2026《高考数学一轮复习微专题106讲》含答案11.图像交点个数与零点转化

2026《高考数学一轮复习微专题106讲》含答案11.图像交点个数与零点转化10.图像交点与零点转化一．基本原理函数的零点（1）概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.（2）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：上述转化关系是处理零点问题的核心，即数形结合思想，我们可将方程问题转化为函数图像，也可将函数图像的交点转化为方程问题进一步通过函数思想解决，很多考题围绕这这个转化展开，下面详细分析.二．典例分析类型1.方程（零点）问题转化为图像问题解决例1．设是定义在R上的偶函数，且时，当时，，若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根，则实数的范围是（

）A． B． C． D．解析：∵是偶函数，∴，又，∴对于任意的，都有，所以，所以函数是一个周期函数，且，又因为当时，，且函数是定义在R上的偶函数，若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，则函数与在区间上有四个不同的交点，作函数和的图象，如图所示，需，又，则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于1，即，由此解得，所以的范围是.故选：D.例2．已知函数满足，且时，，若时，方程有两个不同的根，则的取值范围为（

）A． B．C． D．解析：因为，所以函数的图象关于直线对称.当时，，则当时，的图象如图所示，直线为过定点的一条直线.当直线与当时的函数的图象相切时，直线与在的图象有两个公共点.当时，函数，，设切点为，切线的斜率，则切线方程为，把点代入得，所以；当直线过点时，，所以的取值范围为，故选：C.例3．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则_______.解析：由为偶函数，则，故，又是定义在上的奇函数，则，所以，故，即有，综上，的周期为8，且关于对称的奇函数，由在上单调递减，结合上述分析知：在上递增，上递减，上递增，所以在的大致草图如下：要使在上恰好有4个不同的实数根，即与有4个交点，所以，必有两对交点分别关于对称，则.故答案为：24例4．函数的所有零点之和为___________．解析：由，令，，显然与的图象都关于直线对称，在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，

观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，这6个点两两关于直线对称，有，则，所以函数的所有零点之和为9.故答案为：9例5．已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范是_______.解析：由函数有两个不同的零点，可知与的图象有两个不同的交点，故作出如下图象，当与的图象相切时，，即，由图可知，故相切时，因此结合图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，即当时，函数有两个不同的零点.故答案为：.类型2.图像交点转化为方程问题解决例6．已知当时，函数的图像与函数的图像有且只有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：由题设可知，当时，与有两个交点，等价于有两个根，令，则，所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，故，当，，，故；当时，，，故，如图；所以当时，直线与的图像有两个交点，即函数的图像与函数的图像有且只有两个交点.故选：A.例7．已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：由题设，当时，，令，则，所以当时，，则单调递增；当时，，则单调递减.又，，所以当时，直线与的图象有两个交点，即函数的图象与函数的图象有且只有两个交点.故选：A.例8．已知函数，若存在，使，则n的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4解析：，得，所以，当和时，，单调递增，当时，，单调递减，因为和时，，时，，且，，所以，作出函数的图像，如图所示，当时，令，所以，若存在，使等价于存在，使所以，只需考虑函数与直线的交点个数问题，所以，由图可知，函数与直线的交点个数最多为个，所以，n的最大值为.故选：D三．习题演练1．已知定义为R的奇函数满足：，若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．【详解】方程在上恰有三个根，即直线与函数的图象有三个交点．由是R上的奇函数，则．当时，，则，当时，；当时，，所以在上递减，在上递增．结合奇函数的对称性和“周期现象”得在上的图象如下：由于直线过定点．如图连接A，两点作直线，过点A作的切线，设切点．其中，，则斜率，切线过点．则，即，则，当直线绕点在与之间旋转时，直线与函数在上的图象有三个交点，故．故选：D．2．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（）A． B．C． D．【详解】令，，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，当趋向正无穷时，趋向正无穷，故作出的大致图象，如图所示．由题知函数恰有2个零点，即函数的图象与直线的图象恰有2个交点，易知点为与直线的公共点，又曲线在点处的切线方程为，所以当，直线与与曲线有2个交点；当时，直线与曲线有2个交点．综上所述，实数的取值范围为．故选：C．3．已知函数满足函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【详解】因为，所以，，因为函数恰有5个零点，所以的图象恰有5个交点，画出的图象，由图象可得，因为与，与的图象关于轴对称，且与交于原点，要恰有5个零点，则与，与的图象必有两个交点，当与的图象相切时，设切点，此时切线的斜率为，可得，得，所以切点，即，交点，所以要使函数恰有5个零点，则.故选：A.4．已知函数与函数的图象交点分别为：，…，，则（

）A． B． C． D．【详解】由题意化简，，因为函数是奇函数，所以函数关于点对称.因为函数是奇函数，所以函数关于点对称.又，所以在上单调递减，由题得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，由图象可知，与的图象有四个交点，且都关于点对称，所以，所以所求和为故选：D5．已知函数，令，若函数恰好有4个零点，则实数的值为____________.【详解】有4个零点，转化为与有4个交点，当时，，，解得：，当和时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，如图画出函数的图象，当直线与相切时，此时有4个交点，设切点，则，解得，，故答案为：12.不动点问题及应用一．基本原理1.不动点:已知函数,若存在,使得，则称为函数的不动点.不动点实际上是方程组的解的横坐标，或两者图象的交点的横坐标.2.稳定点:已知函数,若存在，使得，则称为函数的稳定点.显然,若为函数的不动点，则必为函数的稳定点.3.关于不动点和稳定点，有下面两个结论：性质1：；性质2：若函数单调递增，则.证明:不妨设,则由题知,则,故,所以,所以性质1得证;设,则,因为函数单调递增,所以存在唯一,使,若,则,得到,与矛盾;若,则,得到,与矛盾,故必有,所以,即,又由性质（1）知,所以,当函数单调递增,,故性质2得证.二．典例分析例1.设函数为自然对数的底数）.若存在使成立,则的取值范围是（）A.B. C. D.解析：,根据复合函数的单调性,可以判断该函数为增函数，又因为存在使,即有稳定点，所以它必有不动点，使得，即在有解，整理可得,,在有解，令，在单调递增，，故选择A.例2．（23届深圳一模）已知函数，其中且．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”求函数的“不动点”的个数；（3）若关于x的方程有两个相异的实数根，求a的取值范围．解析：（1）所以的单调增区间为，单调减区间为．（2）函数的不动点即方程的根．显然，不是方程的根，所以．记，因为（当且仅当取等号），所以在和上均单调递增．由，记．①当时，（ⅰ）当时，，（可设当，当，在单调递减，在单调递增，所以），存在，使得，即存在唯一使得；（ⅱ）当时，，（设当，当，在单调递增，在单调递减，所以），存在，使得，即存在唯一使得．②当时，（ⅰ）当时，无零点；（ⅱ）当时，因为，，存在，使得，即存在唯一使得．综上所述，当时，函数有两个“不动点”，；当时，函数有一个“不动点”．（3）当且时方程有两个不同实数根．例3.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：由题意得若函数为不动点函数则满足，即，即设，设，所以在单调递减，且所以在上单调递增，，所以在上单调递减，所以，当则，当则，要想成立，由于的图像为下图，则与有交点，所以，故选：B下面的例题将不动点问题转化为图像与的交点来解决.例4．对于定义在R上的函数，如果存在实数使，那么叫做函数的一个不动点.若函数存在两个不动点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：要使函数存在两个不动点，只需直线与函数的图象有两个不同的交点即可.当时，显然与的图象有一个交点；当时，需使与的图象有且只有一个交点，如示意图，则需的图象最多向下平移1个单位长度，向上则可以任意平移，所以，即.故选：C.例5．（多选题）对于函数，若在其定义域内存在使得，则称为函数的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有（

）A． B．C． D．解析：对于A,定义域为,则，由于,故方程无实数根，故A错误，对于B,定义域为,，记，则的图象是连续不断的曲线，,,根据零点存在性定理可知在存在零点，故B正确，对于C,定义域为，，由于，所以是的一个不动点，故C正确，对于D,的定义域为，，令，则，故当单调递减，当单调递增，故当时，取极大值也是最大值，故，故在无实数根，故D错误，故选:BC例6．（多选题）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（

）A．函数有3个不动点B．函数至多有两个不动点C．若函数没有不动点，则方程无实根D．设函数(，e为自然对数的底数)，若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是解析：对于A，令，，，当且仅当时取“=”，则在R上单调递减，而，即在R上只有一个零点，函数只有一个不动点，A不正确；对于B，因二次函数至多有两个零点，则函数至多有两个不