2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-小测卷（二十三） 简单几何体的表面积与体积

小测卷(二十三)简单几何体的表面积与体积1．解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则rl所以h＝l2所以圆锥的体积为13πr2h＝π答案：B2．解析：如图，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，没有水的部分底面积变为原来的14，故放出水量是原来水量的14，剩余水量是原来水量的答案：A3．解析：由题设，V＝2V1，V1＝V2＋V3，则V1＋V2＋V3＝V，A对；如图，连接BD，将阳马一分为二，又VA­BDE＝VA­BCD＝VD­ABC＝V3，所以V2＝2V3，V1＝3V3＝32V2，则V＝6V3，故V2－V3＝V3＝V所以B错，C、D对．答案：B4．解析：由题意得该容器模型为正四棱台，上、下底面的边长分别为2cm，3cm.设该棱台的高为h，则由棱台体积公式V＝13h(S上＋S下＋√(S_〖"上"〗·S_〖"下"〗))得193＝13×h所以侧面等腰梯形的高h′＝1+3−2所以S表＝4×2+3×522＋9＝答案：C5．解析：由题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为1，外接球的表面积为4π，体积为43对于C，该几何体的体积V＝V正方体－8V四面体＝23－8×13×12×222对于D，该几何体有6个面为正方形，其余的面为边长为1的正三角形，S表＝6×1＋8×34＝6+23，S正＝6×22＝12，所以该几何体的表面积与原正方体的表面积之比为6+23∶答案：D6．解析：由斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图如图所示，其中OA＝2OB＝2OC＝2，所以AB＝AC＝5，所以此三棱柱的表面积为S＝2×12×2×2＋2+25×2＝8＋4答案：C7．解析：设圆柱部分的高为hcm，则圆锥部分的高约为0.618hcm，依题意，1.618h＝10，解得h＝101.618设陀螺的体积为Vcm3，因为圆柱底面的面积最大处为15cm2，则陀螺的质量为0.8V，而0.8V<0.8(15h+13×15×0.618h)＝0.8×18.09×10则陀螺质量应小于89.444g.答案：D8．解析：因为MO⊥平面ABCD，ON⊂平面ABCD，所以MO⊥ON，所以△MNO为直角三角形，所以当NO最短时，∠MNO取最大值，即NO⊥AB时，∠MNO取最大值，因为M，O分别固定在线段EF，AC的中点处，所以ON＝1，MN＝2，所以cos∠MNO＝ONMN因为∠MNO为锐角，所以∠MNO＝60°，所以OM＝3，所以多面体M­BCON的体积为V＝13×12(1＋2)×答案：A9．解析：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，EF∥B1C1∥BC，EB1∥FC1，所以EF＝B1C1，因为ABCD­A1EFD1有六个面，所以几何体ABCD­A1EFD1是一个六面体，故A正确；因为AA1∥DD1，所以侧棱的延长线不能交于一点，故ABCD­A1EFD1不是四棱台，故B错误；因为几何体AA1EB­DD1FC的侧棱平行且相等，四边形AA1EB与四边形DD1FC是平行且全等的四边形，所以几何体AA1EB­DD1FC为四棱柱，同理几何体BB1E­CC1F是一个三棱柱，故C、D正确．答案：ACD10．解析：因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则圆柱的侧面积为2πR·2R＝4πR2，A错误；圆锥的母线长l＝R2+2R2＝5R，侧面积为πRl球的表面积为4πR2，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；∵V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆椎＝13πR2·2R＝23πR3，V球＝43π∴V圆柱∶V圆椎∶V球＝2πR3∶23πR3∶43πR3＝3∶1答案：CD11．解析：如图，在正四棱锥P­ABCD中，O为底面ABCD的中心，E为CD的中点，PE⊥CD，设底面边长为2a，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，所以∠PEO＝30°，则OE＝a，OP＝33a，PE＝所以PE2＋CE2＝PC2，即43a2＋a2＝28，可得a＝23.底面边长为43侧棱与底面所成角的正弦值为OPCP侧面积为12体积V＝13×PO×AB2答案：BD12．解析：设降雨量为x，容器内雨水高度为h，根据体积相等关系可得：π×1002x＝π×1502h，解得h＝49x由于x∈[50，100)，故49x∈200故20，22∉2009，4009答案：CD13．解析：易知该球的直径即为正方体的体对角线，设正方体的棱长为l，球的直径d＝l2+因为球的表面积为πd2＝16π，所以d＝4＝3l，l2答案：3214．解析：设圆台高为h，由题意得12(2＋4)h＝3，h当圆台的上下底面圆在球心的同侧时，如图所示：设该圆台下底面圆心到外接球的球心的距离为AO＝h0，AB＝h＝1，外接球的半径为R，由OC＝OD＝R，则(1＋h0)2＋12＝h02＋22＝R2，得h0＝1，R2＝5，该圆台外接球的体积为43πR3当圆台的上下底面圆在球心的异侧时，如图所示：设该圆台下底面圆心到外接球的球心的距离为AO＝h0，AB＝h＝1，外接球的半径为R，由OC＝OD＝R，则(1－h0)2＋12＝h02＋22＝R2，得h综上所述：该圆台外接球的体积为205答案：20515．解析：如图，取BC的中点N，连接MN，ND，B1C，因为M为棱BB1的中点，所以MN∥B1C，MN＝12B1C因为A1B1∥CD，A1B1＝CD，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以B1C∥A1D，B1C＝A1D，所以MN∥A1D，MN＝12A1D所以梯形MNDA1为平面A1DM所在的截面，则V1为三棱台BMN­AA1D的体积，不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为S△BMN＝12×1×1＝12，S所以V1＝13S△BMN+S△AA1所以V2＝8－V1＝8－73＝17答案：716．解析：因为大正四面体的棱长为3，所以正四面体的一个底面面积为34×3则正四面体的高为32所以大正四面体的体积为13由题意可得四个角上的小正四面体的棱长为1，则其底面面积为34，底面正三角形的高为32，则小正四面体的高为所以小正四面体的体积为13所以截得的截角四面体的体积为92答案：2317．解：(1)连接OM，∵AB为半圆的切线，∴OM⊥AB，设OM＝r，则OB＝3－r，∴sin∠MBO＝r3−r＝12∴S球面＝4πr2＝4π3(2)∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，所以AC＝1，将阴影部分绕直线BC旋转一周得到一个圆锥里面挖去一个内切球，∴所求体积V＝V圆锥－V球＝13π×AC2×BC－43πr3＝13π×12×3−418．解：(1)设圆柱的底面半径为rcm，圆锥的高为h1cm.由题意得2πr＝24π，所以r＝12，h1＝202所以“笼具”的体积为V柱－V锥＝30πr2－13πr2h1＝3552π