结构力学（上册）课件 第4章 静定拱

1第四章

静定拱2ABABC拱arch：是杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构。三铰拱F拱与梁的区别：

1.杆轴线为曲线；

2.在竖向荷载作用下产生水平反力（推力）。F梁F曲梁curvedbeam4-1概述推力存在与否是区别拱与梁的主要标志BA3三铰拱两铰拱无铰拱静定拱超静定拱

凡在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构都可称为拱式结构archstructure或推力结构thruststructure。P拱常用的形式推力结构ABC4

拱的主要优点：由于水平推力的存在使得拱的弯矩要比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，并主要是承受压力。

拱的主要缺点：由于支座要承受水平推力，因而它要求比梁具有更坚固的地基或支承结构（墙、柱、墩、台等）F拉杆来代替支座承受水平推力拉杆提高净空F拱的主要优缺点ABCABC56跨度

lspan起拱线risinglineofarch拱高

farchheight拱轴线archaxis拱顶vault拱趾archtoe高跨比ratioofheighttospan拱的各部名称拱趾ABC7赵州桥赵州桥位于河北赵县，又名安济桥，由石工李春主持设计建造，完成于公元605年左右。

在拱圈两肩各设两个跨度不等的腹拱，既减轻了桥身自重，又节省了材料，还便于排洪。8世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥)铸铁拱桥9

灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥，号称“渭水长虹”，“渭水第一桥”。主跨：40米，建成时间：1368曲拱型廊桥10万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥万县长江大桥11三峡公路桥三峡工程“下申溪”特大公路桥*

取全拱为所隔体建立三个平衡方程；取左（或右）半拱为隔离体，以中间铰C

为矩心，根据平衡条件ΣMc=0建立一个方程，从而求出所有的反力。

三铰拱是由两根曲杆与地基之间按三刚片规则组成的静定结构，共有四个未知反力，其反力计算方法与三铰刚架相同。1．支座反力的计算4-2三铰拱的计算*ABCABP1P2fP1P2a2a1支座反力的计算l1l2FAHFAVFBHFBVb1b2C

1.与荷载及三个铰的位置有关，而与各铰间的拱轴线形状无关。

2.当荷载及跨度l

不变时，推力FH将与拱高f

成反比。支座反力特点：l*AKF1xABCF1F2Kyxy

因拱常受压，故规定轴力以压力为正。

求任意截面K的内力三铰拱内力的计算MFSFNF1KABCKF1F2M0*1.三铰拱的内力值不但与荷载及三个铰的位置有关，而且与各铰间拱轴线的形状有关。

2.由于水平推力的存在，使得拱截面上的弯矩比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多。

由内力计算式可知：ABCxF1F2KyxyABCKF1F2*f=4mABC已知：拱轴为抛物线，其方程为

解：1.求支座反力l=12mF=50kN6m3m3mq=14kN/m75.5kN58.5kN50.25kN50.25kN例1作图示三铰拱的内力图*将l＝12m及f＝4m代入拱轴方程有x1＝1.5mx1y12.求各分段点截面的内力，将拱轴沿水平方向8等分f=4mABCl=12mF=50kN6m3m3mq=14kN/m75.5kN58.5kN50.25kN50.25kN023176584*6m3m3mf=4mx1y1ABCF=50kNq=14kN/m023176584

其它各截面的计算与上相同。为清楚起见，计算应列表进行。各截面的内力截面x/my/mtgφFS0/kNM0/kN.mM/kN.mFs/kNFN/kN0001.33375.5005.190.611.51.75154.597.59.63742330.66733.5163.512.7060.434.53.750.33312.51989.6451.74640-8.52010-8.550.357.53.75-0.333-8.5188.3-0.17.450.46左93-0.667-8.5175.524.720.846.5右-58.5-20.874.3710.51.75-1-58.587.8-0.1-5.876.88120-1.333-58.5005.177*三铰拱的内力图*l

fP2P1θ

hθCFR’FR’斜拱的支座反力和内力计算ABFHFHFAVFBVFAV’FBV’*

在非竖向荷载作用下怎样计算三铰拱的反力和内力？能否使用本节中的反力和内力计算公式？例如何求带拉杆的半圆三铰拱截面K的内力？？思考：22

当荷载及三个铰的位置给定时，三铰拱的反力与各铰间拱轴线形状无关；三铰拱的内力则与拱轴线形状有关。当拱上所有截面的弯矩、剪力都等于零，而只有轴力时，截面上的正应力是均匀分布的，材料能得以最充分地利用。故称这时的拱轴线为合理拱轴线。4-4三铰拱的合理拱轴线23

合理拱轴线可根据弯矩为零的条件来确定。在竖向荷载作用下，三铰平拱任一截面的弯矩可由内力计算式的第一式计算。

上式表明，在竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴线的纵坐标y

与相应简支梁弯矩图的竖标成正比。当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程，然后除以常数FH，便得到合理拱轴线方程。三铰拱的合理拱轴24例1：试求图示对称三铰拱在均布荷载q作用下的合理拱轴线。满布均布荷载作用解：在竖向荷载作用下三铰平拱合理拱轴线的纵坐标y为：水平推力FH为：ABCyxfl/2l/2q25由合理拱轴线方程可得

可见在竖向均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线是抛物线。相应简支梁弯矩图的竖标26例2试求图示对称三铰拱在拱上填料重量作用下的合理拱轴线。拱上荷载集度按变化，其中qc为拱顶处的荷载集度，为填料容重。填土荷载作用解：根据图示坐标系，三铰拱任一截面的弯矩为：由M=0，有27

由于荷载集度q

随拱轴线纵坐标y而变，而y未知，故相应简支梁的弯矩方程M0无法写出，因而不能由上式直接求出合理拱轴线方程。为此，将上式两边分别对x求导两次，得

由有

这就是竖向荷载作用下合理拱轴线的微分方程。求解此微分方程并结合边界条件，即可确定合理拱轴线方程。

28将代入微分方程中，得

这是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，它的一般解可用双曲线函数表示29常数A、B

可由边界条件确定

当x

=0时，y

＝0，得当x

=0时，y’

＝0，得B=0于是可得合理拱轴线的方程为

为了实际应用方便，避免直接计算推力，可将上式改写为另一种形式。为此，引入比值可得30

再引入无量纲的自变量，并令，则合理拱轴线方程可写为

这一方程所代表的曲线称为列格氏悬链线。

可见在填土荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线是一条列格氏悬链线。

31或

可见，只要当拱趾与拱顶处的荷载集度之比给定时，合理拱轴线方程即可确定。式中K

值可由比值m

和下述第三个边界条件确定：

当

ξ＝1时，y＝f

，由此可得chK=m

32例3试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理拱轴线。垂直于拱轴线的均布荷载作用解：本题为非竖向荷载。前面的内力计算式不能应用。现假定拱处于无弯矩状态，然后根据平衡条件推求合理拱轴线的方程。

33

从拱中截取一微段为隔离体，设微段两端横截面上弯矩、剪力均为零，而只有轴力N和N＋dN。由由34因

角极小，故可取