专题14不等式的概念与基本性质3知识点6大题型2大拓展训练2025年新八年级数学讲义浙教版2024

不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式．1．下列数学表达式中，不等式有().23．在下列数学表达式中，不等式的个数是()不等式表示x＞ax＜ax≥ax≤a数轴表示4．如果x=1.8是某不等式的解，那么该不等式可以是()1232）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或3）在乘（或除以）同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“向后就变成“<”.7．若a>b，则下列不等式一定成立的是()A．a-7<b-7B．-3a>-3bC．a+1>b-1D．a2>b28．已知x>y>0，则下列结论正确的是()A．-y<-x<y<xB．-y<y<-x<xC．-x<-y<x<yD．-x<-y<y<x12．下列不等式中，一定成立的是()C．x2+1<0D．x2+1>02则比赛用时t的取值范围为()0B．t00D．t0汽车的时速为akm/h，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是()17．将x克糖放入水中，得到y克糖水，已知y>x>0．再往杯中加入n(n>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和n的：．18．用不等式表示：两数x、y和的平方不小于它们的积20．某不等式的解集是x>-2，下列表述不正确的是()A．0是这个不等式的解．B．-3不是C．大于-3的数都是这个不等式的解．D．小于-3的数都不是这个不等式的解．21．下列说法中，正确的是().25．下列式子变形正确的是()A．由-3x<-6，得x<2B．由x-3y=4，得x=4-3y26．下列不等式变形正确的是()30．已知x<y，比较-2x-3与-2y-3的大小，结果正确的是()A．-2x-3>-2y-3B．-2x-3<-2y-3C．-2x-3=-2y-3D．-2x-3≥-2y-32、x、的大小顺序是()22xx32．比较大小：如果那么a(1)比较2x与x2+1的大小：①当x=2时，2x_______x2+1；③当x=-1时，2x_______x2+1；④当x=-2时，2x_______x2+1．(2)当x取任意实数时，2x_______x2+1；(3)当x，y取任意实数时，2xy_______x2+y2．:-2025m<-2025n②(1)x-1<-2；(2)6x>5x-2．已知有理数x，y满足x>y>0，求证：x2>y2．:x2-y2>0（等量代换2-4ac≥0(2)若b2-4ac=1，求b-4a的值．若判断M与N的大小并证明．③如果a-b>0，那么ab．②比较3a2-2b+2b2与3a2+b2-1的大小．x222则这个代数式x2+2x+3的最小值是______，这时相应的x的值是______．(2)求代数式-x2+14x+10的最小（或最求c的取值范围．，N=4x2+2x-3，试比较M、N的大小，并说明理由．y2+4y(2)代数式4-x2+2x有最大值还是最小值？如果有，求出最值；(1)例如生活经验：往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这数学问题：a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为，用差的符号确定大小关系，即要比较代数式M,N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N>0，则M>N；若M-N=0，则M=N；若M-N<0，则M<N．请你用给出的物．现让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务．①大船、小船完成运送任务所需天数分别为__________天，__________天（均用含x的代50．设x=-1，则下列式子中成立的是()围是()52．若x<y，且(m-3)x>(m-3)y，则m的值可能是()53．下列说法正确的是()数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若x为任意数，取不大于x的最大整数记为a--2.7的值可以为()A．-2B．-1.5C．0.5D．155．若代数式M=-2a2+4a+1，N=-3a2+4a，则M和N的大小关系是()A．M<NB．M=NC．M>ND．与a的值有关56．不超过a的最大整数是3，试用不等式表示a应满足的条件所以-7x>-7y，②所以-2024a>-2024b，②故-2024a+1>-2024b+1．③求证．(1)例如这道题：“已知实数x、y满足x>y>0，证明：x2-y2>0；，（所以x2-y2>0．证法2：因为x>y且x,y均为正，所以x2>xy,xy>y2（___________在横线上填上不等式所以x2>y2（不等式的传递性）所以x2-y2>0．【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键熟练掌握用不【详解】解：不等式有①⑤⑥,共3个．:②④不符合题意；:③不符合题意；不等式有①⑤⑥,共3个．:x=1.8是不等式x<2的解，故D正确．【点睛】本题主要考查了不等式的解，解题的关键【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键．根据不等式组的解集意义，若不等式x≤2的解都是不等式x≤n【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用【分析】本题考查了不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的:a-7>b-7，-3a<-32【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的取值方法求参数，根据“不等式两边同时加上14．等式有②,不等式有①③④⑥综上，等式有②,不等式有①③④⑥.【点睛】本题考查了等式和不等式的定义，能熟记等式和不等式定义【详解】解：Q记录用时为t0，:若今后的选手要打破该记录，则比赛用时需t<t0．【分析】本题考查了用不等式表示，解题的关键在于用代数式表示出糖水中含糖的浓度．【详解】解：由题知，原糖水的浓度为，加入n克糖后糖水浓度为.【分析】本题考查了不等式的应用，先列出两数x、y和的平方为(x+y)2与它们的积为xy，再根据两数x、y和的平方不小于它们的积列不等式即可．即2a-4>0合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，:0是这个不等式的解，故A不符合题意；B、∵某不等式的解集是x>-2，:-3不是这个不等式的解，故B不符合题意；C、∵某不等式的解集是x>-2，:大于-2的数都是这个不等式的解，大于-3且小于等于-2的数不是这个不等式的解，故CD、∵某不等式的解集是x>-2，:小于-3的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意．【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键．根据不等式组的解集意义，若不等式x≤2的解都是不等式x≤24．(1)τ是该不等式的解，不是该不等式的解(2)0,3是该不等式的解，5不是该不等式的解当x取τ时，代入不等式左边，得2τ-3，故τ是该不等式的解，不是该不等式的解．“mx＜3”变形为，可得m的取值范围是m＜0:m的取值范围是m＜0．【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性x>-1，（2）解：-x-2<7则不等式的两边同时加上2，不等号方向不变，得到-x<9号方向改变，得到x>-9；不等式的两边同时乘-2，不等号方向改变，得到x<2；等号方向不变，得到x>-12．：（正数，不等号的方向不变3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先在x<y的两边同乘以-2，变号，再在此基础上同减去3:-2x>-2y，:-2x-3>-2y-3，【分析】根据不等式的性质，分别在不等式两边同时乘上x和同时除以x即可进行判断．在不等式两边同时除以x可得：或除以同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质解答即可.:a<b；（3）根据（12）的结论推广后可得．:x2+1-2x>0，即2x<x2+1；:x2+1-2x=0，即2x=x2+1；:x2+1-2x>0，即2x<x2+1；:x2+1-2x>0，即2x<x2+1．x2+1-2x=(x-1)2≥0，:2x≤x2+1．Qx2+y2-2xy=(x-y)2≥:2xy≤x2+y2．【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减:-2025m>-2025n，根据不等式的基本性质1，不等式的两边都减去3x，不等号所以4x-3x>3x+1-3x，得x>-6．不等号的两边同时除以-3，得：x<-3；（2）因为6x>5x-2，所以6x-5x>5x-2-5x，即x>-2．:x2-y2>0（等量代换:x2>y2(③不等式的基本性质1故答案为：①有理数的乘法法则（或不等式的基本性质2②平方差公式（或整式乘法法【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性解得：x<-40；不等式两边同时除以-5，得．:-ac≥0，:b2-4ac≥0，,故A错误，不符合题意；:4a-3c=b，:4a-3c>0，:4a-3c=b，:b=-9a-8c，:4a-3c≠-9a-8c，:由得不出故D错误，不符合题意；），等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同:-c<-1，【分析】本题主要考查了不等式的性质，因式分解的应用，求一个数的平方根，正确求出:c=2b-4a，:b<a；:b2-8ab+16a2=1，:b-4a=-1．的方向不变3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．:c=2b-4a，:b<a；:a+b<0，:b-a<0，:c=2b-4a，:b2-4ac=b2-4a(2b-4a)=b2-8ab+16a2=(b-4a)2，:b2-4ac=1，:b-4a=1．【分析】本题主要考查了分式的加减计算，不等式的性质，证明是解题的关键．:M<N．②将两个多项式作差，然后与0比较大小，即可得到3a2-2b+2b2与3a2+b2-1的大小．:a<b，:a=b，:a>b，:(2a+2b-1)-(3a+b)>0，:2a+2b-1-3a-b>0，:b-1-a>0，:b-a>1>0，:b>a；②(3a2-2b+2b2)-(3a2+b2-1)2-2b+2b2-3a2-b2+1:3a2-2b+2b2≥3a2+b2-1．47．(1)2，-1(2)最大值59，相应的x的值为7（2）利用完全平方公式可将代数式-x2+1（4）根据已知条件可得M-N=2x2+4x+5，利用不等式的性质可得M-N≥3>0，于是可得结论．解得：x=-1，:代数式x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是-1，故答案为：2，-1；x2-14x-10)x2-14x+49-49-10)=-(x-7)2-49-10:-(x-7)2≤0，:-(x-7)2+59≤59，:代数式-x2+14x+10的最大值是59，这时相应的x的值为7；:a2+b2-10a-8b=-41，:a2-10a+25+b2-8b+16-25-16=-41，:(a-5)2+(b-4)2-25-16=-41，:(a-5)2+(b-4)2=-41+25+16，:(a-5)2+(b-4)2=0，:1<c<9，:5<c<9，:c的取值范围是5<c<9；N=4x2+2x-3，:M-N3x2-4x2+2x-3)222:2(x+1)2+3≥3，:M-N≥3>0，:M>N．(2)代数式4-x2+2x有最大值为5(3)a22:代数式的最小值是3，故答案为：3．:-(x-1)2≤0，:-(x-1)2+5≤5，:代数式4-x2+2x有最大值为5；（3）解：a2+b2+11-(6a-2b)，22故答案为：A；:b-a>0，:>；:大船每天运(x+10)吨货物，:大船完成运送任务所需天数为，小船完成运送任务所需天数为，②-100x-80x-800 :当30<x<40时，x-40<0，:20(x-40)<0,即大船完成任务所用的时间少；,即大船和小船完成任务所用的时间相等；:20(x-40)>0,即小船完成任务所用的时间少；算是关键．根据题意，把x=-1代入计算，【分析】本题考查了新定义运算，不等式的性质a-a-:a=a-[a]=a-4，-2.7=(-2.7)-[-2.7]=-2.7-(-3)=0.3:a--2.7=a-4-0.3=a-4.3:-0.3<a-4.3<0.7【分析】此题考查了整式的加减，以及非负数的性质，把M与N代入M-N中计算，判断:M-N=-2a2+4a+1+3a2-4a2:M-N>0，:M>N．【详解】解：∵不超过a的最大整数是3，