2024-2025学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z1−i=−2+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(

)A.8 B.7 C.5 D.33.已知向量a=(1,−1)，b=(2,m)，若a⊥(a+b)，则向量A.(−255,−4554.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：①n//m，n⊂α⇒m//α；②若m，n为异面直线，n⊂α，n//β，m⊂β，m//α⇒α//β；③α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n；④m//α，n⊂α⇒m//n.其中正确命题的个数有(

)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5.下列说法正确的是(

)A.数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5

B.若一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，则a=7

C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大

D.若x1，x2，⋯，x10的标准差为4，则−2x1+3，−2x26.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12A.62

B.233

7.在△ABC中，点M，N在边BC上，AM为边BC上中线，AN为∠A平分线，若∠A=π3，AM=212，△ABC的面积等于A.25 B.235 C.8.如图所示，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D是棱BC上的动点，EA.当D为BC中点时，A，A1，E，D四点共面

B.当D为BC中点时，直线AC1与DE所成角为60°

C.三棱锥D−A1B1C1的体积为定值1

D.9.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=4且ccosC=2a−bcosBA.C=2π3 B.△ABC的外接圆半径为433

C.若a=2b，则△ABC的面积为8310.设A，B易两个随机事件，且P(A)=12,P(B)=1A.若A，B是互斥事件，则P(AB)=16

B.若B⊆A，则P(A∪B)=56

C.若A，B是相互独立事件，则P(A∪B)=23

D.若11.已知O为坐标原点，点P1(−sinα,−cosα)，P2(sinβ,cosβ)，P3(A.|OP1|=|OP2|=|OP3|=1 B.|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=1+ai(a∈R)，且z(2+3i)为纯虚数，其中i是虚数单位，则a=______13.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a，b，则事件“|a−b|≤1”的概率为______．14.在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，点P在底面的投影O为△ABC的外心，若AB=4，BC=3，PO=5，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC..

(1)求A；

(2)16.(本小题15分)

今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日.某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养.该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]并作出如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中x的值；

(2)根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；

(3)已知学生成绩落在[70,80)的平均数是77，方差是5；落在[80,90)的平均数是84，方差是5.求这两组数据的总方差．

附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,x1−,s117.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3．

(1)求证：PA⊥平面PCD；

(2)求直线AD与平面PAC所成角的余弦值．18.(本小题17分)

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3bsinC−ccosB=c．

(1)BD是边AC上的中线，BD=2，且a2+c2=10，求AC的长度．

(2)若19.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M是PD的中点．

(1)求证：PB//平面MAC；

(2)求二面角M−AC−D的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在点Q使平面BDQ⊥平面MAC成立？如果存在，求出PQQC的值；如果不存在，请说明理由．

参考答案1.C

2.D

3.C

4.B

5.D

6.A

7.D

8.B

9.BC

10.CD

11.ACD

12.2313.4914.6251615.解：(1)∵sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．

∴由正弦定理可得：a2=b2+c2+bc．

∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，

∵A∈(0,π)16.(1)根据频率分布直方图，有10(x+0.01+0.04+2x+0.005)=1，

解得x=0.015；

(2)因为0.15+0.1=0.25<0.5，0.15+0.1+0.4=0.65>0.5，

所以中位数在[70,80)内，

可得中位数为70+10×0.50−0.250.40=76.25，

学生成绩的平均数为0.15×55+0.10×65+0.40×75+0.30×85+0.05×95=75；

(3)这两组数据的平均数为0.400.40+0.30×77+0.300.40+0.30×84=80，

这两组数据的总方差为

0.400.30+0.40×[5+(77−80)2]+0.300.30+0.40×[5+(84−80)2]=17．

17.(1)证明：取PC的中点N，连接DN，

因为△PCD为等边三角形，所以DN⊥PC，

又平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，DN⊂平面PCD，

所以DN⊥平面PAC，

因为PA⊂平面PAC，所以DN⊥PA，

又PA⊥CD，DN∩CD=D，DN，CD⊂面PCD，

所以PA⊥平面PCD．

(2)解：连接AN，

由(1)得DN⊥平面PAC，

所以∠NAD即为直线AD与平面PAC所成的角，

因为△PCD是等边三角形，且CD=2，N是PC的中点，

所以DN=318.解：(1)因为3bsinC−ccosB=c，由正弦定理得：3sinBsinC−sinCcosB=sinC，

在△ABC中，sinC>0，

可得3sinB−cosB=1，即sin(B−π6)=12，

由B∈(0,π)，

所以B−π6=π6，

解得B=π3；

因为D为BC的中点，BD=2，且a2+c2=10，

则2BD=BA+BC，

两边平方可得4BD2=BA2+BC2+2BA⋅BC=c2+a2+2cacosB，

即4×4=10+ac，19.(1)证明：设AC，BD交于点O，连接OM，则O为BD中点．

在△PBD中，O，M分别为BD，PD中点，所以OM//PB．

因为OM⊂平面MAC，PB⊄平面MAC，

所以PB//平面MAC．

(2)解：过点M作ME⊥AD，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，连接MF．

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以ME⊥平面ABCD．

因为AC⊂平面ABCD，所以ME⊥AC．

又EF⊥AC，ME∩EF=E，ME，EF⊂平面MEF．

所以AC⊥平面MEF．

因为MF⊂平面MEF，所以AC⊥MF，

则∠MFE即为平面MAC与底面ABCD所成二面角的平面角．

设AB=2，则EF=324，ME=32，故MF=(324)2+(32)2=304，

所以cos∠MFE=EFMF=155，

即二面角M−AC−D的余弦值为155．