余弦函数的图象和性质可知，C正确；的周期，D错误；故选：D多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（2025云南）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位，再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确；B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的，而函数是偶函数，关于轴对称，其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确；C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确；D：，显然，故此函数不是关于直线对称的，故D错误.故选：ABC.10．（2025哈尔滨）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（

）A． B．C．为奇函数 D．为偶函数【答案】ACD【解析】对于A，因为的对称中心为，所以，将变为，变形得：，故选项A正确；对于B，由A选项知，即，结合已知，即，令，得，故选项B错误；对于C，由的对称中心为得，则，令，则，定义域为，所以为奇函数，故选项C正确；对于D，对，令得：，即，故，令，定义域为，所以，所以为偶函数，故选项D正确；故选：ACD.11．（2025·安徽·一模）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由题得，所以即，所以是奇函数，故，又由得函数关于点对称，，所以，故，所以，即函数是周期为6的函数，所以也是周期为6的函数，即，由求导得即，所以，对于A，，故A正确；对于B，由无法确定的值，故B错误；对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确；对于D，由得，且即，且即，且即，所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则．【答案】【解析】因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，所以函数为奇函数，故，所以，所以，所以，，所以.故答案为：.13（2025·新疆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为.【答案】【解析】设，均随着的增大而增大，所以在为增函数，，则,所以在为增函数，且当分别代入、，可得，所以在上单调递增，令，则在上单调递增，又.不等式的解集为.故答案为：.14．（2025·江西上饶·一模）已知函数，则不等式的解集为．【答案】【解析】,则，即，∴，∵，∴，∵，即函数在上单调递增，∴，即，∴，即.故答案为：.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（2025黑龙江鹤岗·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.(1)确定函数的解析式；(2)用函数单调性的定义证明在上是增函数；(3)解不等式.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【解析】（1）由题意可得，解得，所以，经检验满足奇函数.（2）设，则，∵，∴，且，则，则，即，所以函数在上是增函数.（3）∵，∴，∵是定义在上的增函数，∴，得，所以不等式的解集为.16．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中.(1)若函数的图像过点，求的解集；(2)求证：当时，存在使得成等差数列.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）已知函数的图像过点，所以，即，因为，所以，则.函数的定义域为，且在定义域上单调递增.由可得，解得，所以不等式的解集为.（2）当时，，.若成等差数列，则，即.所以，即，即，则，移项可得.对于一元二次方程，，所以方程有实数解，即存在使得成等差数列.17．（2025·上海崇明·二模）已知．(1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；(2)若且，解关于x的不等式．【答案】(1)存在实数，使得函数是偶函数(2)答案见解析【解析】（1）存在实数，使得函数是偶函数.要使函数有意义，须满足，即，显然，即，函数的定义域.当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数.当时，，函数的定义域为，对于任意的，都有，并且因此函数是一个偶函数综上所述，存在实数，使得函数是偶函数（2）由，得所以且①．由①得，.因为且，所以当时，，当时，.综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18．（2025山西）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）∵是R上的奇函数，∴，∴，∴，又，∴，解得，∴．经验证可得为奇函数，∴，．（2）由（1）知，∴在上为减函数．∵,∴，又是奇函数，∴，又