历年安徽省高考数学试卷

历年安徽省高考数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是（）

A.1

B.2

C.3

D.0

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A，则a的值为（）

A.1

B.1或2

C.-1或-2

D.0或1

3.不等式3x-1>x+2的解集为（）

A.(-∞,3)

B.(3,+∞)

C.(-3,+∞)

D.(-∞,-3)

4.已知点P(a,b)在直线x+2y-1=0上，则a+2b的值为（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

5.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像关于y轴对称的充分必要条件是（）

A.kπ-π/6(k∈Z)

B.kπ+π/6(k∈Z)

C.kπ(k∈Z)

D.kπ+π/3(k∈Z)

6.已知向量a=(1,2),b=(3,-4),则向量a+b的模长为（）

A.5

B.√5

C.√10

D.2√5

7.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

8.已知等差数列{a_n}中，a_1=1,a_2=3,则a_5的值为（）

A.7

B.9

C.11

D.13

9.已知直线l1:ax+by+c=0与直线l2:2x-y+1=0平行，则a的值为（）

A.-2

B.2

C.-4

D.4

10.已知函数f(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上的图像大致为（）

A.

B.

C.

D.

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）

A.y=x^3

B.y=sin(x)

C.y=|x|

D.y=x^2-1

2.已知函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.0<a<1

B.a>1

C.a=1

D.a=0

3.已知点A(1,2),B(3,0),C(2,-1)，则下列说法正确的有（）

A.△ABC是直角三角形

B.△ABC是等腰三角形

C.△ABC的面积是2

D.过A,B,C三点的圆的方程是x^2+y^2-3x-y=0

4.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1，若f(1)=0且f'(1)=0，则（）

A.a=3

B.b=2

C.f(x)在x=1处取得极值

D.f(x)在x=1处取得拐点

5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1,a_n=S_n+n(n≥2)，则（）

A.数列{a_n}是等比数列

B.数列{a_n}是等差数列

C.a_n=2n-1

D.S_n=n(n+1)/2

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=√(x-1)，其定义域为________。

2.不等式|2x-1|<3的解集为________。

3.已知直线l1:y=kx+1与直线l2:x+y-2=0垂直，则k的值为________。

4.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=16，则公比q的值为________。

5.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆C的半径R的值为________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.计算：lim(x→2)(x^3-8)/(x-2)

2.解方程：2^x+2^(x+1)=20

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边c=√2，求边a和边b的长度。

4.求函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1,a_n=S_n+n(n≥2)，求证数列{a_n}是等比数列。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.B解析：f(x)=|x-1|+|x+1|可以分段讨论：

x≤-1时，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2

-1<x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2

x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+1)=2x

所以f(x)的最小值为2。

2.B解析：A={1,2}

若B=∅，则a·∅=1无解，此时a=0满足B⊆A

若B≠∅，则B={1/a}，由B⊆A得1/a=1或1/a=2，即a=1或a=1/2

综上，a=0或a=1/2

3.B解析：3x-1>x+2

2x>3

x>3/2

解集为(3/2,+∞)

4.A解析：将点P(a,b)代入直线方程x+2y-1=0，得a+2b-1=0，即a+2b=1。

5.B解析：f(x)=sin(2x+π/3)

要使f(x)为奇函数，需满足f(-x)=-f(x)

sin(-2x+π/3)=-sin(2x+π/3)

-sin(2x-π/3)=-sin(2x+π/3)

sin(2x-π/3)=sin(2x+π/3)

由sinA=sinB得A=kπ+nπ-B(k∈Z,n=0或±1)

取n=0,k=0,得2x-π/3=2x+π/3，无解

取n=0,k=1,得2x-π/3=π-(2x+π/3)

4x=2π/3

x=π/6

取n=1,k=0,得2x-π/3=π+(2x+π/3)，无解

取n=1,k=1,得2x-π/3=2π-(2x+π/3)

4x=7π/3

x=7π/12

取n=-1,k=0,得2x-π/3=-π-(2x+π/3)，无解

取n=-1,k=1,得2x-π/3=-2π-(2x+π/3)

4x=-5π/3

x=-5π/12

一般解为x=kπ/2+π/6(k∈Z)

所以对称轴为x=kπ/2+π/12(k∈Z)

6.C解析：|a+b|=|(1,2)+(3,-4)|=|(4,-2)|=√(4^2+(-2)^2)=√(16+4)=√20=2√5

7.C解析：圆方程配方得：(x-2)^2+(y+3)^2=2^2+3^2-(-3)=4+9+3=16

圆心为(2,-3)，半径为4。

8.D解析：由a_1=1,a_2=3得d=a_2-a_1=3-1=2

a_5=a_1+(5-1)d=1+4×2=1+8=9

9.A解析：l1:ax+by+c=0的斜率为-k/a

l2:2x-y+1=0的斜率为2

若l1平行于l2，则-k/a=2，且c≠2

解得a=-2

10.C解析：f'(x)=e^x-1

令f'(x)=0得x=0

f''(x)=e^x>0，所以x=0处为极小值点

在(0,+∞)上，f'(x)>0，函数单调递增

极小值为f(0)=e^0-0=1

图像在x=0处有极小值1，且在(0,+∞)上单调递增。

二、多项选择题答案及解析

1.AB解析：

A.f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，是奇函数。

B.f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函数。

C.f(-x)=|-x|=|x|=f(x)，是偶函数。

D.f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=f(x)，是偶函数。

2.A解析：函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上是减函数，需满足底数a满足0<a<1。

3.ABC解析：

A.向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)

向量BC=(2-3,-1-0)=(-1,-1)

向量CA=(1-2,2-(-1))=(-1,3)

AB·BC=2*(-1)+(-2)*(-1)=-2+2=0，所以AB⊥BC，△ABC是直角三角形。

B.AB的模长为√(2^2+(-2)^2)=√8=2√2

BC的模长为√((-1)^2+(-1)^2)=√2

CA的模长为√((-1)^2+3^2)=√10

AB≠BC≠CA，△ABC不是等腰三角形。

C.△ABC的面积S=1/2*AB*BC=1/2*2√2*√2=1/2*4=2

D.过A(1,2),B(3,0),C(2,-1)三点的圆的圆心为(1,1)，半径为√5，方程为(x-1)^2+(y-1)^2=5，即x^2-2x+1+y^2-2y+1=5，即x^2+y^2-2x-2y-3=0。题目给出的方程是x^2+y^2-4x+6y-3=0，不正确。

4.AB解析：

f'(x)=3x^2-2ax+b

由f(1)=0得1-a+b-1=0，即b=a

由f'(1)=0得3-2a+b=0，代入b=a得3-2a+a=0，即3-a=0，得a=3

所以b=3

f''(x)=6x-2a

f''(1)=6-2a=6-6=0

f''(x)在x=1处不一定改变符号，所以不能确定x=1处是否取得拐点。但a=3,b=3是正确的。

5.AC解析：

由a_n=S_n+n(n≥2)，得S_n=a_n-n

S_{n-1}=a_{n-1}-(n-1)

a_n=S_n-S_{n-1}=(a_n-n)-(a_{n-1}-(n-1))

a_n=a_n-n-a_{n-1}+n-1

0=-a_{n-1}-1

a_{n-1}=-1

所以a_n=-1+n

检验n=1时，a_1=S_1+1，S_1=a_1，所以a_1=a_1+1，矛盾。因此数列定义在n≥2时。

对于n≥2，a_n=-1+n

a_{n-1}=-1+(n-1)=-2+n

a_n/a_{n-1}=(-1+n)/(-2+n)=(n-1)/(n-2)

这个比值与n有关，不是常数，所以不是等比数列。

但a_n=n-1，是等差数列，公差为1。

但题目问的是是否是等比数列，答案是否。

三、填空题答案及解析

1.[1,+∞)解析：根号下的表达式必须非负，即x-1≥0，解得x≥1。

2.(-3,1)解析：|2x-1|<3

-3<2x-1<3

-3+1<2x<3+1

-2<2x<4

-1<x<2

解集为(-1,2)

3.-1解析：两条直线垂直，斜率之积为-1。l2的斜率为-1。所以k*(-1)=-1，得k=1。

4.2解析：a_4=a_1*q^3

16=2*q^3

q^3=8

q=2

5.2解析：圆方程配方得：(x-2)^2+(y+3)^2=4+9-(-3)=16

半径R=√16=4。

四、计算题答案及解析

1.解：lim(x→2)(x^3-8)/(x-2)

=lim(x→2)[(x-2)(x^2+2x+4)]/(x-2)

=lim(x→2)(x^2+2x+4)

=2^2+2*2+4

=4+4+4

=12

2.解：2^x+2^(x+1)=20

2^x+2*2^x=20

3*2^x=20

2^x=20/3

x=log_2(20/3)

3.解：设边a,b,c分别对应角A,B,C。

由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC

b/sinB=c/sinC

b/√2=√2/sin45°

b/√2=√2/(√2/2)

b/√2=√2*2/√2

b/√2=2

b=2√2

a/sin60°=c/sinC

a/(√3/2)=√2/sin45°

a/(√3/2)=√2/(√2/2)

a/(√3/2)=2

a=2*(√3/2)=√3

4.解：f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4

=4(x^3-3x^2+3x-1)

=4(x-1)^3

令f'(x)=0得x=1

f''(x)=12(x-1)^2

f''(1)=12(1-1)^2=0

无法用二阶导数判断，用一阶导数判断：

在(-1,1)上，f'(x)<0，函数单调递减

在(1,2)上，f'(x)>0，函数单调递增

所以x=1处为极小值点。

极小值f(1)=1^4-4*1^3+6*1^2-4*1+1=1-4+6-4+1=0

计算端点值：

f(-1)=(-1)^4-4*(-1)^3+6*(-1)^2-4*(-1)+1=1+4+6+4+1=16

f(2)=2^4-4*2^3+6*2^2-4*2+1=16-32+24-8+1=1

最大值为f(-1)=16，最小值为f(1)=0。

5.证明：

由a_n=S_n+n(n≥2)，得S_n=a_n-n

S_{n-1}=a_{n-1}-(n-1)

a_n=S_n-S_{n-1}=(a_n-n)-(a_{n-1}-(n-1))

a_n=a_n-n-a_{n-1}+n-1

0=-a_{n-1}-1

a_{n-1}=-1

所以a_n=-1+n

检验n=1时，a_1=S_1+1，S_1=a_1，所以a_1=a_1+1，矛盾。因此数列定义在n≥2时。

对于n≥2，a_n=-1+n

a_{n-1}=-1+(n-1)=-2+n

a_n/a_{n-1}=(-1+n)/(-2+n)=(n-1)/(n-2)

这个比值与n有关，不是常数，所以不是等比数列。

但a_n=n-1，是等差数列，公差为1。

知识点总结：

本试卷主要考察了高中数学的基础知识，包括函数、三角函数、数列、不等式、解析几何等部分。

一、选择题主要考察了函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）、定义域、方程与不等式的解法、直线与圆的几何性质、数列的基本概念等。

二、多项选择题主要考察了函数性质的综合应用、数列的判定、向量的运算、三角形的几何性质等，需要学生具备较强的综合分析能力。

三、填空题主要考察了函数的定义域、不等式的解法、直线与圆的方程、数列的基本量等，题目相对基础，但需要学生熟练掌握基本概念和计算方法。

四、计算题主要考察了极限的计算、指数函数与对数函数的性质、解三角形、函数的极值与最值、数列的证明等，题目难度较大，需要学生具备较强的计算能力和推理能力。

各题型