山东省青岛市四区县（胶州、平度、黄岛、城阳）2024-2025学年高二上学期期中学业水平检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省青岛市四区县（胶州、平度、黄岛、城阳）2024-2025学年高二上学期期中学业水平检测数学试题一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列的通项公式为，则该数列是（）A.摆动数列 B.递减数列 C.递增数列 D.常数数列【答案】A【解析】由数列通项公式为知，数列奇数项为负，偶数项为正，故数列为摆动数列，故选：A2.已知数列的前项和为，则（）A.18 B.17 C.16 D.15【答案】B【解析】，，故.故选：B.3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A.互斥 B.相互对立 C.相互独立 D.相等【答案】C【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）这4种情况，事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D错误，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确.故选：C.4.一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，4，x，6，7，9，若该组数据的中位数与平均数相同，则该组数据的第60百分位数是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由题意得，解得，，故从小到大，选取第5个数据作为该组数据的第60百分位数，即6.故选：D.5.已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（）A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】由题意得，为各项均为正数的等比数列，故，且，故.故选：C.6.已知事件A，B互斥，A，B都不发生的概率为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为事件A，B互斥，A，B都不发生的概率为，所以，而，解得，所以，故选：C.7.已知为等差数列，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为数列an为等差数列，所以，解得，，，故选：.8.若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为（）A. B. C. D.6【答案】C【解析】设原来4个数据依次为a、b、c、d，则，由方差为5，所以，即，所以，则，现加入数据8和10，则其平均数为，则这6个数据的方差为.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某地区组织高中创新作文大赛，从5000名考生的参赛成绩中随机选取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则（）A.的值为0.030B.抽取的考生中成绩在区间有15人C.5000名考生中约有10名成绩优秀D.估计考生成绩的平均分小于中位数【答案】AD【解析】由频率直方图可得，，解得，故A正确；由题意知抽取的考生中成绩在区间的有人，故B错误；结合频率分布直方图可知该校学生的优秀率约为0.1，因此5000名考生中大约有人，故C错误；平均分约为，因为，，所以中位数在之间，设中位数为m，则，解得，故D正确．故选：AD.10.已知数列满足，则（）A.数列为等差数列B.C.D.数列的前2n项和为【答案】ACD【解析】A选项，①，当时，，当时，②，式子①-②得，故，其中满足，综上，，，所以，，故，数列为等差数列，A正确；B选项，，故，B错误；C选项，当时，，，C正确；D选项，，数列的前2n项和，D正确.故选：ACD.11.连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为，第二次向上的点数为，设，其中表示不超过的最大整数，则（）A. B.C.事件与互斥 D.事件与相互对立【答案】BC【解析】A选项，连续两次抛掷同一颗骰子，共有种情况，其中的情况有，，共有种情况，故，A错误；B选项，的情况有，共有种情况，故，B正确；C选项，包含，即两种情况，与B选项中的6种情况均不同，故事件与不会同时发生，两事件互斥，C正确；D选项，，所有可能情况为，包含的情况有，，其余情况，既不在事件中，也不在中，比如，故与互斥，但不对立，D错误.故选：BC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在数列中，，则的通项公式为______．【答案】【解析】，故，所以.13.袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中2个白球，2个红球，1个黄球.先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得分，则两次得分之和为0分的概率为______．【答案】【解析】不妨记2个白球，2个红球，1个黄球依次为,则试验“从袋中不放回的抽取两个小球”的样本空间为：，则事件“两次得分之和为0分”包含的样本点组成的集合为由古典概型概率公式，可得两次得分之和为0分的概率为.14.质点每次都在四边形的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在点，则经过次移动到达点的概率为______，经过次移动到达点的概率为______．【答案】【解析】设移动次后，点移动到的概率分别为，，，，则，，，，，，所以，，又，所以.所以.所以，所以，又，所以是以为首项，以为公比的等比数列，故.又，所以.于是移动次后到达点的概率是.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记为数列an的前项和，已知是公差为的等差数列.（1）求数列an（2）令，求数列bn的前项和.解：（1）由题意，所以，当时，，两式作差得，所以，则数列为常数数列，且，所以；（2），所以，①②①-②得，所以.16.已知空气质量指数（AQI）不超过100为“优良”等级，某市统计了40天的空气质量指数，并将数据整理如下图表：空气质量指数（AQI）频数（天）频率40.1060.150.2580.2040.10合计101.00请根据以上信息，解答以下问题：（1）直接写出m，n，t的值，并把频率分布直方图补充完整；（2）估计该市这40天空气质量指数(AQI)的平均数；（3）在选取的样本中，从空气质量指数(AQI)在区间的两组指数中按分层抽样抽取6个，再从这6个中抽取2个，求这2个空气质量指数都是“优良”等级的概率.解：（1）由题意，，，补充直方图如下：（2）由直方图得，该市这40天空气质量指数（AQI）的平均数为.（3）由题意，与得频数之比为2:1，所以区间的两组指数中按分层抽样抽取6个，区间中有4个，区间中有2个，“优良”等级为区间中的4个数据记为1，2，3，4，区间中的2个数据记为a，b，从这6个抽取2个所有可能的情况为，共15种情况，其中空气质量指数都是“优良”等级有6种，故这2个空气质量指数都是“优良”等级的概率为.17.已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列的前项和为，求证：.（1）证明：已知，两边取倒数得，所以，又，所以数列为首项为2公比为2的等比数列.（2）解：由（1）知，，所以，当时，，当时，，所以，综上所述，.18.甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为，且不同对阵的结果互不影响．（1）若甲队先主场后客场，且，（ⅰ）求甲队通过点球大战获得冠军的概率；（ⅱ）求甲队获得冠军的概率；（2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？解：（1）（i）记甲队通过点球大战获得冠军为事件，此事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，故，因为，所以，所以甲队通过点球大战获得冠军的概率为.（ii）记甲队获得冠军为事件，事件包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，所以，将代入得，，所以甲队获得冠军的概率为（2）由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件，事件包含甲队胜、甲队平同时点球胜，所以，因为，所以，此时满足题意，，因为，所以，故“主客场比赛制”比“单场比赛制”更