广东省东莞市五校2024-2025学年高一下学期联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省东莞市五校2024-2025学年高一下学期联考数学试卷注意事项：1．考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为，所以.故选：B.2.在复平面内，复数（其中i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因为，所以的共轭复数为，对应点的坐标为，位于第二象限.故选：B.3.在中，已知，则C＝（）A.60° B.30° C.30°或150° D.60°或120°【答案】D【解析】由正弦定理可得，即，解得，则或.故选：D4.下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．其中正确的是（）A.①④ B.②③ C.①② D.③④【答案】B【解析】对于①：过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；对于②：过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；故②正确；对于③：过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；故③正确；对于④：过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确，故选：B．5.如图，在中，，点是的中点，设，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为即，点为的中点，所以，所以.故选：D.6.在如图（1）所示的四棱锥中，底面为正方形，且侧面垂直于底面，水平放置的侧面的斜二测直观图如图（2）所示，已知，，则四棱锥的侧面积是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】四棱锥中，底面为正方形，且侧面垂直于底面，则侧面，侧面由水平放置的侧面的斜二测直观图可知，，由勾股定理可得，，所以等腰三角形的面积为，直角三角形与直角三角形的面积均为，等腰直角三角形的面积为，故该几何体的侧面积是.故选：D7.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形．其中为正八边形的中心，若，点为正八边形边上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.的最大值为1 B.C. D.【答案】A【解析】在正八边形中，线段被点平分，，，在中，，对于A，当点在线段上时，在上的投影向量的模最大，而，因此的最大值为，A正确；对于B，，B错误；对于C，在中，，，C错误；对于D，，因此，D错误.故选：A8.已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，即，所以，整理得：，因为，所以，由正弦定理得：，因为，所以，因为为锐角三角形，所以为锐角，所以，即，由，解得：，因为，所以，解得：，故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为复数，则下列说法正确的是（）A.B.C.若，则D.若，则或【答案】ABD【解析】设，，因为，，所以，故A正确；又，，，所以，故B正确；取，，可得，故C错误；若，由B选项知，所以或，可得或，故D正确；故选：ABD．10.在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（）A. B.越小越费力，越大越省力C.当时， D.的范围为【答案】AC【解析】因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确；根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误；当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确；若，则，与矛盾，所以，故D错误；故选：AC.11.如图，在棱长为1正方体中，点P，Q分别是线段，上的动点，点E是棱的中点，下列命题正确的有（）A.异面直线与所成的角为定值B.的最小值为C.三棱锥的体积随P点的变化而变化D.过点E作平面，当//平面时，平面与正方体表面的交线构成平面多边形的周长为【答案】ABD【解析】由于平面平面,，，，平面,所以平面，平面，所以，则异面直线与所成的角为90°，故A正确；把平面沿直线翻折到平面，使得与共面且不重合，点翻折到点的位置，过作交于点，由于与为全等的直角三角形，且,所以，故,故,则的最小值为线段的长，故B正确；因为,由于为定值,且到底面的距离为定值，故体积为定值，故C错误.分别取的中点为，连接构成六边形,则平面平面,故平面即为六边形所在的平面，由于六边形为正六边形，且边长为,故其周长为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知单位向量满足，则__________.【答案】【解析】因为，所以，所以，则，故.故答案为：13.已知复数满足，当的虚部取最小值时，_____【答案】【解析】设，则，依题意，，即，由，得，解得，当的虚部取最小值时，即当时，则，解得，所以.故答案为：14.农历五月初五是端午节.这一天民间有吃粽子的习俗，据说是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国诗人屈原.粽子的形状有多种.今有某种粽子类似于由一个直角三角形绕它的一条直角边旋转（如图）而成.如果粽子的馅可以看成是这个几何体内的一个球状物，则粽子馅的最大体积为______.【答案】【解析】如图所示：是的中点，连接，，，，则，，根据对称性，球心在平面内，设为，设球半径为，当球体积最大时，球与平面，平面，平面和直线相切，设切点分别为，，，，平面与直线交于点，则四边形为正方形，边长为，中，，，根据等面积法：，解得，球的体积.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，其中．（1）设，若是纯虚数，求实数的值；（2）设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量．解：（1），因为是纯虚数，所以且，解得；（2）当时，，故，，故．设，则；所以在上的数量投影向量为．16.如图，在三棱锥中，．（1）平面；（2）当时，求二面角的正弦值．解：（1）在中，，由余弦定理，即，解得，所以，即，所以，又，，平面，所以平面；（2）因为平面，又平面，所以，又，所以为二面角的平面角，取的中点，连接，因为，所以，又，所以，所以，所以二面角的正弦值为.17.在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的面积．解：（1）在中，因为，可得．因为，由正弦定理得，．由，所以，可得，所以．又由，所以，所以，所以，可得．（2），解得：，故．18.已知正三棱柱中，点是的中点，底面的边长为2，．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）连接交于点，连接，因为四边形是矩形，所以为的中点，又是的中点，又，又平面，平面，所以平面.（2）由于，又是的中点，所以，在正三棱柱中，平面，平面，所以，又平面平面，所以平面，所以是三棱锥的高，又，所以，（3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，由（2）有平面，又平面，所以，因为，，所以，又，即，解得，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：（1）当，且时，求；（2）角，，所对的边分别为，，，，求证：；（3）在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示