甘肃省张掖市2024-2025学年高一下学期6月月考 数学试卷（含解析）

2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷一、单选题1．化简（

）A． B． C． D．2．下列命题中为真命题的有（

）A．以直角三角形的一边所在直线为轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱D．正四棱锥的侧面均为等边三角形3．经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（

）A．若，则所有的数据都为0B．若，则的平均数为6C．若，则的方差为12D．若该组数据的分位数为90，则可以估计总体中至少有的数据不小于90．4．已知和都是单位向量，则的取值范围（

）A． B． C． D．5．已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．6．朝阳北塔是中国唯一一座集成了五个朝代且拥有1600多年历史的砖石塔，所以有着“五世同堂”宝塔的美誉．如图，某数学实践小组为了测得塔高，在点测得塔底点位于北偏东方向上，在点测得塔顶的仰角为，在点的正东方向且距点54m的点测得塔底点位于北偏西方向上（在同一水平面），则塔的高度约为（

）（参考数据：）

A．38m B．42m C．44m D．50m7．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.在阳马中，平面，点分别在棱上，则空间四边形的周长的最小值为（

）A． B． C． D．8．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则边上的高的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（）A．若z为纯虚数，则 B．若，则C．若点M在第一象限，则 D．若为z的共轭复数且，则10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（）A．若，则为等腰三角形B．若，，，则只有一解C．若，则D．若为锐角三角形，则11．如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱，，的中点，点满足，，则下列结论正确的是（

）A．平面B．若Q，M，N，P四点共面，则C．过点Q有且仅有一条直线与，都相交D．若，点F在侧面上（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为三、填空题12．若向量，，且，则.13．吉安，有“吉泰民安”之美誉，拥有丰富的历史文化底蕴和秀丽的自然风光.小明准备在寒假期间前往吉安旅游，他计划用三天时间游览“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”这三个景点，一天只能游览一个景点，如果按照任意次序排出游览顺序表，则第一天游览“武功山”或“钓源古村”的概率为.14．在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为.四、解答题15．某学校初二年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解初二年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）．初二男生身高样本的频率分布直方图组别频数频率40.108120.3020.05初二女生身高样本的频率分布表(1)求的值，并利用初二男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数；(2)若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求初二年级学生身高的样本平均数和方差．16．在如图所示的几何体中，直线，，底面ABCD是正方形，E，F，G分别为MB，PC，PB的中点，．(1)求证：；(2)求证：平面平面ADPM；(3)求直线PB与平面EFG所成角的正弦值．17．已知，，函数，函数图象的相邻对称轴之间的距离为；(1)求函数的解析式；(2)求函数的严格增区间；(3)将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象；关于的方程在有且仅有一解，求实数的取值范围.18．某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立．(1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率；(2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率．19．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且．(1)记平面平面，证明：；(2)求点到平面的距离；(3)点为侧棱上一点，猜想：当为何值时，有平面，并证明你的猜想．2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷参考答案题号12345678910答案BCDCDCCCABAC题号11答案ACD1．B【详解】由二倍角的正弦公式可得.故选:B.2．C【详解】对于A，当以直角三角形的一条直角边为轴旋转，得到圆锥，当以斜边为轴旋转，得到两个圆锥的组合体，A错误；对于B，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，B错误；对于C，由棱柱的定义知，C正确；对于D，正四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，D错误.故选：C.3．D【详解】对于选项A：当时，有，则，但不一定为0，故选项A错误；对于选项B：因为，所以，则，故选项B错误；对于选项C：由选项B可知的平均数为.所以的方差为，故选项C错误；对于选项D：根据百分位数的定义可判断选项D正确.故选：D.4．C【详解】根据向量的三角不等式得.故选：C．5．D【详解】设圆锥的高为，母线长为，因为圆锥的底面半径为，其体积为，所以，解得，所以，故圆锥的侧面积为.故选：D6．C【详解】如图，根据题意，平面，，.

在中，因为，所以，所以.在中，.故选：C.7．C【详解】由于为定值，故只需求折线段的最小值，将侧面翻折到和底面重合，得到的形状如下，于是转化成平面问题，折线段的最值可通过作对称点的方式处理，作关于的对称点，连接和交于，交于，由于，显然为的中位线，则，由和相似可得，说明这样的符合题意，故，于是空间四边形的周长的最小值为.故选：C8．C【详解】因为是锐角三角形，所以，解得.由正弦定理可得，则，.设边上的高为，由，得，所以.由，得，可得，所以，即边上的高的取值范围为.故选：C.9．AB【详解】对于A选项，已知为纯虚数，则，则，A选项正确.对于B选项，已知，即，这说明是一个非正实数，即，由可得，此时，满足条件，所以若，则，B选项正确.对于C选项，若点在第一象限，则，得，所以若点在第一象限，则，而不是，C选项错误.对于D选项，已知，则，即，所以，解得，而不是，D选项错误.故选：AB.10．AC【详解】对于选项A：由，由正弦定理可得，则，因为，则，可得，即，所以为等腰三角形，故A正确；对于选项B：若，，，则，所以有两解，故B错误；对于选项C：若，有正弦定理可得，则，即，因为，则，可得，所以，故C正确；对于选项D：取等边三角形，则，故D错误.故选：AC.11．ACD【详解】对于A,因为平面平面,平面,所以平面,故A正确；对于B,作直线，分别交延长线于点，再连接并延长交延长线于点，连接交于点，因为分别是棱，，的中点，可作正方体截面为正六边形，它们交于各棱中点，所以为中点，由可得，故B错误；对于C,由平面平面，则，因为都在平面内，所以由图可得必与相交，根据以上作图可得唯一交点，所以直线是唯一与和相交的直线，故C正确；对于D，由分别是棱的中点，点满足，则过作平行于，交于，由图可得，连接，再过点作的平行线交于，可得，再过点作的平行线交于，可得为的中点，则可得平面，平面，平面，所以平面平面，若平面，则平面，因为平面平面，所以，由于正方体棱长为2，可得，故D正确；故选：ACD.12．【详解】因为向量，，且，可得，解得.故.13．【详解】“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”分别记为,随机安排三个景点的游览顺序，安排方法有，，，，，共有6种，其中第一天游览“武功山”或“钓源古村”共有4种方法，其概率为,故14．【详解】由题设，则，所以，，令，，则，所以，当时，的最小值为.故，15．(1)，169(2)平均数为166，方差为100.8．【详解】（1）可得，此时男生身高平均数为．（2）结合分布表，，因此，进而，此时计算得到女生身高平均数为．因此初二年级身高平均数为，方差为．16．(1)证明见详解(2)证明见详解(3)【详解】（1）连接，为正方形，，底面，平面，，，平面，平面，平面，.（2）分别为的中点．，，，平面，平面，平面，同理可证平面，，平面平面平面.（3）平面，平面，，又，，平面，连接，则为直线与平面所成的角，，，，.由（2）知平面平面，所以直线与平面所成的角与与平面所成的角相等，直线与平面所成角的正弦值为17．(1)(2)(3)【详解】（1），，，因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，所以，得，所以；（2）令，则，所以的严格增区间为;（3）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，再向左平移个单位得，令，则，所以，因为在上只有一个解，

由的图象可得，或，所以的取值范围是.18．(1)(2)【详解】（1）记甲两次抽到相同奖品为事件，记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件，则，，所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为；（2）甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次.又获得的奖品价值总和不低于80元，故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元，一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到40元或两次抽到30元，一次抽到20元或两次抽到20元，一次抽到40元，又两次抽到40元，一次抽到30元的概率，两次抽到40元，一次抽到20元的概率，两次抽到40元，一次抽到10元的概率，两次抽到30元，一次抽到40元的概率，两次抽到30元，一次抽到20元的概率，两次抽到20元，一次抽到40元的概率，所以获得的奖品价值总和不低于80元的概率为：.19．(1)证明见解析(2)(3)在侧棱上存在一点，使平面，满足【详解】（1）在正四棱锥中，，平面，平面，则平面