2017-2018学年高中数学新人教版必修3教案第2章2.2.1用样本的频率分布估计总体分布

2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体分布1．理解用样本的频率分布估计总体分布的方法．2．会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图．(重点)3．能够利用图形解决实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理1用样本估计总体、数据分析的基本方法阅读教材P65～P66上半部分的内容，完成下列问题．1．用样本估计总体的两种情况(1)用样本的频率分布估计总体分布．(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征．2．数据分析的基本方法(1)借助于图形分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此方法可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息．(2)借助于表格分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式，此方法是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式．教材整理2频率分布直方图阅读教材P66～P68的内容，完成下列问题．画频率分布直方图的步骤1．一个容量为80的样本中，数据的最大值为152，最小值为60，组距为10，应将样本数据分为()A．10组 B．9组C．8组 D．7组【解析】由题意可知，eq\f(152－60,10)＝9.2，故应将数据分为10组．【答案】A2．从一群学生中抽取一个一定容量的样本，对他们的学习成绩进行分析．已知不超过80分的为10人，其累积频率为0.5，则样本容量是()A．20 B．40C．80 D．60【解析】样本容量为eq\f(10,0.5)＝20.【答案】A教材整理3频率分布折线图和总体密度曲线阅读教材P69的内容，完成下列问题．1．频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图．2．总体密度曲线随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比．教材整理4茎叶图阅读教材P70的内容，完成下列问题．1．茎叶图的制作方法将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出．2．茎叶图的优缺点在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．但是当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便，因为每一个数据都要在图中占据一个空间，如果数据很多，枝叶就会很长．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)样本容量越大，估计的越准确．()(2)频率分布直方图的纵轴表示频率．()(3)茎叶图不能增加数据．()【答案】(1)√(2)×(3)×2．如图2­2­1是一个班的语文成绩的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90分以上)是________，最低分是________.51567802335791图2­2­1【解析】由茎叶图知，样本容量为25,90分以上的有1人，故优秀率为eq\f(1,25)＝4%，最低分为51分．【答案】4%51[小组合作型]频率分布直方图的绘制某省为了了解和掌握2016年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下：(单位：分)991211101259711711311092102109104112105124871041041281091231111031059211410810410212912697100115111106117111891101218012012110410811812999909912112310799101116971021081011021081179911810611912311998121101113102103(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图和折线图；(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例．【精彩点拨】先求极差．根据极差与数据个数确定组距、组数，然后按频率分布直方图的画法绘制分析．【尝试解答】100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80＝55.取组距为5，则组数为eq\f(55,5)＝11.(1)频率分布表如下：分组频数频率频率/组距[80,85)10.010.002[85,90)20.020.004[90,95)40.040.008[95,100)140.140.028[100,105)240.240.048[105,110)150.150.030[110,115)120.120.024[115,120)90.090.018[120,125)110.110.022[125,130)60.060.012[130,135]20.020.004合计10010.2注：表中加上“频率/组距”一列，这是为画频率分布直方图准备的，因为它是频率分布直方图的纵坐标．(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示：(3)从频率分布表中可知，这100名考生的数学成绩在[100,120)分之间的频率为0.24＋0.15＋0.12＋0.09＝0.60，据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例为60%.1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：(1)若eq\f(极差,组距)为整数，则eq\f(极差,组距)＝组数；(2)若eq\f(极差,组距)不为整数，则eq\f(极差,组距)的整数部分＋1＝组数．2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．[再练一题]1．有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；(3)求样本数据不足0的频率．【解】(1)频率分布表如下：分组频数频率[－20，－15)70.035[－15，－10)110.055[－10，－5)150.075[－5,0)400.2[0,5)490.245[5,10)410.205[10,15)200.1[15,20]170.085合计2001.00(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示：(3)样本数据不足0的频率为：0．035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.频率分布直方图的应用某校在5月份开展了科技月活动．在活动中某班举行了小制作评比，规定作品上交的时间为5月1日到31日，逾期不得参加评比．评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图2­2­2)．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：图2­2­2(1)本次活动共有多少件作品参加评比？(2)哪组上交的作品数最多，有多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？【精彩点拨】(1)根据条件：从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，计算参加评比的作品总数；(2)根据频率分布直方图判断哪组上交的作品最多，再由本组的频率计算频数；(3)先分别由第四组和第六组的频率计算该组的频数，再计算获奖率．【尝试解答】(1)设从左到右各长方形的高分别为2x,3x,4x,6x,4x，x.设参加评比的作品总数为a件，依题意得：4x×5＝eq\f(12,a)，x＝eq\f(3,5a)，满足(2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x)×5＝1，解得a＝60(件)．(2)由频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数量最多，共有6×x×5×a＝18(件)．(3)第四组和第六组上交的作品数分别为：18件，x×5×a＝3(件)，则它们的获奖率分别为：eq\f(10,18)＝eq\f(5,9)；eq\f(2,3)，又eq\f(5,9)<eq\f(2,3)，所以第六组的获奖率较高．1．频率分布直方图的性质(1)因为小矩形的面积＝组距×频率/组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小；(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1；(3)频数/相应的频率＝样本容量．2．频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．[再练一题]2．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图2­2­3是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是()图2­2­3A．90B．75C．60D．45【解析】产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则eq\f(36,n)＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×(0.1＋0.15＋0.125)×2＝90.【答案】A茎叶图及其应用某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.：【精彩点拨】题中可用十位数字为茎，个位数字为叶作茎叶图，然后根据茎叶图分析两人成绩．【尝试解答】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是88.乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好．1．绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如本题中数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶．2．利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑．[再练一题]3.如图2­2­4是2017年青年歌手大奖赛中七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(图中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有()图2­2­4A．a1＞a2B．a2＞a1C．a1＝a2D．a1，a2的大小与m的值有关【解析】根据茎叶图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，甲的平均分为a1＝80＋eq\f(5＋4＋5＋5＋1,5)＝84，乙的平均分为a2＝80＋eq\f(4＋4＋6＋4＋7,5)＝85，故a2＞a1.【答案】B[探究共研型]频率分布直方图的特征探究1频率分布表和频率分布直方图有哪些特征？【提示】频率分布表和频率分布直方图有以下特征：(1)频率分布表中的数字和频率分布直方图的形状都与分组数有关．分组数的变化引起频率分布表和频率分布直方图的结构变化．(2)随机性．频率分布表和频率分布直方图由样本决定，因此它们会随着样本的改变而改变．(3)规律性．若固定分组数，随着样本容量的增加，频率分布表中各个频率会稳定在某个值的附近，从而频率分布直方图中的各个矩形的高度也会稳定在特定的值上．探究2画频率分布直方图时，如何确定组距？【提示】组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．探究3影响频率分布直方图的因素有哪些？【提示】同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图的形状也会不同，不同的形状给我们的印象也不同，这种印象有时会影响我们对总体的判断；同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个容量相同的样本，所形成的样本频率分布一般会与前一个的样本频率分布有所不同，但是，它们都可以近似地看作总体的分布．探究4频率分布表和频率分布直方图有什么优缺点？【提示】(1)频率分布表反映具体数据在各个不同区间的取值频率，但不够直观、形象，对分析数据分布的总体态势不太方便．(2)频率分布直方图能够直观地表明数据分布的形状，一般呈中间高、两端低、左右对称的“峰”状结构．但是从直方图本身得不到具体的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原始数据不能在图中表示出来．茎叶图的特征探究5画茎叶图时，重复出现的数据只记录一次吗？【提示】不是．绘制茎叶图时，重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”位置的数据．同一数据出现几次，就要在图中体现几次．探究6什么情况下适合用茎叶图？【提示】(1)对于样本数据较少，但较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶．样本数据为小数时作类似处理．(2)对于样本数据较少，但较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎．中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图2­2­5所示．从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，则全市高一学生视力在[3.95,4.25)范围内的学生人数约有________．图2­2­5【精彩点拨】1．注重对图形的观察图表试题解题三个步骤：一观、二识、三解，做到观图要细、识图要全、解图要准．如本例中，要从频率分布直方图中看出组距，求出第五组的频率．2．重视对性质的理解和应用在频率分布直方图中，小长方形的高＝eq\f(频率,组距)，小长方形的面积＝eq\f(频率,组距)×组距＝频率．如本例中，0.5×0.3＝0.15才是第五个小组的频率．【尝试解答】由图知，第五小组的频率为0.5×0.3＝0.15，所以第一小组的频率为0.15×eq\f(5,6)＝0.125，所以全市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有60000×0.125＝7500(人)．【答案】7500人[再练一题]4．某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取100名职工，调查了他们的居住地与公司间的距离d(单位：km)．由其数据绘制的频率分布直方图如图2­2­6所示，则样本中职工居住地与公司间的距离不超过4km的人数为________人．图2­2­6【解析】不超过4km的频率为(0.1＋0.14)×2＝0.48，故样本中职工居住地与公司间的距离不超过4km的人数有0.48×100＝48(人)．【答案】481．一个容量为20的样本数据，分组及各组的频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2.则样本在区间[20,60)上的频率是()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8【解析】频率＝eq\f(3＋4＋5＋4,2＋3＋4＋5＋4＋2)＝eq\f(16,20)＝eq\f(4,5)＝0.8.【答案】D2．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.125，则该组样本的频数为()A．2 B．4C．6 D．8【解析】频率＝eq\f(频数,样本容量)，则频数＝频率×样本容量＝0.125×32＝4.【答案】B3．如图2­2­7是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为()图2­2­7A．0.2 B．0.4C．0.5 D．0.6【解析】∵数据总个数n＝10，又落在区间[22,30)内的数据个数为4，∴所求的频率为eq\f(4,10)＝0.4，故选B.【答案】B4．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于________.【解析】设第一组至第六组的样本数据的频数为2x,3x,4x,6x,4x，x，则2x＋3x＋4x＝27，得x＝3.故n＝20x＝60.【答案】605．某班50名同学参加数学测验，成绩的分组及各组的频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图．【解】(1)频率分布表如下：分组频数频率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.2[70,80)150.3[80,90)120.24[90,100]80.16(2)频率分布直方图如下：学业分层测评(十二)用样本的频率分布估计总体分布(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列命题正确的是()A．频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数B．频率分布直方图的面积为对应数据的频率C．频率分布直方图中各小矩形高(平行于纵轴的边)表示频率与组距的比D．用茎叶图统计某运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39时，茎是指中位数26【解析】在频率分布直方图中，横轴表示样本数据；纵轴表示eq\f(频率,组距)，由于小矩形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积等于相应各组的频率，因此各小矩形面积之和等于1.【答案】C2．将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8个小组，如下表所示：组号12345678频数101314141513129第3组的频率和累积频率为()A．0.14和0.37 B.eq\f(1,14)和eq\f(1,27)C．0.03和0.06 D.eq\f(3,14)和eq\f(6,37)【解析】由表可知，第三小组的频率为eq\f(14,100)＝0.14，累积频率为eq\f(10＋13＋14,100)＝0.37.【答案】A3．如图2­2­8所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据可知样本落在[15,20)内的频数为()图2­2­8A．20 B．30C．40 D．50【解析】样本数据落在[15,20)内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.【答案】B4．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图2­2­9所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是()图2­2­9A．46,45,56B．46,45,53C．47,45,56D．45,47,53【解析】由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.【答案】A5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图2­2­10，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是()图2­2­10A．45 B．50C．55 D．60【解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是eq\f(15,0.3)＝50.【答案】B二、填空题6．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图2­2­11所示，时速在[50,60)的汽车大约有______辆．图2­2­11【解析】在[50,60)的频率为0.03×10＝0.3，∴汽车大约有200×0.3＝60(辆)．【答案】607．从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验，成绩的茎叶图如图2­2­12所示，则甲、乙两组的最高成绩分别是________，________，从图中看，________班的平均成绩较高．图2­2­12【解析】由茎叶图可知，甲班的最高分是96，乙班的最高分是92.甲班的成绩集中在60～80之间，乙班成绩集中在70～90之间，故乙班的平均成绩较高．【答案】9692乙8．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图2­2­13所示：图2­2­13(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________.【解析】由于(0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012)×50＝1，解得x＝0.0044；数据落在[100,250)内的频率是(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，所以月用电量在[100,250)内的用户数为100×0.7＝70.【答案】(1)0.0044(2)70三、解答题9．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23．52.52.61.22.71.52.93.03.12．32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31．41.60.51.80.62.11.12.51.22．70.5(1)分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？图2­2­14【解】(1)设A药观测数据的平均数为eq\x\to(x)，B药观测数据的平均数为eq\x\to(y).由观测结果可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,20)(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得eq\x\to(x)＞eq\x\to(y)，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制茎叶图如图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有eq\f(7,10)的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B药疗效的试验结果有eq\f(7,10)的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更好．10．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图2­2­15)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.图2­2­15(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？【解】(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.又因为第二小组的频率＝eq\f(第二小组的频数,样本容量)，所以样本容量＝eq\f(第二小组的频数,第二小组的频率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由频率分布直方图可估计，该校高一年级学生的达标率为：eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.[能力提升]1．如图2­2­16是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知()图2­2­16A．甲运动员的成绩好于乙运动员B．乙运动员的成绩好于甲运动员C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D．甲运动员的最低得分为0分【解析】由茎叶图可以看出甲运动员的成绩主要集中在30至40之间，比较稳定，而乙运动员均匀地分布在10至40之间，所以甲运动员成绩较好．故选A.【答案】A2．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图2­2­17所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,