2019-2020学年人教A版必修一 函数的应用 单元测试

函数的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理，只需判断函数在区间两端点处的函数值是否异号即可得到答案。【详解】由题意得函数f(x)＝ex＋4x－3在R上为增函数，故f(x)＝ex＋4x－3至多有一个零点．∵f(14)=∴f(1∴函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(1故选C。【点睛】解答类似问题时注意，函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件．2．已知函数f(x)=ax+lnx−x2x−lnxA．1−aB．a−1C．-1D．1【答案】D【解析】试题分析:令,则，，即，也即，同理可得，故，也即(1−lnx1x1)2(1−考点：换元法及函数的零点等有关知识的综合运用.【易错点晴】函数的零点不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先将函数的零点问题转化为方程有解的问题，进而运用换元法转化为二次方程的根与系数之间的关系求解，然后运用这一条件,使得问题巧妙获解．3．已知函数若则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由于函数，那么当时，则有,综上可知满足方程的解有两个，分别是，故选B.考点：分段函数的求值点评：解决的关键是能根据已知的函数值，对于变量进行分情况讨论，得到结论，属于基础题。4．已知函数fx=x−3,x≤3−x−32,x>3，函数A．−114C．−∞, −【答案】B【解析】分析：构造新函数Fx=fx+f(3−x)，画出函数Fx详解：由题意得，令y=fx−gx构造函数Fx画出函数Fx的图象如图所示，其中A,B的坐标分别为(−故当b∈(−3,−114)点睛：本小题主要考查分段函数的图象与性质,考查零点问题的求解方法，题目所给函数fx是一个分段函数，那么函数f3−x也是一个分段函数，所以两个结合起来，将函数分成三个部分，将三段函数解析式求解出来后画出图象，即可得到5．已知函数，对于任意且.均存在唯一实数，使得，且.若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，作出函数图像，由图知，选C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．6．我市某旅行社组团参加衡水湖湿地一日游，预测每天游客人数在40至100人之间，游客人数（人）与游客的消费总额（元）之间近似地满足关系：．那么游客的人均消费额最高为（）元．（）Ａ．40B．50C．60D．80【答案】B【解析】本题考查函数的单调性，函数的应用以及分析问题，解决问题的能力.么游客的人均消费额设；函数在区间上是增函数，在区间上是减函数；所以当时，函数取最大值，最大值是故选B7．在，四个函数中，当时，使成立的函数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略8．④.能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是（）【答案】A【解析】试题分析：①对于函数：满足非负性：，当且仅当时取等号；满足对称性：；∵，对任意的实数均成立，因此满足三角形不等式：．可知能够成为关于的、的广义“距离”的函数．②，但是不仅时取等号，也成立，因此不满足新定义：关于的、的广义“距离”的函数；③，若成立，则不一定成立，即不满足对称性；④同理不满足对称性．综上可知：只有①满足新定义，能够成为关于的、的广义“距离”的函数．故选A．考点：新定义，函数的概念与表示.9．设方程（，为自然对数的底数），则（）A．当时，方程没有实数根B．当时，方程有一个实数根C．当时，方程有三个实数根D．当时，方程有两个实数根【答案】D【解析】由得：，所以，则，设，则，当时，，函数在上递减，当时，，函数在上递增，则函数图像如下图所示，因此当时，方程有两个实根.故选择D.10．已知函数，且，则当时，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由函数，则，所以函数为奇函数，所以不等式可转化为，又因为，所以函数为单调递增函数，所以可得，又，所以表示圆心在，半径为的上半圆．设，则可得，则在区间上为单调递减函数，则当时，，所以的取值范围是，故选C．考点：函数的性质及函数的取值范围．【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及函数的取值范围，其中解答中涉及到函数单调性的应用、函数的奇偶性的应用、函数不等式的转化问题和换元思想等知识的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据函数的单调性和奇偶性，转化不等式为和利用换元思想是解答问题的关键，属于中档试题．11．若函数满足且时，函数，则函数在区间内零点的个数为（）A．14B．13C．12D．8【答案】A【解析】此题考查函数与方程思想的应用、数形结合思想的应用；函数零点的个数方程根的个数函数与函数图象交点的个数；所以原问题等价于：函数与函数图象在区间上交点的个数。由已知得到函数是周期为2的周期函数，，如下图所示，可知道共有14个交点；所以选A12．已知函数，若函数有3个不同的零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】作出的图象，若的图象与直线有三个交点，根据图象可得的取值范围.【详解】作出的图象,在同一坐标系内作出由图象知当时，的图象与直线有三个交点.故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.二、填空题13．已知函数f(x)=log2x【答案】【解析】∵f(x)=log2x(x>0)3x(x≤0)，∴14．已知函数，若方程有两个实根，则实数的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：函数的图像如图中红色曲线，函数的图像为过定点（1，0）的动直线．可求出函数（）在点（1，0）处的切线的方程为，此时有且只有一个公共点．设，则，即函数在上单调递减．显然，，所以必存在唯一，使，且时，即此时直线恒在函数的图像的上方（如图所示）．显然当时，函数与函数的图像有三个交点，不符合题意．函数的导数为，显然当时，，则此时函数的图像在函数图像（即直线）的上方．所以由图像可知，函数的图像在直线和之间时符合题意．故．考点：由方程根的个数求参数范围．【方法点睛】方程解的个数函数与x轴交点的个数函数图像的交点个数．本题即转化为函数的图像与函数的图像有两个交点，利用数形结合的方法求解．另外，该题型也可将参数移到一边，其中一边看作新的函数和函数的交点个数，首先通过研究函数的单调性及极值，然后利用数形结合的方法求解即可，本题不适合该法，原因是构造出的函数的单调性比较难易判断．因此应结合题的特点选取适当的方法．15．已知M是函数f(x)=e−2|x−1|+2sinπ(x−12【答案】8【解析】【分析】先研究函数对称性，再确定零点个数，最后根据对称性求M.【详解】因为f2-x所以函数f(x)关于x=1对称，如图可得曲线y=e-2|x-1|与y=-2sinπx-12【点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先研究函数的单调性、对称性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.16．已知函数,若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】试题分析：,当时，，因为，所以，解之得，所以应填.考点：1.函数的值域；2.全称命题与特称命题；3.函数与不等式.【易错点睛】本题考查函数的值域、全称命题与特称命题、函数与不等式，属中档题；本题中存在实数，使得成立，是特称命题，若条件为对任意实数，使得成立，则为全称命题，解题时一定要认准特称命题与全称命题的特点，否则很容易出错.三、解答题17．某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩下的水果以8元/千克的价格退回水果基地.（1）若该超市一天购进A水果160千克，记超市当天A水果获得的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：千克，n∈N）的函数解析式，并求当y=765时n的值；（2）为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理得下表：日需求量140150160170180190200频数51088775假设该超市在这50天内每天购进A水果160千克，求这50天该超市A水果获得的日利润（单位：元）的平均数.【答案】（1）见解析；（2）772.【解析】分析：（1）讨论n与160的关系，即可得出y与n的解析式，再令y=765，求得对应的n的值；（2）根据加权平均数计算利润平均数．详解：（1）当日需求量n≥160时，利润y=160×(15-10)=800；当日需求量n<160时，利润y=(15-10)n-(160-n)×(10-8)=7n-320，所以y关于n的函数解析式为y=800,n≥160当y=765时，由7n-320=765，得n=155.（2）这50天中有5天的利润为660元，有10天的利润为730元，有35天的利润为800元，所以这50天该超市A水果获得的日利润的平均数为150点睛：本题考查了分段函数解析式的求解与应用，属于基础题．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答，理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏.18．已知是定义在上的奇函数，且，若，且时，有恒成立．（Ⅰ）用定义证明函数在上是增函数；（Ⅱ）解不等式：；（Ⅲ）若对所有恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）或【解析】试题分析：（Ⅰ）由在上是增函数；（Ⅱ）原不等式可化为，解得；（Ⅲ）原命题转化为恒成立的取值范围为或.试题解析：（Ⅰ）证明：设任意且，由于是定义在上的奇函数，∴因为，所以，由已知有,∵，∴，即，所以函数在上是增函数.（Ⅱ）由不等式得，解得（Ⅲ）由以上知最大值为，所以要使对所有，只需恒成立，得实数m的取值范围为或.19．已知函数（其中，，，是实数常数，）.（1）若，函数的图象关于点成中心对称，求，的值；（2）若函数满足条件（1），且对任意，总有，求的取值范围；（3）若，函数是奇函数，，，且对任意时，不等式恒成立，求负实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）将化为，类比的图象得对称中心，对应相等可求得结果；（2）整理可得：；当时符合题意；时由单调性可知不合题意；当时，可知只需，从而得到的范围；综合三种情况得到结果；（3）根据奇偶性和函数值可得：，根据得到，根据单调性求解出的最小值，则根据求得结果.【详解】（1）类比函数的图象，可知函数的图象的对称中心是又函数的图象的对称中心（2）由（1）知，依据题意，对任意，恒有.①当时，，符合题意②当时，对任意，则恒有，不符合题意；③当时，函数在上是单调递减函数，且满足因此，只需即可解得：综上所述，实数的范围（3）依据题设：，解得：于是由，得，因此函数在是增函数.所求负实数的取值范围【点睛】本题考查函数对称性的应用、根据函数在特定区间内的值域求解参数范围、函数中的恒成立问题的求解；解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的比较，通过求解最值得到结果.20．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).(1)求f(-1),f(2.5)的值;(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性;(3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.【答案】(1)f(-1)=-kf(2.5)=-QUOTE(2)f(x)=QUOTEf(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数(3)①k<-1时,f(x)在x=-3处取得最小值f(-3)=-k2,在x=-1处取得最大值f(-1)=-k.②k=-1时,f(x)在x=-3与x=1处取得最小值f(-3)=f(1)=-1,在x=-1与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1.③-1<k<0时,f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-1,在x=3处取得最大值f(3)=-QUOTE.【解析】解:(1)f(-1)=kf(1)=-k,∵f(0.5)=kf(2.5),∴f(2.5)=QUOTEf(0.5)=(0.5-2)×0.5=-QUOTE.(2)∵对任意实数x,f(x)=kf(x+2),∴f(x-2)=kf(x),∴f(x)=QUOTEf(x-2),当-2≤x<0时,0≤x+2<2,f(x)=kf(x+2)=kx(x+2);当-3≤x<-2时,-1≤x+2<0,f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)(x+4)