2024-2025学年北京市昌平区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年北京市昌平区高二（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={刈团<2},B={-2,-1,0,1,2,3},则4nB=（）

A.{0,1}B.[0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2）

2.已知a>b>0,d<c<0,则下列大小关系正确的是（）

.abnajb-—a/

A.->-B.-<3C.->-D.-<-

cacaacac

3.从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有2名男生的概率是（）

A型R2.「23

A.125B,10C-25Dn,5

4.下列函数中，是偶函数且在（0,+8）上为增函数的是（）

A.y=—-B.y=cosxC.y=D.y=logi\x\

X2

5.已知函数/'（%）=sin（2x-看），则下列说法中正确的是（）

A.函数/'（%）的图象可由y=s讥2x的图象向右平移着个单位得到

B.函数f（x）的图象关于直线x=盍对称

C.函数/（%）的图象关于点（-也0）对称

D.函数/（%）在（0,兀）内有2个零点

6.若“mx€[1,3],%+是真命题，则实数机的最小值为（）

A.72B.2/2C.3D.y

7.某城市甲区域的人口总数4约为221,乙区域的人口总数B约为312,则下列各数中与。最接近的是（）（参

D

考数据：lg2«0.30,lg3«0.48）

A.0.5B.1C.YIUD.10

8.设无穷等比数列{a"的公比为q,前ri项积为后，则有最大值”是“—1<q<0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.在△ABC中，若cos24+cos2B-cos2c>1,则△ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

10.已知函数/(%)=2%,g(x)=%2+2,若存在阳W[0,3],(i=1,23…,n)，使得f(/)+f(❷)+…+

/(xn-i)+gg)=5(x1)+g(%2)+…+g(%n-i)+/(%九)，则九的最大值为()

A.6B.7C.8D.9

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

1

11.函数/(%)=—+ln(x+1)的定义域是.

12.已知｛时｝为等差数列，S九为前几项和.若10为的与。8的等差中项，贝1JSio=.

13.在平面直角坐标系%。y中，角a与角口均以。工为始边，它们的终边关于原点对称.若sina=去贝！Jcos£=

14.已知函数f(x)=｛览，2；雪+a+3),X~a.

①当a=—1时，若函数g(x)=f(x)-k有三个不同的零点，则实数k的一个取值为；

②若函数/(%)在(-%a),(a,+8)上都是增函数，则实数a的取值范围为.

15.已知数列｛&J满足的_=a,且cin+1=Ja在一2dn+4(n=1,2,…),给出下列四个结论：

①｛a"可能为等比数列;

②若a=3,则为递减数列；

③｛。"不可能为递增数列；

④存在实数a,使得VneN*,都有与<2.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题13分)

设等差数列｛aj的公差为d,前几项和为目,等比数列｛g｝的公比为q.若的=1,Ss=25,b2=2,q=d.

(1)求数列｛即｝,｛g｝的通项公式；

(2)求和：瓦+&+为+…+Z>2n-1,

17.(本小题13分)

某同学用"五点法"画函数/'(x)=4si?i(3x+s),3>0,|<p|</)在某一周期，内的图象时，列表并填入了

部分数据，如下表:

n37r

a)x+cp07127r

2T

n7TC

X

8~8

Asin(a)x+cp)0720-720

(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式和单调递减区间；

(2)若函数g(x)=/(%)-2sin2x+2cos2x,求函数g(x)在［0,自上的最小值.

18.(本小题14分)

近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工

业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期

公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数

据如下表：

甲款机器人乙款机器人丙款机器人

测试次数50100100

成功次数105080

假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率.

(1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率；

(2)若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，设成功的总次数为X,估计X的数学期望E(X)；

(3)若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为右,卜,晶，直接写出方差

DQ的大小关系.

19.(本小题15分)

在^ABC中，(bcosC+ccosB)cosA=-a.

(1)求4

(2)若a=7,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求

△ABC的面积.

条件①：b=8；

条件②：c=5；

条件③:cosC=号

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答

计分.

20.(本小题15分)

已知函数/(%)=(2—x)e1~x—ax3+bx2.

(1)当a=0,b=0时，

(i)求曲线y=/(x)在点(1,/(l))处的切线方程；

(花)当xNO时，求函数f(x)的最大值；

(2)若x=3是函数/(%)的极大值点，求实数a的取值范围.

21.(本小题15分)

已知集合5={S],S2，S3,…,sj(t22),其中qeZ(i=1,2,…,t),由S中的元素构成两个相应的集合：M=

{(a,b)|a€S,bES,a+beS},N={(a,b)|aeS,beS,a-bES],其中(a,b)是有序实对数，集合

M和N中的元素个数分别为rn和几，若对于任意的aeS,总有-a仁S,则称集合S具有性质P.

(1)检验集合{-1,0,2,3}与{-2,1,3}是否具有性质P并对其中具有性质尸的集合，写出相应的集合M和M

(II)对任意具有性质P的集合S,证明：兀〈写生；

(III)判断zn和n的大小关系，并证明你的结论.

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：A=[x\-2<x<2}；

AOB={-1,0,1）.

故选：C.

可以解出集合4然后进行交集的运算即可.

考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算.

2.【答案】B

1

<-

【解析】解：因为d<c<0,d

因为a>0,所以巴

因为a>b>0,所以号<

aa

综上，因此选项A错误，选项3正确；

ca

因为d<c<0,所以?>2,

ac

因为a>b>0,所以

CC

综上，齐心无法判断正负，故选项C错误，选项。错误.

ac

故选：B.

根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变,

不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可.

本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，

令事件a表示：所选3人中恰有2名男生，所以P（a）=警=去

故选：D.

令事件4表示：所选3人中恰有2名男生，利用组合数和古典概型公式即可求解.

本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：对于4由y=—：为奇函数，故A错误；

对于B：y=cos%在R上不单调，故3错误；

对于C：令/(%)=e因，/(—%)=/一刈=?团=/(%),所以y=e因为偶函数，当汽>0时，y=e”为增函

数，故C正确；

对于D：令g(%)=logi\x\g(-x)=logi\-x\=logi\x\=g(x),

2f22

所以g(x)为偶函数，

当久>0时，y=log/%|=logy为减函数，故。错误.

22

故选：C.

利用偶函数和增函数，逐项验证是否满足题意即可.

本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：对于4y=s次2%的图象向右平移*个单位得了=$由(2%-金，故A错误；

对于8：由/脸)=sin(2x称一9=0,故3错误；

对于C：由/(—着)=sin(—1)=—1,故C错误；

对于O：令2%—：=Mr,々eZ,解得％="+卷,kez,当々=0时，％=卷，当k=1时，％=普，

oZ1Z1Z1Z

当k=2时，久=兀+工任(0,兀)，所以f(%)在(0,兀)内的零点为工和导故O正确.

故选：D.

对于4由图像的变换即可判断，对于B计算/(工)即可判断，对于C计算f(-9即可判断，对于D计算f(x)在

(0,兀)内的零点即可判断.

本题主要考查了三角函数图象的平移变换及正弦函数性质的应用，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：“mxe+是真命题，

由题意有m>(x+|)m；n,由x+1>2J%•|=2\f2,

当且仅当x=2,即x=C时，等号成立，所以m22/2

X

故选：B.

由题意有m>（%+利用均值不等式即可求解.

本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：4约为221,乙区域的人口总数B约为3"，

则'A=『，

B3"

A221

所以lg*=lg=211g2-12仞3«21x0.30-12x0.48=0.54,

又仞1=0,仞io=i,igVJU=o.5,所以《与最接近.

故选：C.

由对数运算法则求出1g1然后与选项中的各数的对数值比较可得.

本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：无穷等比数列｛斯｝的公比为q,前ri项积为说,

n（n—1）

71-1

则〃=a1a2…an=ar-arq.........^a=球q】+2+…+（九-1）=研q~~2~~,

11n（n-l）

例如的=1,（?=右则配=6）^^，在n=l时，/取最大值，因此是不充分的；

当—l<q<0时，对任意的无穷等比数列｛册｝,

若|的|21,必存在正整数nr,使得n>小时，<1,nWm时，\an\>1,所以？i=m时，|7^］最大（若

\an\=l,则囚|=|7;T|是最大值），

若7>0,则心是｛加｝中的最大值，若％<0,只要比较加前后的正项的大小即可得，

若|的|<1,则|*<1,｛心|｝是递减数列，｛的｝中第一个正项即为最大值，因此是必要的.

故选：B.

根据充分必要条件的定义判断.

本题主要考查了等比数列的性质，充分必要条件的判断，属于中档题.

9.【答案】C

【解析】解：因为cos22=1—2sin2A,cos2B=1—2sin2B,cos2C=1—2sin2C,

所以cos24+cos2B—cos2C>1转化为si/A+sin2B<sin2C,

则a2+/?2<c2,即。2+炉一c2<0,

则2abeosC<0,即cosC<0,所以△ABC是钝角三角形.

故选：c.

利用二倍角的余弦公式得siMa+sin2B<sin2C,利用正弦定理得a?+b2<c2,利用余弦定理即可求解.

本题主要考查三角形形状的判断，属于中档题.

10.【答案】A

【解析】解：因为f(x)=2x,g(x)=x2+2,

所以fQi)+f(x2)+…+/(Xn-i)+g(xn)=2(X1+X2+--+XQ+瑶+2,

2n

g(%i)+g(%2)+-••+gQn-i)+f($)=就+据+…+%n-i+(-D+2%n,

xx

由题意可得2(%1+%2T----卜n-l)+%n+2=+%2----卜n-l+2(九—1)+2xn,

22

所以-l)+(%2-I)?+…+(%n-l-+(n-1)=(%n-l)+1,

222

所以71—2=(xn—l)—[(%1—l)+(x2—l)H----F(%n-i—1)2],

2

当％1=%2=…=^n-1=1，=3时，(n-2)max=(3-l)=4,

所以九一244,又因为ZIEN,

所以几ma%=6.

故选：A.

由已知得?1—2=(%九一1)2—[(%1—1)2+(%2—1)2d----F(%n-i—l)2]?又％1，]2，…，％九€[0,3],可求

九的最大值.

本题考查了函数与方程思想、转化思想，属于中档题.

11.【答案】(一1,1)口(1,+8)

【解析】解：由题意｛7[；：,解得X>一1且X*1.

故答案为：(—l,l)U(l,+8).

求出使函数式有意义的自变量范围即可.

本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题

12.【答案】100

【解析】解：为等差数列，10为&3与£18的等差中项，

由题意有的+为=2X10=20,

根据等差数列的性质可得，的+a10=a3+a8=20,

所以Si。=lOx(a*io)=吟型=I。。.

故答案为：100.

由等差数列的性质有的+a10=a3+a8,最后利用等差数列前几项和公式即可求解.

本题主要考查了等差数列的性质及求和公式，属于基础题.

13.【答案】土苧

【解析】解：根据sina=可得cosa=±V1-sin2cr=士?，

因为a、。的终边关于原点对称，

所以0=兀+a+2kn(k£Z),cosy?=—cosa,可得cos0=士苧，

故答案为：士苧.

根据同角三角函数的平方关系求得cosa,结合£=兀+a+2k兀(keZ),利用诱导公式算出cos£的值，可

得答案.

本题主要考查同角三角函数的基本关系与诱导公式，属于基础题.

14.【答案】—1(答案不唯一)(—8,—3]

【解析】解：①a=-1时,/(%)=?；言T，

g(x)=/(x)-k有三个不同的零点，

即/(%)=々有三个不同的交点，

即直线y=/(%)的图象与直线y=k有三个不同交点，

同一坐标系内画出/(%)与丫=k的图象，如下：

需满足—1<k<0,

故实数k的一个取值为-1;

②由于y=2X-2在(a,+8)上单调递增，

所以只需y=a(x-2a)(x+a+3)在(一8,a)上单调递增，

当a=0时，y=a(x-2a)(x+a+3)=0为常数函数，不合要求，舍去;

显然a<0,y=a(x—2a)(%+a+3)=a[(%——^)2-+；8"+当,

对称轴为力=等，需满足等Na,解得aW—3,

所以实数a的取值范围为(-8,-3].

故答案为：-1(答案不唯一)；(-8,-3].

①/(x)=k有三个不同的交点，同一坐标系内画出/(%)与y=k的图象，数形结合得到-1Wk<0,即得

答案；

②只需y=a(x-2a)Q+a+3)在(一8,a)上单调递增，当a=0时，不合要求，舍去；需a<0,对称轴

为％=胃,需满足早2a,求解即可.

本题考查了函数与方程思想、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，考查了二次函数、指数函数的性

质，属于中档题.

15.【答案】①②④

【解析】解：构建/(久)=x2-2x+4,

可得/(幻=0—iy+323,当且仅当x=l时，等号成立；

令/(%)=4,解得％=0或％=2；令/(%)>4,解得％<0或%>2；令/(%)<4,解得0<%V2.

_

因为册+1=72an+4(n=1,2,…)，

则％i+i=Jf9n)>AA3>0,且—吗=-2an+4,

(1)若a<0,则g=(/Q)>2,即g>2>为；

可得送一道=—2a2+4<0,且%=J/(。2)>2,可得由<2<的<

依次类推可得的<2<…<a3V。2；

(2)若。=0,则a2=(/⑷=2,a3=J/S)=2,…；

依次类推可得

(3)若0Va<2,则谓—a：=—2的+4>0,且g=J/(。1)62),可得a1<的<2,

可得送一道=—2a2+4>0,且%=J/(。2)E[V-3/2),可得由<a2<a3<2,

依次类推可得的<a2<a3<•••<2；

(4)若a=2,则a2=J/(%)=2,的=J/(。2)=2,…，

依次类推可得册=2；

a

(5)若a>2,则底—al=-2ar+4<0,且g=V/(i)>2,可得2Va2V%.，

a

可得送一堵=-2a2+4<0,且的=V/(2)>2,可得2<的<。2<

依次类推可得2<•••<a3<a2<a]；

对于①：由(4)可知：若a=2,则a九=2,

此时数列｛a"为公比为1的等比数列，故①正确；

对于②：由(5)可知：若a=3>2,则2<…<(23<a2<的,,

此时数列｛a"为递减数列，故②正确；

对于③：由(3)可知：若0<a<2,则a1<a2<a3<<2,

此时数列｛a"为递增数列，故③错误；

对于④：由(3)可知：若0<a<2,贝。的<a2<a3<■■■<2,

即VneN*,都有an<2,故④正确；

故答案为：①②④.

构建/'(x)=--2x+4,分析/(x)的值域以及f(x)与4的大小关系.分a<0、a=0、0<a<2,a=2

和a>2五种情况，分析数列的

单调性以及取值范围，结合相应项逐项分析判断即可.

本题主要考查数列的单调性、考查递推数列研究数列的性质、考查等比数列等知识，属于难题.

n-1

16.【答案】=2几—1；bn=2；

4n-l

I--

【解析】(1)等比数列｛匕｝的公比为q•若的=1，Ss=25,b2=2,q=d.

若a1=l,则S5=5x1+=25,解得d=2,

所以即=1+2(n—1)=2Tl—1；

q=d=2,为=2瓦=2,所以瓦=1,则&=2叱1；

(2)由(l).=2nT,

4，n_1

所以仇+为+既+…+b2n-i=1+22+24+-+22n-2=一.

(1)利用S5求出d可得｛%J；与求出q可得配；

(2)利用等比数列求和公式可得答案.

本题考查的知识点：数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

17.【答案】填表见解析，/(%)=V^sin(2x-5，单调递减区间为用+/ot序+/OT](keZ)；

-1.

【解析】(1)填表如下:

7137r

6OX+(p07127r

2~2

7T3兀57r77r97r

X

8~8~8~8~8

AsinQayx+9)0/20-720

根据题意，可得2

函数的周期r满足》=名—［解得7=兀，由生=兀，解得3=2,

4880)

由/(不为函数的最小值,可得2X等+0=今+2"(卜CZ),

00Z

结合Iwl<4，可得0=-［，所以函数的解析式为/(%)=V~^sin(2%

由表格，可知/Q)的单调递减区间为年+kn,^-+kn］(kGZ)；

(2)g(%)=V-2sin(2x—7)+2cos2x=sin2x+cos2x=V_2sin(2x+7),

44

根据2<2%+g4乎，可知当久=与时，9(%)而九=一1，所以9(%)在［0,刍上的最小值为一1.

(1)根据“五点作图法”完成表格，结合表格中的数据求出/0)解析式与单调减区间；

⑵由三角恒等变换公式化简得g(x)=YIsin(2x+J),结合上2x+上当根据正弦函数的性质求得

4444

g(x)在［0,刍上的最小值.

本题主要考查由y=4s讥(3X+R)的部分图象确定其解析式、正弦函数的图象与性质、两角和与差的三角

函数公式等知识，属于中档题.

18.【答案】~

2.

2；

DJ1=<D《2・

【解析】(1)设甲款机器人单次送餐成功的概率为Pl,则Pl=l^4

(2)设乙款机器人单次送餐成功的概率为P2,丙款机器人单次送餐成功的概率为P3，

二匚［、I501804

所以「2=痂=5，「3=痂=1

X的可能取值为0,1,2,3,

411

XX

5-2-5--

所以P(X=0)=(1-P1)(l-p2)(l-P3)

P(X=1)=P1(1-P2)(l-P3)+(1-P1)P2(1-P3)+(1-Pl)(l-P2JP3

1141141421

X+XX-

2-5-5-2-5-5-2-5-

5-O-

P(X=2)=P1P2(1-P3)+Pl(l-P2)P3+(1-P1)P2P3

11111441421

--X-X-+-X-X-+---

525525525

n八7c、11425-O-

P(X=3)=P1P2P3=5X2X5=25，

所以E(X)=0x奈+lx9+2x|J+3x嘏=*

(3)由题意有后〜8(10,，),A〜8(10,〜B(呜,

所以=10x|x=^,D^2=10xIxI=^,D^3=10xxI=I，

OOJ乙乙乙JOO

所以g=＜垢•

(1)先计算甲款机器人单次送餐成功的频率，利用频率估计概率即可求解；

(2)先求X的可能取值，再求对应的概率，利用数学期望公式即可求解；

(3)由科〜B(103),f2〜3(10；),晶〜利用二项分布即可求。打，D0DQ进而求解.

本题考查离散型随机变量的数学期望与方差、二项分布等，属于基础题.

19.【答案】5

答案见解析.

【解析】(1)根据边角转换，原式可以化简为：｛sinBcosC+sinCcosB^cosA=~sinA,

因为sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

1

所以4cosA=-sinA,

又因为4为三角形内角，所以COST!=g,

进而求得A=p

(2)因为a=7,

所以根据余弦定理有：a2=b2+c2—2bccosA=b2+c2—be=49,

对于条件①：

因为b=8,所以siziB=处"=叫2=等＜1,

a77

又因为s讥8=苧＞苧，所以△ABC有两个解，不满足△ABC存在且唯一；

对于条件②：

因为c=5,所以根据正弦定理有：s讥C=也里=等，

因为c<a,所以0<C<<

又因为《(苧，

所以满足△ABC存在且唯一，

此时，由小=b2+c2—be=49,a=7,c=5,解得5=8,

所以S—BC=|besinA=gx8x5x?=10V3；

条件③：cosC=3

由s讥C=V1-cos2C=与彳，又由正弦定理得c=丝当=7XJ4=5,

14smA/

2

由条件②即可求解.

(1)由正弦定理和两角和的正弦公式即可求解；

(2)先判断△ABC存在且唯一，由正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式即可求解.

本题主要考查利用正弦定理和三角恒等变换解三角形，属于中档题.

20.【答案】(i)y=—2x+3；

(范)在x=0处函数/(%)取得最大值为2e.

晨,+°°).

【解析】(1)。)当a=0,b=0时，函数f(x)=(2-x)e1-x,/(l)=(2-l)e1T=1,

导函数广。)=(-W+(2-x)(-l)e1-x=(x-3)eff(l)=(1-3)e1-1=-2-e0=-2,

切线方程为：y—1=—2(%—1),

整理得：y=—2%+3.

(it)导函数/'(%)=(%-3)e1-x,因为c—%>0,对任意实数恒成立

所以导函数/'(%)的符号由％-3决定：

当久>3时，导函数/'(%)>0,函数单调递减；

当汽<3时，导函数/'(%)<0,函数单调递减，

所以％=3是极小值点，x=0时，/(0)=(2-0)e1-°=2e,

XT+8时，e1-XT0,因此/(%)T0,

因此当%>0时，在％=0处/(%)取得最大值为2e.

(2)函数f(%)=(2—x)e1~x—ax3+bx2,

导函数/'(%)=—e1-x+(2—%)(——3ax2+2bx=(x-3)e1-x—3ax2+2bx,

因为％=3是/(%)的极大值点，所以((3)=0,

广(3)=(3-3)e・3-3a•32+2b•3=-27a+6b,

所以-27a+6b=0,化简得

设函数s(%)=