2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1课时跟踪训练（七）空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理

课时跟踪训练(七)空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理1．在以下三个命题中，真命题的个数是()①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则a，b，c构成空间的一个基底．A．0个 B．1个C．2个 D．3个2.如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,3)，＝xa＋yb＋zc，则()A．x＝2，y＝1，z＝eq\f(3,2) B．x＝2，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1 D．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(3,2)3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，则在上的投影为()A．－eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\r(2) D.eq\r(2)4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)cD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，则在上的投影是________．6．在三棱锥O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．7.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A，B，C，D，A1，B1，C1，D1各点的坐标，并写出，，，，，，的坐标表示．8.如右图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基底i，j，k表示向量，.答案1．选C③中向量a，b，c共面，故a，b，c不能构成空间向量的一个基底，①②均正确．3．选B∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，∴△AB1C是等边三角形．＝c＋eq\f(1,2)(－＋＋)＝c－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(－c)＋eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.在△ABC1中，cos∠BAC1＝eq\f(|AB|,|AC1|)＝eq\f(2,\r(22＋12＋12))＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，答案：－26．解析：如图，＝＋＝＋eq\f(1,2)＝＋eq\f(1,4)(＋)＝＋eq\f(1,4)(－＋－)．＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c7．解：∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，∴A(1,0,0),B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．8．解：∵G是△PDC的重心，∴＝eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)(＋＋＋＋)＝eq\f(1,3)(－k＋j－k＋i＋j)＝eq\f(1,3)i＋eq\f(2,3)j－eq\f(2