2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（湘教版）-1 第一节　抽样、统计图表

第一节抽样、统计图表【课程标准】1.了解获取数据的基本途径.2.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样.3.能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性.1.统计中的几个基本概念(1)总体与个体：在统计学中，我们把调查对象的全体叫作总体，把总体中的成员叫作个体.(2)样本与样本容量：从总体中抽取的一部分个体就称为总体的一个样本，样本也叫作观测数据，构成样本的个体数目称为样本容量，简称为样本量.从总体中抽取样本的工作称为抽样.(3)普查与抽样调查：统计调查一般分为两种：普查与抽样调查.普查，又称全面调查，即对需要调查的对象进行逐个调查.抽样调查是从调查对象的总体中，抽取若干个个体进行调查.2.简单随机抽样(1)随机抽样：如果在抽样过程中，能使总体中的每个个体都有相同的可能性被选入样本，那么这样的抽样叫作随机抽样.(2)随机抽样分为无放回的随机抽样和有放回的随机抽样.(3)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中无放回地抽取n(n≤N)个个体为样本，如果总体内的每个个体都有相同的可能性被抽到，则把这样的抽样方法称为简单随机抽样.(4)简单随机样本：把简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本.(5)常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法.3.分层抽样当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分为互不交叉的层，然后对各层按其在总体中所占比例独立进行简单随机抽样，这种抽样方法称为分层抽样.4.统计图表(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.(2)作频率分布直方图的步骤：①计算最大值与最小值的差(也称为这组数据的极差)；②确定组距和组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图.【常用结论】(1)在比例分配的分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为x，y，样本平均数为w，则w=MM+Nx+N(2)频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆.【自主检测】1.(多选)下列说法正确的是()A．在简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会与先后顺序有关B．抽签法和随机数法都是简单随机抽样学生用书⬇第257页C．在比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关D．在频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大答案：BD2.从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是()A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生B．样本是指1000名学生的数学成绩C．样本量指的是1000名学生D．个体指的是1000名学生中的每一名学生答案：B解析：对于A，总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A错误；对于B，样本是指1000名学生的数学成绩，故B正确；对于C，样本量是1000，故C错误；对于D，个体指的是每名学生的数学成绩，故D错误.故选B．3.某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm，其中被抽取的男生平均身高为172cm，则被抽取的女生平均身高为()A．154.5cm B．158cmC．160.5cm D．159cm答案：A解析：根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人，设被抽取到的女生平均身高为xcm，则60×172+40x100=165，解得x=154.5cm，所以被抽取的女生平均身高为154.54.已知甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为()A．150 B．250C．300 D．400答案：B解析：因为甲组人数为120人，占总人数的百分比为30%，所以总人数为120÷30%=400.因为丙、丁两组人数和占总人数的百分比为1-30%-7.5%=62.5%，所以丙、丁两组人数和为400×62.5%=250.故选B．5.从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50~300kW·h之间，适当分组(每组为左闭右开区间)后绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)直方图中x的值为；(2)在被调查的用户中月用电量落在区间[100，250)内的户数为.

答案：(1)0.0046(2)72解析：(1)根据频率分布直方图的面积和为1，得(0.0024+0.0038+0.0060+x+0.0032)×50=1，解得x=0.0046.(2)月用电量落在区间[100，250)内的频率为f=(0.0038+0.0060+0.0046)×50=0.72，所以在被调查的用户中月用电量落在区间[100，250)内的户数为100×0.72=72.考点一抽样方法多维探究角度1简单随机抽样(1)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．02 C．63 D．01(2)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石答案：(1)D(2)B解析：(1)根据题意，依次读出的数据为65(舍去)，72(舍去)，08，02，63(舍去)，14，07，02(舍去，重复)，43(舍去)，69(舍去)，97(舍去)，28(舍去)，01.故选D．(2)由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为28254×1534≈169(石).故选B1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限.(2)逐个抽取.(3)是不放回抽取.(4)是等可能抽取.2.简单随机抽样有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).角度2分层抽样(1)(2023·新课标Ⅱ卷改编)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则在初中部和高中部抽取的人数分别为.

(2)某校有高一年级学生n名，其中男生人数与女生人数之比为6∶5，为了了解高一年级学生的视力情学生用书⬇第258页况，现要求按比例分配分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为n10的样本，若样本中男生比女生多12人，则n=.答案：(1)40，20(2)1320解析：(1)由题意，初中部和高中部学生人数之比为400200=21，所以抽取的60名学生中初中部应有60×23=40(人)，高中部应有60×13=20(2)由题意可得611-511×n10=12，解得n分层随机抽样问题的类型及解题思路1.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.2.已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.3.分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中，抽样比=样本量总样本量角度3分层随机抽样的平均值将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样的方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取个个体；若A，B，C三层的样本的平均数分别为15，30，20，则样本的平均数为.

答案：2020.5解析：因为A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又总体中每个个体被抽到的概率相等，所以分层随机抽样应从C中抽取100×25+3+2=20个个体.样本的平均数为w=55+3+2×15+35+在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x，第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为mx+对点练1.(1)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为件.

(2)某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为分.

答案：(1)1800(2)95解析：(1)由题设，抽样比为804800=160.设甲设备生产的产品为x件，则x60=50，所以x=3000.故乙设备生产的产品总数为4800-3000(2)设所求20名女生的平均成绩为x，由题意得50×92=30×90+20×x，所以x=95分.考点二统计图表多维探究角度1扇形(饼状)图(多选)(2024·湖北武汉调研)某市2023年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是()A．招商引资后，工资净收入较前一年增加B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的2D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍答案：AD解析：设招商引资前经济收入为M，而招商引资后经济收入为2M，则对于A，招商引资前工资净收入为M×60%=0.6M，而招商引资后的工资净收入为2M×37%=0.74M，所以工资净收入增加了，故A正确；对于B，招商引资前转移净收入为M×4%=0.04M，招商引资后转移净收入为2M×5%=0.1M，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为0.1M+0.56M=0.66M<25×2M=0.8M，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的25，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为M×30%=0.3M，招商引资后经营净收入为2M×30%=0.6M，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.故选A角度2条形图与折线图(1)(多选)人口普查是当今世界各国广泛采用的搜集人口资料的一种最基本的科学方法，根据人口普查的基本情况制定社会、经济、科教等各项发展政策.截至2022年6月，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次人口普查的城乡人口数和城镇人口比重情况，下列说法正确的是()学生用书⬇第259页A．乡村人口数逐次增加B．历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C．城镇人口数逐次增加D．城镇人口比重逐次增加(2)(多选)某企业2024年12个月的收入与支出数据的折线图如图：已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是()A．该企业2024年1月至6月的总利润低于2024年7月至12月的总利润B．该企业2024年1月至6月的平均收入低于2024年7月至12月的平均收入C．该企业2024年8月至12月的支出持续增长D．该企业2024年11月的月利润最大答案：(1)BCD(2)ABC解析：(1)对于A，根据题中条形图，知乡村人口数在前四次普查中逐次增加，在后三次普查中逐次减少，故A不正确；对于B，从题中条形图，知在历次人口普查中第七次普查城镇人口最多，故B正确；对于C，根据题中条形图，知城镇人口数逐次增加，故C正确；对于D，从题中折线图对应的数据可得，七次人口普查中城镇人口比重依次为13.26，18.30，20.91，26.44，36.22，49.68，63.89，可知城镇人口比重逐次增加，故D正确.故选BCD．(2)因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润.由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量小，故A正确；由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正确；由折线统计图可知8月至12月的虚线是上升的，所以支出持续增长，故C正确；由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故D错误.故选ABC．角度3频率分布直方图随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[160，165)，[165，170)，[170，175)，[175，180)，[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170cm及以上的学生人数；(2)将身高在[170，175)，[175，180)，[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数.解：(1)由频率分布直方图可知5×(0.01+0.07+x+0.04+0.02)=1，解得x=0.06，身高在170cm及以上的学生人数为100×5×(0.06+0.04+0.02)=60.(2)A组人数为100×5×0.06=30，B组人数为100×5×0.04=20，C组人数为100×5×0.02=10，由题意可知A组抽取人数为6×3030+20B组抽取人数为6×2030+20C组抽取人数为6×1030+20统计图表的特点1.通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.2.折线图可以表示随时间而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的变化趋势.3.频率分布直方图的数据特点(1)频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布.对点练2.(1)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为()学生用书⬇第260页A．100，20 B．200，20 C．200，10 D．100，10(2)(多选)(2020·新高考Ⅱ卷)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图.下列说法正确的是()A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量(3)某市3000名市民参加“美丽城市我建设”相关知识竞赛的成绩如图所示.①a=；

②估计该市参加知识竞赛的3000名市民中，成绩在[70，90)内的人数为.

答案：(1)B(2)CD(3)①0.005②1950解析：(1)由题图甲可知学生总数是10000人，样本量为10000×2%=200人，高中生为2000×2%=40人，由题图乙可知高中生近视率为50%，所以人数为40×50%=20.故选B．(2)由题图可知，复产指数第7天到第9天逐日减少，复工指数第1天到第2天、第7天到第8天、第10天到第11天逐日减少，故A错误；由题图可知，第1天复产指数与复工指数的差大于第11天复产指数与复工指数的差，所以这11天期间，复产指数的增量小于复工指数的增量，故B错误；由题图可知，第3天至第11天复工复产指数均在80%以上，故C正确；由题图可知，第9天至第11天复产指数的增量大于复工指数的增量，故D正确.故选CD．(3)①依题意，得(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1，故a=0.005.②成绩在区间[70，90)内的频率为(7a+6a)×10=130a=130×0.005=0.65，所以所求人数为3000×0.65=1950.[真题再现](2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案：C解析：由频率分布直方图可得，该地农户家庭年收入低于4.5万元和不低于10.5万元的频率分别为0.06和0.1，则农户比率分别为6%和10%，故A，B正确；家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.1+0.14+0.2+0.2=0.64，故D正确；家庭年收入的平均值为0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68万元，因为7.68>6.5，所以估计该地区农户家庭年收入的平均值超过6.5万元，故C中结论不正确.故选C．[教材呈现](湘教版必修一P233T7)从某中学随机抽取100名同学，将他们的身高数据(单位：cm)绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[150，160)，[160，170)，[170，180)三组内的学生中，用分层抽样的方法选取16人参加一项活动，则从身高在[170，180)内的学生中选取的人数应为多少?点评：这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查用样本估计总体分布，教材中的题目的设问更具体，高考题的设问更开放.课时测评75抽样、统计图表对应学生(时间：60分钟满分：100分)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!)(每小题5分，共45分)1.“嫦娥五号”的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”.某中学为此举行了“讲好航天故事”的主题演讲比赛.若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，经随机模拟产生了36个随机数如下，则选出来的第7个个体的编号为()456732121231020104521520011251293204923449358200362348696938748146527364A．12 B．20 C．29 D．23答案：C解析：有效编号为：12，02，01，04，15，20，29，得到选出来的第7个个体的编号为29.故选C．2.为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中随机抽取40名高一学生进行测量，在这个问题中，样本指的是()A．240名高一学生的身高B．抽取的40名高一学生的身高C．40名高一学生D．每名高一学生的身高答案：B解析：总体是240名高一学生的身高，则个体是每名高一学生的身高，故样本是抽取的40名高一学生的身高.故选B．3.已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图①和图②所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()A．240，18 B．200，20 C．240，20 D．200，18答案：A解析：样本量n=(250+150+400)×30%=240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%=18.故选A．4.某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是()A．85分 B．85.5分 C．86分 D．86.5分答案：A解析：由题意可知，两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩为40×90+50×8190=855.在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80分~100分的学生人数是()A．15 B．18 C．20 D．25答案：A解析：由频率分布直方图知，第二小组的频率为10×0.040=0.4，所以总人数为400.4=100人，又成绩在80分~100分的频率为10×(0.010+0.005)=0.15，所以成绩在80分~100分的学生人数为100×0.15=15人.6.为了比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述错误的是()A．甲的逻辑推理能力指标值高于乙的逻辑推理能力指标值B．甲的直观想象能力指标值高于乙的数学建模能力指标值C．乙的六维能力指标值整体水平高于甲的六维能力指标值整体水平D．甲的数学运算能力指标值高于甲的直观想象能力指标值答案：D解析：对于A，甲的逻辑推理能力指标值为4，高于乙的逻辑推理能力指标值为3，故A正确；对于B，乙的数学建模能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的直观想象能力指标值高于乙的数学建模能力指标值，故B正确；对于C，甲的六维能力指标值的平均值为16×(4+3+4+5+3+4)=236，乙的六维能力指标值的平均值为16×(5+4+3+5+4+3)=4，236<4，故C正确；对于D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不高于甲的直观想象能力指标值，故D错误7.(多选)2023年2月28日，国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报，如图是该公报中关于2018年~2022年国内生产总值及其增长速度的统计图，下列说法正确的是()A．近五年的国内生产总值逐年递增，近三年均已超过1000000亿元B．2017年的国内生产总值低于800000亿元C．近五年的国内生产总值增长速度的平均数为5.26%D．近五年的国内生产总值的极差为290926亿元答案：ACD解析：由统计图可得2018年~2022年国内生产总值分别为919281，986515，1013567，1149237，1210207，增长速度为6.7%，6.0%，2.2%，8.4%，3.0%，对于A，通过数据可得近五年的国内生产总值逐年递增，且近三年均已超过1000000亿元，故A正确；对于B，2017年的国内生产总值为919281÷(1+6.7%)≈861557亿元，故B不正确；对于C，近五年的国内生产总值增长速度的平均数为6.7%+6.0%+2.2%+8.4%+3.0%5=5.26%，故C正确；对于D，8.(多选)(2025·山东济南模拟)某学校组建了辩论、英文剧场、民族舞、无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等，下列说法正确的是()A．高一年级学生人数为120人B．无人机社团的学生人数为17人C．若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人D．若甲、乙、丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法答案：AC解析：由题目所给的数据可知：民族舞的人数为12，占高一年级总人数的比例为10%，所以高一年级的总人数为12÷10%=120，英文剧场的人数=120×35%=42，辩论的人数=30，无人机=数学建模=(120-42-30-12)÷2=18，占高一年级人数的比例是18120×100%=15%，故A正确，B错误；分层抽样20人，无人机社团应派出20×15%=3(人)，故C正确；甲、乙、丙三人报名参加社团，每人有5种选法，共有53=125种不同的报名方法，故D错误.故选AC9.为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10，110]内，其频率分布直方图如图所示.已知活动时间在[10，35)内的频数为80，则n的值为.

答案：800解析：根据频率分布直方图，知组距为25，所以活动时间在[10，35)内的频率为0.1，因为活动时间在[10，35)内的频数为80，所以n=800.1(每小题10分，共30分)10.(多选)(2025·安徽皖南八校联考)在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进行统计，样本容量为n，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在区间[50，60)内的人数为16.则下列结论正确的是()A．图中x=0.016B．样本容量n=1000C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分D．该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分答案：ACD解析：对于A，因为(x+0.030+0.040+0.010+0.004)×10=1，解得x=0.016，故A正确；对于B，因为成绩落在区间[50，60)内的人数为16，所以样本容量n=160.016×10=100，故B错误；对于C，学生成绩平均分为0.016×10×55+0.030×10×65+0.040×10×75+0.010×10×85+0.004×10×95=70.6，故C正确；对于D，因为10×(0.004+0.010)+(80-m)×0.040=0.25，解得m=77.25，所以成绩大约至少为77.25分的学生能得到此称号，故D正确11.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类型ABC产品数量(件)1300样本容量(件)130由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量