2023-2025年高考数学试题分类汇编：立体几何与空间向量原卷版

三年真题（2023—2025）

11支体几何S空间向量

■三年考情-探规律•

考点三年考情（2023-2025）命题趋势

题型分值稳定：通常有2个左右

的选择或填空题，1道解答题，分

值在18-27分左右。重点考查立

体几何的基本概念、定理、公式，

空间几何体的度量：常考查表面积、体

如空间几何体的表面积与体积公

积的计算。如2023年新课标I卷

式，线面平行、垂直的判定与性质

14题考查了四棱台的体积。

定理等。着重考查空间想象能力、

点、线、面的位置关系：包括平行、垂

逻辑推理能力和数学运算能力。要

直关系的判定与性质。如2023年新高

求考生能根据文字描述想象空间

考I卷18题（1）、2024年新高考

图形，进行严谨的逻辑推理和准确

I卷17题（1）考查了平行关系的证

考点1立体的运算。以实际问题为背景，如

明；2023年新高考II卷20题（1）、

几何与空间2023年新课标I卷以四棱台为

2024年新高考II卷17题（1）考查

向量背景考查体积计算，体现数学在实

了垂直关系的证明。

际生活中的应用。文化融合：可能

空间角与距离：空间角如异面直线所成

结合数学文化，如以古代数学著作

角、线面角、二面角是考查重点，距离

中的几何问题为素材，考查学生对

问题如点到面的距离也有所涉及。例如

现代数学知识的应用能力。解答题

2024年新高考I卷17题（2）考查

中，传统几何法和向量法都可解决

已知二面角求长度问题，II卷17题

问题，有时更偏向考查几何法，如

（2）考查了二面角正弦值的求解。

利用定义法、三垂线法求二面角

等。强调方法选择：考生需根据题

目条件和自身优势，灵活选择解题

方法，以提高解题效率和准确性。

■考点分练・精准达标.

考点01立体几何与空间向量

一、单选题

1.（2024.上海.高考真题）定义一个集合。，集合中的元素是空间内的点集，任取P1，P2，P3e。，存在不全

为0的实数43,使得友酮+%理+%西=0.已知（1,0,0）eQ,贝I］（0,0,1）在。的充分条件是（）

A.（0,0,0）eQB.（—1,0,0）6Q

c.（0,1,0）enD.（o,o,-1）en

2.（2023・全国甲卷・高考真题）已知四棱锥P—4BCD的底面是边长为4的正方形,PC=PD=3,Z.PCA=45°,

则APBC的面积为（）

A.2V2B.3V2C.4V2D.6鱼

3.（2025・天津•高考真题）若根为直线，a,0为两个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若m//a,nua,则m//nB.若m_La,m_L0,则a_L0

C.若m〃a,zn_L0,则a_L0D.若mua,a_L0,则7n10

4.（2024•广东江苏•高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为仃，则圆

锥的体积为（）

A.2V37TB.3V3TIC.6V3TTD.9V3n

5.（2024.北京.高考真题）如图，在四棱锥P—中，底面4BCD是边长为4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=2V2,该棱锥的高为（）.

A.1B.2C.V2D.V3

6.（2024•全国甲卷.高考真题）设a、/?为两个平面，m、n为两条直线，且an£=M.下述四个命题：

①）若m〃n,贝!Jn〃a或九〃/?②若m1n，则n_La或n_L0

③若?i〃a且n〃0,则加〃ri④若n与a,S所成的角相等，则61n

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

7.（2024・天津•高考真题）在如图五面体4BC-DEF中，棱4D,BE,CF互相平行，且两两之间距离均为1.若

AD=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为（）

8.（2024.天津.高考真题）已知他,几是两条直线，a是一个平面，下列命题正确的是（）

A.若m〃a,mln,则711aB.1n,则？11a

C.^m//a,n1a,则m_L九D.若m_La,九la,贝Um1九

9.（2024•新课标II卷•高考真题）已知正三棱台ABC-ABiCi的体积为拳AB=6,4祖=2,则与平

面ABC所成角的正切值为（）

1

A.-B.1C.2D.3

2

10.（2023・北京.高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒

出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面

是全等的等腰三角形.若48=25m,8c=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与

平面ABC。的夹角的正切值均为口，则该五面体的所有棱长之和为（）

A.102mB.112m

C.117mD.125m

11.（2023・全国甲卷・高考真题）在三棱锥P—ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=伤,

则该棱锥的体积为（）

A.1B.V3C.2D.3

12.（2023•全国乙卷•高考真题）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，AABD为等边三角形,若二面

角C-AB—O为150。，则直线CZ）与平面A3C所成角的正切值为（）

A.-B.—C.—D.-

5555

13.（2023•全国乙卷・高考真题）已知圆锥尸。的底面半径为百，O为底面圆心，PA,尸8为圆锥的母线，

AAOB=120°,若APAB的面积等于竽，则该圆锥的体积为（）

4

A.兀B.V6TTC.3兀D.3伤兀

14.（2023•全国乙卷•高考真题）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则

该零件的表面积为（）

A.24B.26C.28D.30

15.（2023・天津•高考真题）在三棱锥P—ABC中，点MN分别在棱PC,尸B上，且PM=：PC,PN=|PB,

则三棱锥P-4MN和三棱锥P-ABC的体积之比为（）

二、多选题

16.（2025•全国一卷•高考真题）在正三棱柱ABC—a/iG中，。为BC中点，则（）

A.AD1ArCB.BC_L平面

C.AD11A\B\D.CC1〃平面A41。

17.（2023•新课标I卷.高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容

器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

18.（2023•新课标H卷•高考真题）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,为底面直径，乙4PB=120。,

PA=2,点C在底面圆周上，且二面角P—AC—O为45。，贝!J（）.

A.该圆锥的体积为无B.该圆锥的侧面积为4百兀

C.AC=2V2D.APaC的面积为日

三、填空题_

19.（2025・上海•高考真题）如图，在正四棱柱4BCD-4/1的£>1中，BD=4®DB、=9,则该正四棱柱

的体积为

20.（2025•全国二卷•高考真题）一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）

内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

21.（2025•北京・高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，

其中是一个平面多边形，平面AFR1•平面ABC,平面CDT平面1BC,AB//EF//RS//CD,

BC//DE//ST//AF.^AB=BC=8,AF=CD=4,RA=RF=TC=TD=j,则该多面体的体积为

22.（2024•北京・高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是畲、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升

量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依

次为65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为mm,升量器的高为mm.

23.（2024•全国甲卷・高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为q,下底面半径均为上，圆台的母线长分

别为2。2—巳）,302—巳），则圆台甲与乙的体积之比为.

24.（2023•上海•高考真题）空间内存在三点A、B、C,满足4B=AC=BC=1,在空间内取不同两点（不

计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为.

25.（2023・全国乙卷•高考真题）已知点S,4B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，

S41平面ABC,则S4=.

26.（2023・全国甲卷・高考真题）在正方体力BCD—4/1前久中，4B=4,。为的中点，若该正方体的棱

与球。的球面有公共点，则球。的半径的取值范围是.

27.（2023・全国甲卷•高考真题）在正方体ABC。—A/GA中，E,尸分别为AB,Cmi的中点，以EF为

直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点.

28.（2023・新课标I卷•高考真题）在正四棱台4BCD中，4B=2,4/1=1,44]=&，则该棱

台的体积为.

29.（2023•新课标II卷•高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边

长为2,高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

四、解答题

30.(2025•全国一卷•高考真题)如图所示的四棱锥P—4BCD中，PA1平面4BCD,BC//AD,AB1AD.

(1)证明：平面P2B_L平面PAD；

(2)PA=AB=42,AD=1+V3,BC=2,P,B,C,D在同一个球面上，设该球面的球心为0.

(i)证明：。在平面48C0上；

(ii)求直线4C与直线P。所成角的余弦值.

31.(2025・天津・高考真题)正方体48CD—4B1GD1的棱长为4,E、F分别为4名,如殳中点，CG=3GC「

(1)求证：GF1平面FBE；

(2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；

(3)求三棱锥D-FBE的体积.

32.(2025•全国二卷•高考真题)如图，在四边形4BGD中，AB//CD,^DAB=90°,尸为CD的中点，点E

在4B上，EF//AD,AB=3AD,CD=2AD,将四边形EFD4沿EF翻折至四边形使得面与

面EFC3所成的二面角为60。.

⑴证明:4B〃平面CD'F

(2)求面BC。与面所成的二面角的正弦值.

33.(2025•北京・高考真题)如图，在四棱锥P—ABC。中，△ADC与△84C均为等腰直角三角形，^ADC=

90°,^BAC=90°,E为BC的中点.

R

(1)若尸,G分别为PD,PE的中点，求证：FG〃平面B4&

⑵若24，平面A3CD,PA=AC,求直线A3与平面PC。所成角的正弦值.

34.（2024・北京•高考真题）如图，在四棱锥P—48C0中，BC//AD,AB=BC=1,=3,点E在2。上,

且PE1AD,PE=DE=2.

(1)若F为线段PE中点，求证：BF//平面PCD.

(2)若AB，平面PAD,求平面P4B与平面PCD夹角的余弦值.

35.(2024•全国甲卷・高考真题)如图，在以A,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形ABC。与四边

形AOEF均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=V10,FF=2A/3,M为AD的

中点.

(1)证明：8M〃平面CDE；

(2)求二面角F—BM—E的正弦值.

36.(2024•天津・高考真题)如图，在四棱柱ABCD-4送1的。1中，&41平面ABCD,AB1AD,AB//DC,

AB=44i=2,AD=DC=1.弧都分别为。。1，/。1的中点，

(1)求证：AN〃平面C/M；

(2)求平面CBiM与平面BBiGC夹角余弦值；

⑶求点B到平面CBi”的距离.

37.(2024・新课标II卷.高考真题)如图，平面四边形ABCD中，4B=8,CD=3,AD=5百，^ADC=90°,

/.BAD=30°,点、E,歹满足族=|而，AF=^AB,将AAEF沿斯翻折至△PEF,使得PC=4百.

P

⑴证明：EF1PD；

(2)求平面PCD与平面尸8尸所成的二面角的正弦值.

38.(2023•北京•高考真题)如图，在三棱锥P—48C中，PA_L平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=V3.

(1)求证：BC1平面PAB-,

(2)求二面角4-PC-B的大小.

39.(2023•全国乙卷•高考真题)如图，在三棱锥P—ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2vLPB=PC=展,

BP,2P,8C的中点分别为D,E,O,点尸在2C上，BF1AO.

A

⑴求证：EF〃平面an。；

(2)若NPOF=120°,求三棱锥P—ABC的体积.

40.(2023,新课标I卷•高考真题)如图，在正四棱柱4BCD中,AB=2,44=4.点4.©，%

分另U在棱A4i，BBi，CCi，DDi上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)证明：B2C2||A2D2-,

(2)点P在棱BBI上，当二面角P—42c2一2为150。时，求B2P.

41.(2023・新课标II卷・高考真题)如图,三棱锥4—BCD中，=DB=DC,BD1CD,/LADB=乙ADC=60°,

E为BC的中点.

(1)证明：BC1DA；

(2)点e满足丽=DA,求二面角D-AB-F的正弦值.

42.(2023•上海・高考真题)在直四棱柱4BCD—4/1。也中，AB//CD,AB1AD,AB=2,AD=3,DC=4

⑴求证：平面DCC/i；

(2)若四棱柱4BCD-&B1GD1体积为36,求二面角4-BD-4大小.

43.(2024.广东江苏.高考真题)如图，四棱锥P—4BCD中，PAABCD,PA