2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（湘教版）-6 第五节　一元二次函数、方程和不等式

第五节一元二次函数、方程和不等式【课程标准】1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.1.一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1=x2=-b没有实根一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}x|xR一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅[微提醒]对于不等式ax2+bx+c>0，求解时不要忘记a=0时的情形.【常用结论】(1)分式不等式的解法①f(x)gx>0(<0)⇔f(x)·gx②f(x)gx(2)绝对值不等式的解法绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞，-a)∪(a，+∞)；|x|<a(a>0)的解集为(-a，a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.(3)一元二次不等式恒成立的条件①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是a②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a【自主检测】1.(多选)下列结论正确的是 ()A．若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0B．若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为RC．不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0D．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集答案：AD2.设m+n>0，则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 ()A．{x|x<-n或x>m} B．{x|-n<x<m}C．{x|x<-m或x>n} D．{x|-m<x<n}答案：B解析：(m-x)(n+x)>0⇒(x-m)(x+n)<0，又因为m+n>0，所以m>-n，所以不等式的解集为{x|-n<x<m}.故选B．3.不等式-2x2+x≤-3的解集为.

答案：(-∞，-1]∪3解析：由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0，即(2x-3)(x+1)≥0，得x≤-1或x≥32，故不等式的解集为(-∞，-1]∪34.(易错题)若不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为.答案：(-3，0]解析：当k=0时，满足题意；当k≠0时，k<0，Δ=k2-4×2k×-38<0，解得-3<k<0，所以5.若不等式ax2+ax+a+3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是.

答案：{a|a≥0}解析：当a=0时，不等式为3>0，满足题意；当a≠0时，需满足a>0，Δ=a2-4aa+3≤0，学生用书⬇第15页考点一一元二次不等式的解法多维探究角度1不含参数的一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)-3x2-2x+8≥0；(2)0<x2-x-2≤4.解：(1)原不等式可化为3x2+2x-8≤0，即(3x-4)(x+2)≤0，解得-2≤x≤43所以原不等式的解集为x-(2)原不等式等价于x2-x-2>0，x2-x所以原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}.解一元二次不等式的4个步骤

角度2含参数的一元二次不等式的解法解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).解：原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0.因为a>0，所以ax-1a(x-1)所以当a>1时，解得1a<x<1当a=1时，不等式无解；当0<a<1时，解得1<x<1a综上，当0<a<1时，不等式的解集为x1<当a=1时，不等式的解集为⌀；当a>1时，不等式的解集为x1对含参数的不等式，应对参数进行分类讨论：

1.根据二次项系数为正、负及零进行分类.

2.根据判别式Δ与0的关系进行分类.

3.当有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.对点练1.解下列关于x的不等式：(1)x-3x>-2；(2)x2-(a2+a)x+a3<0(a>0)；(3)1x+1>解：(1)由不等式x-3x>-2，可得x>2或x<1.由x>2，得x>4；由x<1，得x<1且x≥0，即0≤x<1.所以不等式的解集为{x|x>4或0≤x<1}.(2)原不等式转化为(x-a)(x-a2)<0.当a2>a，即a>1时，不等式的解集为{x|a<x<a2}；当a2<a，即0<a<1时，不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a2=a，即a=1时，不等式的解集为⌀.(3)1x+1>1⇒1x+1-1>0⇒-xx+1>0⇒xx+1<0⇒-1<x<考点二三个“二次”的关系师生共研(多选)若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1，2)，则 ()A．相应的一元二次函数的图象开口向下B．b<0且c>0C．a+b+c>0D．不等式ax2-cx+b<0的解集是R答案：AB解析：由题意知a<0，所以A正确；由题意可得-1，2是方程ax2-bx+c=0的两个根，所以-1+2=ba，-1×2=ca，所以b=a，c=-2a，得b<0，c>0，所以B正确；因为-1是方程ax2-bx+c=0的根，所以把x=-1代入方程得a+b+c=0，所以C不正确；把b=a，c=-2a代入不等式ax2-cx+b<0，可得ax2+2ax+a<0，因为a<0，所以x2+2x+1>0，即(x+1)21.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式的解集的端点值.

2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.学生用书⬇第16页对点练2.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是xx<-2或x>-12答案：1解析：由条件知-2，-12是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，所以-2-12=-ba，-2×-12=ca，所以b=52a，c=a.从而不等式ax2-bx+c>0，即为ax2-52x+1>0.因为a<0，所以原不等式等价于2x2-5x+2<0，即考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1在R上的恒成立问题已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围是 ()A．[0，1] B．(0，1]C．(-∞，0)∪(1，+∞) D．(-∞，0]∪[1，+∞)答案：A解析：当k=0时，8>0恒成立，符合题意；当k≠0时，要使kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，只需k>0，Δ=36k2-4kk+8≤0，解得0角度2在给定区间上的恒成立问题已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5-m恒成立，则实数m的取值范围为.

答案：-∞解析：要使f(x)<5-m在x∈[1，3]上恒成立，即mx-122+34m-6<0在x∈法一：令gx=mx-122+34m-6，x∈[1，3].当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增，所以gxmax=g(3)，即7m-6<0，所以m<67，所以0<m<67；当m=0时，-6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1，3]上单调递减，所以gxmax=g(1)，即m-6<0，所以m<6，所以m<法二：因为x2-x+1=x-122+34>0，m(x2-x+1)-6<0在x∈[1，3]上恒成立，所以m<6x2-x+1在x∈[1，3]上恒成立.令y=6x2-x+1，因为函数y=6x2-x角度3在给定参数范围内的恒成立问题若不等式x2+px>4x+p-3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是()A．[-1，3]B．(-∞，-1]C．[3，+∞)D．(-∞，-1)∪(3，+∞)答案：D解析：不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0，由已知可得[x-1p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤可得f(0)=x2-4x+3>0恒成立问题求参数范围的解题策略

1.弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.2.一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般运用分离参数法求最值或进行分类讨论.对点练3.(1)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为⌀，则实数a的取值范围是()A．{a|a<-2或a≥2} B．{a|-2<a<2}C．{a|-2<a≤2} D．{a|a<2}(2)已知函数f(x)=x2-4x-4.若f(x)<1在区间(m-1，-2m)上恒成立，则实数m的取值范围是.

答案：(1)C(2)0解析：(1)因为不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为⌀，所以不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R.当a-2=0，即a=2时，-4<0，符合题意；当a-2≠0，即a≠2时，需满足Δ=2a-22+4×4×a-2<0，a-2<0，解得-2(2)由题意得x2-4x-4<1，解得-1<x<5，即x∈(-1，5).因为f(x)<1在区间(m-1，-2m)上恒成立，所以(m-1，-2m)⊆(-1，5)，所以m-1<-2m，m-1≥-[真题再现](2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N=xx2-x-6≥0A．-2，-1C．-2 D．答案：C解析：法一：因为N=xx2-x-6≥0=-∞，-2∪3，+∞法二：因为M=-2，-1，0，1，2，将-2，-1，0，1，2代入不等式x2-x-6≥0，只有-2使不等式成立[教材呈现](湘教版必修一P61T5)已知U=R，A={x|x2-16<0}，B={x|-x2+3x+18>0}，求A∩B，A∪B.点评：两题均考查了一元二次不等式的解法和集合交并运算，在解一元二次不等式时首先将不等式化为标准形式，然后再利用根与系数的关系或因式分解法转化集合，再求集合交并运算进行问题解决.课时测评5一元二次函数、方程和不等式对应学生(时间：60分钟满分：100分)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!)(1-10，每小题5分，共50分)1.不等式|x|(1-2x)>0的解集为 ()A．(-∞，0)∪0，12 C．12，+∞答案：A解析：由题意得x≠0，当x>0时，原不等式即为x(1-2x)>0，所以0<x<12；当x<0时，原不等式即为-x(1-2x)>0，所以x<0.综上，原不等式的解集为(-∞，0)∪0，122.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2}，则不等式2x2+bx+a<0的解集为()A．x-1<x<C．{x|-2<x<1} D．{x|x<-2或x>1}答案：A解析：因为不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2}，所以ax2+bx+2=0的两根为-1，2，且a<0，即-1+2=-ba，-1×2=2a，解得a=-1，b=1，则不等式可化为2x2+x-1<0，解得-1<x<12，则不等式2x2+bx+a<03.已知命题p：“∀x∈R，(a+1)x2-2(a+1)x+3>0”为真命题，则实数a的取值范围是()A．-1<a<2 B．a≥1C．a<-1 D．-1≤a<2答案：D解析：当a=-1时，3>0成立；当a≠-1时，需满足a+1>0，Δ=4a+12-12a+1<0，解得-1<a<2.综上所述4.对于问题“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1，2)，解关于x的不等式ax2-bx+c>0”，给出如下一种解法.解：由ax2+bx+c>0的解集为(-1，2)，得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集为(-2，1)，即关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为(-2，1).参考上述解法，若关于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集为-1，-13∪1A．(-2，1)∪(1，3) B．(-3，-1)∪(1，2)C．(-3，-2)∪(-1，1) D．(-2，-1)∪(1，2)答案：B解析：若关于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集为-1，-13∪12，1，则关于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0可看成是前者不等式中的x用1x代替得到的，所以15.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，则下列结论中，正确的有()A．a>0B．不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}C．不等式cx2-bx+a<0的解集为xD．a+b+c>0答案：AD解析：由不等式的解集为{x|x≤3或x≥4}可知a>0且-ba=3+4=7，ca=3×4=12，所以b=-7a，c=12a，对于A，由上可知，故A正确；对于B，bx+c=-7ax+12a>0，又a>0，所以x<127，故B错误；对于C，cx2-bx+a=12ax2+7ax+a<0，又a>0，即12x2+7x+1<0，解得-13<x<-14，故C错误；对于6.(多选)关于x的不等式(ax-1)(x+2a-1)>0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为()A．-12 B．1C．-1 D．-2答案：AC解析：由题意知a<0，则排除B；对于A，当a=-12时，-12x-1x-2>0，即(x+2)(x-2)<0，解得-2<x<2，解集中恰有3个整数，符合题意；对于C，当a=-1时，(-x-1)(x-3)>0，即(x+1)(x-3)<0，解得-1<x<3，解集中恰有3个整数，符合题意；对于D，当a=-2时，(-2x-1)(x-5)>0，即(2x+1)(x-5)<0，解得-12<x<5，7.不等式3x+5x-1答案：(-∞，-1)∪(1，5)解析：不等式3x+5x-1>x化为以下两个不等式组x-1<0，3x+5<x2-x或x-1>0，3x+5>x2-x，解x8.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为.

答案：-4解析：因为当x∈[1，3]时，x2+ax+4≥0恒成立，所以a≥-x+4x恒成立，又当x∈[1，3]时，x+4x≥24=4，当且仅当x=2时取等号，所以-x+4x≤-4，所以a≥-49.若a<0，则关于x的不等式组ax-a2<0答案：(a，-a)解析：因为a<0，所以由ax-a2=a(x-a)<0，得x>a.由x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)<0，得2a<x<-a.所以原不等式组的解集为(a，-a).10.(2025·湖南常德模拟)已知函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m+6)，则实数c的值为.

答案：9解析：因为函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域为[0，+∞)，所以f(x)=x2+ax+b=0只有一个根，即Δ=a2-4b=0，则b=a24，不等式f(x)<c的解集为(m，m+6)，即x2+ax+a24<c的解集为(m，m+6)，则x2+ax+a24-c=0的两个根为m，m+6，所以|m+6-m|=a2-411.(12分)已知集合：①A=x4x+1>1；②A={x|x2-2x-3<0}；③A={x||x-1|<2}，集合B={x|x2-(2m+1)x+m2+m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合(1)定义A-B={x|x∈A，且x∉B}，当m=0时，求A-B；(5分)(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围.(7分)解：(1)选①：由4x+1>1，可得3-xx+1>0，即(x-解得-1<x<3，故A=(-1，3)，由m=0，可得x2-x<0，即x(x-1)<0，解得0<x<1，故B=(0，1)，则A-B=(-1，0]∪[1，3).选②：x2-2x-3<0，解得-1<x<3，故A=(-1，3)，由m=0，可得x2-x<0，即x(x-1)<0，解得0<x<1，故B=(0，1)，则A-B=(-1，0]∪[1，3).选③：|x-1|<2，-2<x-1<2，解得-1<x<3，故A=(-1，3)，由m=0，可得x2-x<0，即x(x-1)<0，解得0<x<1，故B=(0，1)，则A-B=(-1，0]∪[1，3).(2)由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A=(-1，3).由x2-(2m+1)x+m2+m<0，即(x-m)[x-(m+1)]<0，解得B=(m，m+1)，因为p是q成立的必要不充分条件，所以B⫋A，所以m>-解得-1≤m≤2，故实数m的取值范围为[-1，2].12.(6分)已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在0，+∞上单调递增.若关于x的不等式fx≤4x的解集为-∞，-2∪2，+∞，则不等式fxA．(-∞，-2)∪(2，+∞)B．(-2，2)C．(-∞，-4)∪(4，+∞)D．(-4，4)答案：B解析：因为函数fx是定义在R上的偶函数，且在0，+∞上单调递增，所以fx在-∞，0上单调递减，又fx≤4x的解集为(-∞，-2]∪2，+∞，可得所以当x≥2，或x≤-2时，y=f(x)的图象在y=4x图象的下方，当-2<x<2时，y=f(x)的图象在y=4x图象的上方，又因为当x≥2，或x≤-2时，y=2x2的图象在y=4x图象的上方，当-2<x<2时，y=2x2的图象在y=4x图象的下方，所以当x≥2，或x≤-2时，y=f(x)的图象在y=2x2图象的下方，当-2<x<2时，y=f(x)的图象在y=2x2图象的上方，则不等式fx>2x2的解集为-2，2.13.(16分)已知函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若不等式f(x)≥-2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(6分)(2)若a<0，解关于x的不等式f(x)<a-1.(10分)解：(1)∀x∈R，f(x)≥-2恒成立等价于∀x∈R，ax2+(1-a)x+a≥0，当a=0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0，