2017-2018学年高中数学人教A版必修五习题第1章解三角形1.1第2课时

第一章1.1第2课时A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，则sin∠BAC＝eq\x(导学号)(C)A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(10),5)C．eq\f(3\r(10),10) D．eq\f(\r(5),5)[解析]由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·coseq\f(π,4)＝2＋9－2×eq\r(2)×3×eq\f(\r(2),2)＝5．∴AC＝eq\r(5)．由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，∴sinA＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(3×\f(\r(2),2),\r(5))＝eq\f(3\r(10),10)．2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝－ac，则角B的值为eq\x(导学号)(C)A．30° B．60°C．120° D．150°[解析]∵a2＋c2－b2＝2accosB，又∵a2＋c2－b2＝－ac，∴2accosB＝－ac，∴cosB＝－eq\f(1,2)，∵0°<B<180°，∴B＝120°．3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为eq\x(导学号)(D)A．eq\f(5,18) B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(7,8)[解析]设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，由余弦定理得cosA＝eq\f(4x2＋4x2－x2,2·2x·2x)＝eq\f(7,8)，故选D．4．在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则△ABC为eq\x(导学号)(B)A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不存在[解析]∵c2<a2＋b2，∴∠C为锐角．∵a<b<c，∴∠C为最大角，∴△ABC为锐角三角形．5．(2016·山东文，8)△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝eq\x(导学号)(C)A．eq\f(3π,4) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)[解析]由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0<A<π，所以A＝eq\f(π,4)．6．在△ABC中，若AB＝eq\r(3)－1，BC＝eq\r(3)＋1，AC＝eq\r(6)，则B的度数为eq\x(导学号)(C)A．30° B．45°C．60° D．120°[解析]∵cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(\r(3)－12＋\r(3)＋12－\r(6)2,2\r(3)－1\r(3)＋1)＝eq\f(1,2)，又∵0°<B<180°，∴B＝60°．二、填空题7．(2015·天津理，13)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知△ABC的面积为3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，则a的值为__8__．eq\x(导学号)[解析]因为0<A<π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(15),4)，又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(15),8)bc＝3eq\r(15)，∴bc＝24，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b－c＝2,bc＝24))，得b＝6，c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝62＋42－2×6×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝64，所以a＝8．8．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c．若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝__120°__．eq\x(导学号)[解析]∵3sinA＝5sinB，∴3a＝5b，∴b＝eq\f(3,5)a．又∵b＋c＝2a，∴c＝2a－b＝eq\f(7,5)a．由余弦定理的推论，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋\f(9,25)a2－\f(49,25)a2,\f(6,5)a2)＝－eq\f(1,2)，∵0°<C<180°，∴C＝120°．三、解答题9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA＝eq\f(1,4)，a＝4，b＋c＝6，且b<c，求b、c的值．eq\x(导学号)[解析]由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)，∴16＝36－2bc×eq\f(5,4)，∴bc＝8．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋c＝6,bc＝8))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2,c＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4,c＝2))．∵b<c，∴b＝2，c＝4．10．在△ABC中，已知sinC＝eq\f(1,2)，a＝2eq\r(3)，b＝2，求边c．eq\x(导学号)[解析]∵sinC＝eq\f(1,2)，且0<C<π，∴C＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)．当C＝eq\f(π,6)时，cosC＝eq\f(\r(3),2)，此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2．当C＝eq\f(5π,6)时，cosC＝－eq\f(\r(3),2)，此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2eq\r(7)．B级素养提升一、选择题1．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于eq\x(导学号)(D)A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,2)[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos<eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))>，由向量模的定义和余弦定理可以得出|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，cos<eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))>＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(1,4)．故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×2×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2)．2．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，则边AC上的高为eq\x(导学号)(B)A．eq\f(3\r(2),2) B．eq\f(3\r(3),2)C．eq\f(3,2) D．3eq\r(3)[解析]如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4．∵cosA＝eq\f(32＋42－\r(13)2,2×3×4)＝eq\f(1,2)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)．故BD＝AB·sinA＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)．3．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为eq\x(导学号)(B)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)[解析]∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab．由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，∵0<C<π，∴C＝eq\f(π,3)．4．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，则A＝eq\x(导学号)(A)A．30° B．60°C．120° D．150°[解析]由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，由题知b2－a2＝－eq\r(3)bc，c2＝2eq\r(3)bc，则cosA＝eq\f(\r(3),2)，又A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选A．二、填空题5．在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，则cosA∶cosB∶cosC＝__12∶9∶2__．eq\x(导学号)[解析]由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，令a＝4k，b＝5k，c＝6k(k>0)，由余弦定理，得cosA＝eq\f(25k2＋36k2－16k2,2×5k×6k)＝eq\f(3,4)，同理可得cosB＝eq\f(9,16)，cosC＝eq\f(1,8)，故cosA∶cosB∶cosC＝eq\f(3,4)∶eq\f(9,16)∶eq\f(1,8)＝12∶9∶2．6．(2017·浙江卷，14)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2．点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是__eq\f(\r(15),2)__，cos∠BDC＝__eq\f(\r(10),4)__．eq\x(导学号)[解析]依题意作出图形，如图所示，则sin∠DBC＝sin∠ABC．由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，则sin∠ABC＝eq\f(\r(15),4)，cos∠ABC＝eq\f(1,4)，所以S△BDC＝eq\f(1,2)BC·BD·sin∠DBC＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),2)．因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－eq\f(1,4)＝eq\f(BD2＋BC2－CD2,2BD·BC)＝eq\f(8－CD2,8)，所以CD＝eq\r(10)．由余弦定理，得cos∠BDC＝eq\f(4＋10－4,2×2×\r(10))＝eq\f(\r(10),4)．三、解答题7．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9)．eq\x(导学号)(1)求a、c的值；(2)求sin(A－B)的值．[解析](1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，∴b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9)，∴ac＝9．由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3．(2)在△ABC中，∵cosB＝eq\f(7,9)，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(2),9)．由正弦定理，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(2\r(2),3)，∵a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(1,3)．∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝eq\f(10\r(2),27)．C级能力拔高1．(2017·全国卷Ⅰ理，17)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA)．eq\x(导学号)(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．[解析](1)由题设得eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a2,3sinA)，即eq\f(1,2)csinB＝eq\f(a,3sinA)．由正弦定理，得eq\f(1,2)sinCsinB＝eq\f(sinA,3sinA)．故sinBsinC＝eq\f(2,3)．(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,2)．所以B＋C＝eq\f(2π,3)，故A＝eq\f(π,3)．由题意得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,3sinA)，a＝3，所以bc＝8．由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9．由bc＝8，得b＋c＝eq\r(33)．故△ABC的周长为3＋eq\r(33)．2．(2017·全国卷Ⅱ理，17)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin(A＋C)＝8sin2eq\f(B,2)．eq\x(导学号)(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b．[解析](1)由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2eq\f(B,2)，