2024-2025学年甘肃省张掖市张掖二中高二（下）期中数学试卷（B卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省张掖二中高二（下）期中数学试卷（B卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=xex，则f′(3)=(

)A.3e3 B.4e3 C.2.已知空间中有两个动点A(1−x,2−x,x)，B(3,4−x,x).则|AB|的最小值为(

)A.2 B.4 C.3 D.63.曲线y=x−1x+1在点(0,−1)处的切线斜率为(

)A.2 B.1 C.12 D.4.已知点A(2,1,1)在平面α内，点B(9,8,5)在平面α外，且平面α的一个法向量为a=(1,1,1)，则点B到平面α的距离为(

)A.63 B.62 C.5.在空间直角坐标系O−xyz中，OA=(−1,2,1)，OB=(1,1,2)，OP=(2,1,1)，点Q在直线OP上运动，则QA⋅A.−32 B.−23 C.6.已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占80%，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占60%，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为(

)A.22.5% B.30% C.40% D.75%7.如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AA.24 B.C.62 8.在三棱锥P−ABC中，M是平面ABC内一点，且9PM=8PA+tPBA.12 B.1 C.2 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中将的概率为0.2，则(

)A.小王和小张都中奖的概率为0.08

B.小王和小张都没有中奖的概率为0.46

C.小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44

D.小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.9210.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且函数f′(x)的图象如图，则以下结论正确的有(

)A.函数f(x)在区间(2,4)上单调递减 B.函数f(x)在区间(1,3)上单调递减

C.当x=−12时，函数f′(x)有极大值 D.当x=−2时，函数11.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到水库底面与水坝斜面的交线AB的距离分别为DA=12m，DA=12m，CB=12m.又测得AB的长为10m，CD的长为105m，则A.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为−13

B.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为−718

C.直线CD与水库底面所成角的正弦值为5515

三、填空题：本题共3小题，共15分。12.已知向量a=(1,2,5)，b=(2,x,−1)，且a⋅b=213.已知函数f(x)=2x2+lnx−ax在区间(0,2]上单调递增，则实数a14.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=|f″(x)|(1+(f′(x))2)32.曲线y=e2x−x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ax2−2x−lnx在点(1,f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求a；

(2)16.(本小题15分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=BD=AA1=2．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=2x3−ax2+b．

(1)当a=3时，求f(x)的极值；

(2)若a>0，求f(x)18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥AB，PC⊥CD，BC//AD，∠BAD=2π3，PA=AB=BC=12AD，PD=3PM．

(1)证明：CD⊥PA．

(2)证明：PB//平面MAC．19.(本小题17分)

帕德近似是法国数学家亨利･帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+…+amxm1+b1x+⋯+bnxn且满足：f(0)=R(0)，f′(0)=R′(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．

注：f″(x)=[f′(x)]′，f′″(x)=[f″(x)]′，f(4)(x)=[f′″(x)]′，f(5)(x)=[f(4)(x)]′，…．

已知函数f(x)=ln(x+1)参考答案1.B

2.A

3.A

4.A

5.C

6.D

7.A

8.B

9.ACD

10.ACD

11.BC

12.5213.(−∞,4]

14.2

415.解：(1)f′(x)=2ax−2−1x，

因为函数f(x)=ax2−2x−lnx在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，

则f′(1)=2a−3=0，解得a=32．

(2)将a=32代入得f(x)=32x2−2x−lnx，定义域为(0,+∞)．

求导得f′(x)=3x−2−1，令f′(x)=3x−2−1x=0⟹3x2−2x−1=0，解得x=1(舍去负根16.解：(1)连接AC，BD相交于点O，连接A1C1，B1D1相交于点O1，

由AB=AD=BD=2，知△ABD为等边三角形，

因为O为BD的中点，所以AC⊥BD，且AO=3，OB=OD=1，

又AO=OC，A1O1=O1C1，所以OO1//AA1，

因为AA1⊥平面ABCD，所以OO1⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,1,0)，D1(0,−1,2)，B1(0,1,2)，

(1)OA=(3,0,0)，OD1=(0,−1,2)，BD1=(0,−2,2)，

设平面ACD1的法向量为m17.解：(1)当a=3时，函数f(x)=2x3−3x2+b的定义域为R，且导函数f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，

因此当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x<0或x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

因此函数f(x)在x=0处取得极大值f(0)=b，在x=1处取得极小值f(1)=b−1．

(2)根据题意，导函数f′(x)=6x2−2ax=2x(3x−a)，

令f′(x)=0，解得x=0或x=a3．

由于a>0，因此当x<0或x>a3时，导函数f′(x)>0；

当0<x<a3时，导函数f′(x)<0，f(x)单调递减．

因此当0<a3<1即0<a<3时，f(x)在(0,a3)上单调递减，在(a3,1)上单调递增，

那么函数f(x)在区间[−2,−1]，[0,1]的最小值为f(a3)=−a327+b．

当a3≥1即a≥3时，函数f(x)在[−2,−1]18.(1)证明：由BC//AD,∠BAD=2π3，

得∠ABC=π3，又AB=BC，

则△ABC是正三角形，

即∠CAD=π3，

在△ACD中，AD=2AC，CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcosπ3=3AC2，

即AC2+CD2=AD2，于是AC⊥CD，

又PC⊥CD，PC∩AC=C，PC，AC⊂平面PAC，

则CD⊥平面PAC，而PA⊂平面PAC，

所以CD⊥PA．

(2)证明：连接BD∩AC=N，连接MN，由BC//AD，

得BNDN=BCAD=12，

由=12AD,PD=3PM，

得PMDM=12=BNDN，

于是MN//PB，而MN⊂平面MAC，PB⊄平面MAC，

所以PB//平面MAC．

(3)由(1)知，PA⊥CD，而PA⊥AB，四边形ABCD是梯形，即AB，CD相交，

因此PA⊥平面ABCD，在平面ABCD内作Az⊥AD，则直线Az，AD，AP两两垂直，

以点A为原点，直线Az，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

令AD=12，

则A(0,0,0),B(33,−3,0),C(33,3,0),P(0,0,6),M(0,4,4)，

AC=(33,3,0),AM=(0,4,4),AB=(33,−3,0),AP=(0,0,6)，