2025北京九年级（上）期末数学汇编：点和圆、直线和圆的位置关系

2025北京初三（上）期末数学汇编

点和圆、直线和圆的位置关系

一、单选题

1.（2025北京朝阳初三上期末）如图，PA,分别与。。相切于A,B两点,/尸=70。，则/C为

2.（2025北京昌平初三上期末）如图，00是AABC的内切圆，切点分别是。，及尸,AB=3,CE=2,则

△ABC的周长为（）

3.（2025北京门头沟初三上期末）根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定AASC内心的是（）

4.（2025北京通州初三上期末）如图，AB是0。的直径，点。在48的延长线上，DC切。。于点C,如

果NA=30。，00=4,那么。C的长是（）

DBO\A

C

A.6B.4c.273D.3

5.（2025北京丰台初三上期末）勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直

径的数量关系的研究.刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直

角三角形（直角边分别为a,b,斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的

矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径1（用含a,b,。的式子表

示）为（）

2c

D.d=

a+b+c

6.（2025北京东城初三上期末）如图,PA抬与分别相切于点A,B,PA=2,/尸=60。，则A5的

长度为（）

C.3D.2上

7.（2025北京通州初三上期末）如图,已知。。及。。外一定点P,嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个

结论:

①点A是尸O的中点；

②直线尸。，尸我都是0。的切线；

③点尸到点。、点R的距离相等；

④连接PQ,QA,PR,RO,OQ,则S=TS四边形PRO。•

o

对上述结论描述正确的是（）

A.只有①正确B.只有②正确C.①②③正确D.①②③④都正确

8.（2025北京大兴初三上期末）已知。。的半径为4,点尸在。。外，OP的长可能是（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空题

9.（2025北京密云初三上期末）已知0。的半径是2,点P在。。内，贝UOP2（填"/或

10.（2025北京房山初三上期末）下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.

已知：。。和外一点尸.

求作：过点尸的。。的切线.

作法：如图，

（1）连接。尸；

（2）作线段O尸的中点A,以A为圆心，以40为半径作QA,与。。交于两点。和R；

（3）作直线PQ,PR.

直线和直线尸R是。。的两条切线.

证明：连接OQ,OR.

•.•O尸是0A直径，点。在OA上，

.\ZOQP=°,

AOQVPQ.

又：点。在0。上，

•・・直线P。是0。的切线（）（填推理的依据）.

同理可证直线PR是。0的切线.

11.（2025北京丰台初三上期末）如图，PA,PC是。。的切线，A,C为切点.若NAPC=60。,

PO=5框,则直径AB的长是.

12.（2025北京通州初三上期末）已知0。的直径为8cm,如果在。。所在平面内有一点尸且QP=5cm,

那么点尸在。。.（填内、外或上）

13.（2025北京西城初三上期末）如图，A8是。。的直径，PA,PC是0。的切线，切点分别为A,

C.若AB=2,ZABC=6Q°,则R4的长是.

14.（2025北京三帆中学初三上期末）如图所示，是。。的直径，AB=4,/A=30。，。。的切线

BE与直线AD交于点E,点“是。。上一个动点.过M作MN1AD,垂足为N,则M0+E2V的最

15.（房山2025北京初三上期末）如图，AB,AC,5。是0。的切线，P,C,。为切点，若AS=10,

AC=7,则8。的长为

16.（2025北京燕山初三上期末）在下图中，A3是。。的直径，要使得直线AT是。。的切线，需要添加

的一个条件是.（写一个条件即可）

B

17.（2025北京门头沟初三上期末）如图，PAM是。。的切线，A8是切点.若/尸=50。，则

ZAOB=___________

三、解答题

18.（2025北京朝阳初三上期末）如图，在7?以。钻中，ZOAB=90°,ZAfi（9=30°,C为02边的中点,

。。经过点C,80与。。相切于点。.

（1）求证：与。0相切;

（2）若AB=2,求AD的长.

19.（2025北京朝阳初三上期末）北京天坛，原名“天地坛”，是中国现存最大的古代祭祀性建筑群.天坛内

坛由圜丘、祈谷坛、斋宫三组古建筑群组成，某数学兴趣小组想测量圜丘坛（图1）最下层圆形石坛的直

径，先画出直径再直接测量不太可能，先测量周长再计算直径也比较麻烦，研讨后他们自制了一个直角曲

尺，制定了测算方案并画出了示意图.

直角曲尺的短边AC长为0.5m,在测量时，用直角曲尺的长边贴紧圆形石坛的边缘，并使短边AC与

圆形石坛的边缘接触，此时长边A8与圆形石坛的接触点记为点，量得AD的长为5.2m,示意图如图2

所示.请根据以上信息计算圜丘坛最下层圆形石坛的直径.

20.（2025北京门头沟初三上期末）如图1,平面中的线段A3和直线AB外一点P,对于P,A,B三点确

定的圆，如果14有所对的弧为优弧，我们就称点尸为线段A3的“优关联点”.

⑴如图2,已知点。（0,0）,C（2,0）.

①在点4（1,1）,鸟（2,1）,乙中，是线段℃的“优关联点”的是」

②如果直线，=-工+〃上存在线段OC的“优关联点”，直接写出6的取值范围.

（2）如图3,已知点0（2,2）,E（2,-2）,F（-2,2）,N（a+l,0）,如果在尸边上存在线段肱V

的“优关联点”，直接写出。的取值范围.

21.（2025北京西城初三上期末）如图，A3是。。的直径，弦CD〃AB,过点。作。。的切线交AB的延

22.（2025北京密云初三上期末）如图，A8是0。的直径，AC是。。的弦，延长BC至。，BC=CD,

过C作CEL4）交AD于点E.

⑴求证：CE是。。的切线；

⑵连接BE,若ZECD=30。,DE=1,求8E长.

23.（2025北京燕山初三上期末）如图，A3是。。的直径，过点B作。。的切线点A、C、。分别

为。。的三等分点，连接AC,AD,DC,延长AD交8加于点E,CD交A3于点

⑴求证：CD//BM-,

（2）连接OE,若DE=m,求△OBE的面积.

24.（2025北京丰台初三上期末）下面是小明设计的“过圆外一点作己知圆的切线”的尺规作图过程.

已知：如图，点P在。。外.

求作：。。的切线，使它经过点P.

作法：①作射线PO交。。于A、2两点；

②以点尸为圆心，以尸O的长为半径作弧；以点。为圆心，以A8的长为半径作弧，两弧相交于点

N；

③连接OM,ON分别交00于点C,D；

④作直线尸C,PD.

直线PC,为所作的切线.

根据小明设计的尺规作图过程.

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明

证明：连接尸

在。。中，点A,B,C在。。上，

-.-AB=OM,

:.OC=-AB=-OM,

22

:.OC=MC.

•：PO=PM,

:.PC±OM（）（填推理依据）.

直线尸C是。。的切线（）（填推理依据），

同理可证，直线PD是0。的切线.

25.（2025北京丰台初三上期末）如图，是。。的直径，点C在。。上，连接AC,BC.作

交。。于点。，交BC于点E.

⑴求证：BD=CD；

(2)过点。作。。的切线交AC的延长线于点孔若CF=1,SC=4.求AC的长.

26.(2025北京通州初三上期末)如图，在AABC中，AB=AC,。是A8的中点，到点。的距离等于

的所有点组成图形G,图形G与边BC交于点。，过点。作DESAC于点E.

2

(1)依题意补全图形，判断直线DE与图形G的公共点个数并加以证明；

(2)C4延长线交图形G于点孔如果AE=3,AF=4,求/定的长.

27.(2025北京海淀初三上期末)如图，AB,AC分别与。。相切于8,C两点，8。的延长线交弦于

点E,CE=DE,连接OD.

⑴求证：ZA=ZDOE；

(2)若OD〃AC,。。的半径为2,求A3的长.

28.(2025北京西城初三上期末)已知：如图1,点A,3在0。上，点尸在0。外.

求作：。。的切线尸C,且切点C在劣弧AB上.

作法：如图2,

①连接OP;

②作线段OP的垂直平分线/,交。尸于点M；

③以点M为圆心，的长为半径画圆，交劣弧A8于点C；

④画直线尸C.直线尸。即为所求.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接OC.

•••OP是。M的直径，

/.ZPCO=°（）（填推理的依据）.

OCLPC.

OC是0。的半径，

直线PC是。O的切线（）（填推理的依据）.

29.（2025北京三帆中学初三上期末）已知：是。。的直径，弦。，45垂足为后，半径上有两

点加和M硒=加,射线射线CN分别交于点RH,连接交C。于点G,过点。

作”尸的平行线I.

（1）证明：直线/是。。的切线；

⑵当O暇=BN时，求/CGP的度数.

30.（2025北京三帆中学初三上期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点T«,0）,eT的半径为1,它的一

条弦作两次变换：关于点M作中心对称后得到线段MP,关于点N作中心对称后得到线段NQ.我们

称点尸、。为eT的对称点，称线段尸。为eT的对称弦.

（1）如图，点A,B,C,。的横、纵坐标都是整数.

①在线段48,AD,CB,CD中，0。的对称弦是」

②若线段AC上的点都是eT的对称点，求/的取值范围；

⑵若。。的对称弦PQ过点（1,0）,直线y=+6与线段尸。有公共点，6的取值范围是

jx

31.（2025北京三帆中学初三上期末）下面是某同学设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规

作图过程.

求作：直线8£）,使得3D〃AC.

作法：如图2

①分别作线段AC,BC的垂直平分线4，4两直线交于点。;

②以点。为圆心，长为半径作圆；

③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交劣弧A8于点D；

④作直线20.

所以直线就是所求作的直线.

根据设计的尺规作图过程，

⑴使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接AD,

•.•点A,B,C,。在0。上，AD=BC,

AD=.（）（填推理的依据）.

:.ZDBA=ZCAB（）（填推理的依据）.

:.BD//AC.

32.（2025北京燕山初三上期末）下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程.

已知：如图1,。。及。。上一点P.

求作：直线PN,使得PN与。。相切.

作法：如图2,

①作射线OP;

②在。。外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，OQ与射线OP交于另一点

M；

③连接MQ并延长交。Q于点N；

④作直线PN.

所以直线PN即为所求作直线.

根据小石设计的尺规作图的过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：是。。的直径，

:.NMPN=°（）（填推理的依据）.

OP1PN.

又「O尸是。。的半径，

PN是。。的切线（）（填推理的依据）.

图1图2

参考答案

1.A

【分析】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过

作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果.连接。4、03,根据切线的性质定理，结合四

边形A03P的内角和为360。，即可推出203的度数，然后根据圆周角定理，即可推出NC的度数.

【详解】解：连接。4、OB,

•••直线PA.PB分别与Q0相切于点A、B,

:.OA±PA,OBLPB,

•.•/尸=70°,

ZAOB=110°,

是。。上一点，

ZACB=55°.

故选A.

2.D

【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出CF=CE=2,AF+BE=AB=3

是解题的关键.

由切线长定理得AF=AD,BE=BD,CF=CE=2,则+=AT>+5£>=AB=3,求得

AC+BC+AB=CF+AF+BE+CE+AB=10,于是得到问题的答案.

【详解】解：：。。与AB、BC、AC分别相切于点。、E、F,AB=3,CE=2,

:.AF=AD,BE=BD,CF=CE=2,

:.AF+BE=AD+BD=AB=3,

:.AC+BC+AB=CF+AF+BE+CE+AB=2+3+2+3=10,

.1△ABC的周长为10,

故选：D.

3.D

【分析】本题主要考查了三角形内心的定义，熟知三角形内心是三角形三条角平分线的交点和角平分线的

尺规作图方法是解题的关键.根据三角形内心是三角形三条角平分线的交点进行求解即可.

【详解】解：：三角形内心是三角形三条角平分线的交点，

•••四个选项中只有D选项作图方法是角平分线的尺规作图，

故选：D.

4.C

【分析】本题考查了切线的性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等知识，连接OC,由切线的性质

得NOCE>=90。，根据等腰三角形的性质得NOC4=NA=30°,通过外角性质可得

NDOC=NOC4+NA=60。，则NO=30。，最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：连接OC,

,/DC切。。于点C,

ZOCD=90°,

,/OC=OA,

：.ZOCA=ZA=30°,

：.NDOC=ZOCA+ZA=60°,

：.ND=30。，

OC=-OD=2,

2

•*-DC=ylODr-OC2=V42-22=2A/3，

故选：C.

5.A

【分析】本题考查了三角形内切圆半径求法，根据矩形面积不同的表示表示方法得出等式即可求解.

【详解】解：设由图可知：如图1所示的直角三角形面积为《浦，

2

图2所示的矩形面积为：2d(a+b+c),而图2所示的矩形面积为如图1所示的面积的4倍

2xd(a+人+c)=4x5QZ?

a+b+c

故选：A.

6.B

【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定与性质；由切线长定理得出=依=2,由4=60。得

是等边三角形，由等边三角形的性质即可求得结果.

【详解】解：丁弘依与。。分别相切，

,PA=PB=2；

VZP=60°,

*'•△PAB是等边三角形，

/.AB=PA^2-,

故选：B.

7.C

【分析】由第一步作图痕迹可知直线MN是P。的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周

角等于90。，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明APOQG/OR,由此可得

S/oQ=S"OR,进而可得SfOA=：S四边形PRO。，因此可判断④错误.

【详解】

由第一步作图痕迹可知直线跖V是尸。的垂直平分线，因此点A是尸。的中点，

故①正确；

,/尸。是0A的直径，

NPQO=NPRO=9U°,

:.PQ±OQ,PR±OR,

直线P。，尸我都是。。的切线，

故②正确；

直线PQ,用都是。O的切线，根据切线长定理，可知PQ=PR,

故③正确；

--PQ=PR,OQ=OR,PO=PO,

:.APOQ^^OR,

\pofi=SfOR,

,"S"POQ=5S四边形尸R。。•

:点A是尸。的中点，

S«PQA=5SMOQ-ZS四边形PRO2，

故④错误.

故选：C

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理.熟练掌握

以上知识是解题的关键.

8.D

【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题.

【详解】解：：。。的半径为4,点P在。。外，

.".0P>4,

故选：D.

【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围.

9.<

【分析】本题考查点与圆的关系，解题关键是熟知点与圆的三种关系.

根据点与圆的三种关系即可判断得到答案.

【详解】解：的半径为2,点尸在内，

:.OP<2,

故答案为：<.

10.90经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【分析】本题考查作图一复杂作图、圆周角定理、切线的判定，根据圆周角定理、切线的判定定理填空即

可.

【详解】证明：连接OQ,OR.

•••O尸是。4直径，点。在。A上，

:.^OQP=90°.

OQLPQ.

又,•,点。在0。上，

•・・直线PQ是0。的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）.

同理可证直线PR是的切线.

故答案为：90；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

11.573

【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，含30。角的直角三角形的性质等知识，先根据切线长定

理，切线的性质，得出ZAPO=NCPO=；ZAPC=3。。，OA1AP,然后根据含30。角的直角三角形的性质求

出AO=g6,即可求解.

【详解】解：：，PA,PC是。。的切线，ZAPC=60°,

ZAPO=ZCPO=-ZAPC=30°,OA1,AP,

2

*.*PO=5出,

15L

AO=-PO=-出,

22

.,•直径AB=2AO=56，

故答案为：5^/3.

12.夕卜

【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键.根据直径求出半

径，即可判断出点和圆的位置关系.

【详解】解：：。。的直径为8cm,

。。的半径为4cm,

---OP=5cm,

故点尸在0。外.

故答案为：外.

13.6

【分析】本题主要考查圆的切线性质，圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理的应用.通过连接

OC,利用切线性质得到垂直关系，证明△Q4P四△OCP,得到NAOP=NCOP,再圆周角定理求出

ZAOC,最后在RtA。4P中应用勾股定理求得上4的长.

【详解】连接OC,OP,

又,.,OAl.PAOC±PC,OP=OP,

△Q4P丝△OCP（HL定理），

ZAOP=NCOP,

而44OC=2NA6C=120。（圆心角是圆周角的两倍）,

ZAOP=60。，

在及△OAF中，ZAPO=30°,

48是00的直径，。4=；4?=1,

OA=-PO=1

2

尸0=2

PO2=OA2+PA2

PA=JPCP-0日=6'

故答案为：V3.

14.9+2返+1

3

【分析】在延长线取点尸，使得NF=MN,则有MN+EN=NF+EF=EF,即求斯的最大值，然后

求出/MFE=/WF=45。，故有当平移至Mb与。。相切时，有E尸最大值，延长MO交AE于点G,

证明为等腰直角三角形，再根据30。角所对直角边是斜边的一半，得OK=1,从而有

AK=1O曾-OK。=4展-士=超,再通过等腰直角三角形的性质可得OG=夜，所以又6=2+应，

GF=2国2,最后由勾股定理和线段和差即可求解.

【详解】解：在E4延长线取点尸，使得NF=MN,

：.MN+EN=NF+EF=EF,即求Er的最大值，

MNJ.AD,

：.ZMNF=90。,

随着〃的运动，/MFE=/WF=45。时，

当平移至与。。相切时，有所最大值，延长MO交AE于点G,

ZGMF=90°,

：.ZMFE=ZMGF=45°,

△GMF为等腰直角三角形，

VOA=2,ZOAG=30°,

：.OK=\,

..由勾股定理得：AK=,\/OA2—OK2=V22—I2=6，

*.•ZOGA=45°,

：.ZOGA=ZGOK=45°,

：.GK=OK=1,

二由勾股定理得OG=应，

•*-MG=2+42,GF=2A/2+2.

*.•Z(MG=30°,

/.BE=-AE,

2

由勾股定理得AB2+BE2=AE2，

••AE----9

3

*/AG=6+1,

.”573,

・・EG=-----1,

3

sh

EF=EG+GF=—+2^2+1,

3

J.NM+EN的最大值为述+20+1,

3

故答案为：—+2>/2+l.

3

【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知

识点的应用是解题的关键.

15.3；

【分析】本题考查切线长定理，根据圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等直接求解即可得到答案；

【详解】解：：AB,AC,8。是。。的切线，P,C,。为切点，

/.AC=AP,BD=BP,

VAC=7,

二3尸=10—7=3,

故答案为：3.

16.ZABT=ZATB=45°（答案不唯一）

【分析】根据切线的判定条件，只需要得到NBAT=90。即可求解，因此只需要添加条件：

/ABT=乙418=45唧可.

【详解】解：添加条件：ZABT=ZATB=45°,

'：ZABT=ZATB=45°,

：.ZBAT=90°,

又；AB是圆。的直径，

.二AT是圆。的切线，

故答案为：ZABT=ZATB=45°（答案不唯一）.

【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键.

17.130°

【分析】由题意易得NR4O=NP3O=90。，然后根据四边形内角和可求解.

【详解】解：：早产8是。。的切线，

，ZPAO=ZPBO=90°,

二由四边形内角和可得：ZAOB+ZP=180°,

ZP=50°,

NAO3=130°；

故答案为130°.

【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

18.⑴见解析

⑵2

【分析】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角

形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.

(1)在及AQAB中，ZOAB=90°,/ABO=30。，得到。A由C为02边的中点，求得

2

OC=^OB,根据切线的性质得到结论；

(2)连接0,根据切线的性质得到4?=BD,证明△ABO2JDBO(SSS),根据全等三角形的性质得到

ZDBO=ZABO=30°，根据等边三角形的判定和性质得到结论.

【详解】(1)证明：在中，ZOAB=90°,ZABO=30°,

:.OA=-OB,

2

•••C为08边的中点，

OC=-OB,

2

:.OA=OC,

J.Q4是。。的半径，

AB与。。相切；

(2)解：连接OD,

•.•AD与。。相切于点。，AB与。。相切,

AB=BD,

在与△D5O中，

OA=OD

<AB=BD,

OB=OB

.•.△ABO%D5O(SSS),

:.ZDBO=ZABO=34。,

.\ZABD=60°,

..△ABD是等边三角形，

:.AD=AB=2.

19.54.58m

【分析】本题考查圆切线的实际应用.解题的关键是添加辅助线，熟练掌握圆切线性质，勾股定理解解三

角形.

如图，连接OO,过点C作CTLOD于点，设OD=OC=rm,利用勾股定理构建方程求解.

【详解】解：如图，连接过点C作CTLOD于点=设。D=OC=r

•.•AB是。。的切线,

:.OD±AB,

'：ACLAB,

NCTD=ZCAD=ZADT=90°,

，四边形ADTC是矩形，

：.CT=AD=5.2,DT=AC=0.5,

在Rtz\OC7中，OC2^OT2+CT2,

r2=(r-0.5)2+5.22,

解得r=27.29.

所以圆形石坛的直径：27.29x2=54.58(m).

20.⑴①E②1一应<6<1+0

,c、，c'72^+1y/2-1

(2)1<a<2,—<a<^—

【分析】(1)根据定义得出NAP5所对的弧为优弧，90°<ZAPS<180°,进而得出结果；

(2)以OC为直径作。/,求出直线产r+b与。/相切时的b的值，进而得出结果；

(3)求出以为直径的。/与E尸相切时a的值，。/与E/W相切时a的值，进一步得出结果.

【详解】(1)解：①如图1,

90°<LAPB<180°，

•••?OP}C90?,/OP2c<90。,90°<£OP3C<180°，

E是线段OC的“优关联点”，

故答案为：片；

②如图2,

以OC为直径作。/,

当〉=-工+》切。/于点A或点B时，设其分别交y轴于点。，交无轴于E,

贝IABJ_直线y=-x+》，

:直线＞=-尤+6,当x=0时，了=匕；

当y=0时，x=b；

...直线尸-龙+匕与x轴所成的锐角是45。，

?.ZAIC=ZOIB=45°,

：.OI=OF=1,

直线A8交y轴于点尸(0,-1),

ZADF=ZAFD=45°,AF=+1,

:.DF=«AF=2+B

：.OD=DF-OF=3+I，

同理得出：£7=&8/=夜，

.­.OE=A/2-1,

,此时直线与y轴交于（。,1-亚卜

1~6<b<收+1；

当以MN为直径的。/与直线EF相切于点A或点B时,

连接必，

贝！]/4人EF,OI=y[2IA^—,

2

（亚、

当。/在所左侧时（除去A点），I——,0,

\1）

:.N[2，/

1-J2

・•・。+1=-2

7-瓦

2

当。/在的右侧时（除去切点）,

此时：0=与1

一一J2-1

，

-2<a<^—

当O/与OE相切时，/1|，°］或g，"，

此时M(l,0)或(2,0),

:A<a<2,

综上所述：或1<。<2.

22

【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系等知识，解决问题的关键是将题意转化为直

线和圆的位置关系.

21.⑴证明见解析

(2)CD=y

【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题关键.

(1)作。尸，CD于点/，连接OC,OD,先由平行的性质易得/00斤+"匿=90。，再由切线的性质

得OD且DE,进而得NE+"OE=90。，即可得=再由垂径定理和圆周角定理可得

ZDOF=-ZDOC,ZCBD=-ZDOC,继而可得结论；

22

(2)作£>G，A£于点G,设。。的半径为厂，则。4=OD=r,OE=8-r,由勾股定理列方程得

/+7=(8-解方程得r=3,进而可得OE、0P的值，再由勾股定理可得。尸的值，最后由

CD=2。尸可得答案.

【详解】(1)证明：作OPLCD于点E，连接OC,OD,如图1,

ZDFO=90°,

,?CD//AB,

：.ZDFO+/EOF=180°,

/EOF=90°,

：.ZDOF+ZDOE=90°,

；OE是。。的切线，。是切点,

0D1DE,

：.ZE+ZDOE=90°,

：.ZE=ZDOF,

'：OC=OD,

/.ZDOF=-ZDOC,

2

,/ZCBD=-ZDOC,

2

ZDOF=ZCBD,

ZE=NCBD；

(2)解：作DGLAE于点G,如图2

G\BE

F

图2

VCD//AB,OFLCD于点、F,

：.DG1CD,OFLAE,

四边形OPGD为矩形，

DG=OF,

设。。的半径为乙则Q4=OD=r,

AE=8,

：.OE=8-r,

•.•在RtZXODE中，NODE=90°,DE=4,

：.r2+42=(8-r)2,

解得r=3,

OE=5,

'：SMDE=^ODDE=^GDOE,

.np*ODDE12

OE5

...在中，DF=ylOD2-OF2=|,

1Q

：.CD=2DF=—.

22.（1）见解析

⑵而

【分析】（1）连接OC,根据三角形中位线定理得到OC〃AD,根据平行线的性质得到OCLCE,根据切

线的判定定理即可得到结论；

（2）设A。交O。于连接初，根据三角形的内角和定理得到60。，根据圆周角定理得到

AC1BD,推出△ABD是等边三角形，得到AB=AD=3C,ZBAD=6009根据直角三角形的性质得到

CD=2DE=2,根据勾股定理得到结论.

【详解】（1）证明：连接0C,

vAO=BO,BC=CD,

.•.OC是△ABD的中位线

・•.OC//AD,

vCElAD,

/.OC1CE,

・・・OC是。。的半径，

「.CE是O。的切线；

（2）解：设AZ）交。。于H,连接

/CE1AD,

•./C皮）=90。，

.•/DCE=30。,

•.ZD=60。，

.•AB是。。的直径，

\AClBDf

;BC=CD,

\AB=AD,

•.△ABD是等边三角形，

•.AB=AD=BC,ZBAD=60°,

.・NCED=90°,ZDCE=30。,DE=\,

\CD=2DE=2,

\AB=AD=BD=4,

•・AB=BD,BH±AD,

：.AH=DH=-AD=2,

2

BH=dAB。-AH。=2>/3

■：HE=DH-DE=l,

BE=-JBH2+HE2=V13•

23.(1)见解析

2

(2)SAOBE=y/3m

【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定、三角形的外心、圆切线的性质、平行线的判定，等边三角形

的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、勾股定理、含30。角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点推

理是解题的关键.

(1)根据三等分点，得出AD=r)C=AC，AACD内接于。。，推出AT>=DC=AC,点。是AACD的外

心，得出ABLCD,根据切线的性质，得出BE根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线

平行”，即可得证CD〃BM；

(2)连接。3,由(1)^AD=DC=AC,ABLCD,BEVAB,得出AACD是等边三角形，

ZABE=90°,得出NC4£>=60。，计算出角度NE4B=30。，NAEB=60。，根据“直径所对的圆周角是直

角”，得出NAD3=/3DE=90。，求出"3E=30。，根据“30。角所对的直角边是斜边的一半”，结合勾股

定理，推出既=2w，02=5”,根据三角形面积公式，计算SA.BE=；XBEXOB,得出答案即可.

【详解】(1)证明：：点A、C、。为0。的三等分点，

AD=DC=AC-AACD内接于O。，

AD=DC=AC,点。是AACD的外心，

.•.点A、。在线段CO的垂直平分线上，

AB1,CD,

过点B作。。的切线BM,

/.BE±AB,

：.CD//BM；

(2)解：如图，连接D8,

•由（1）得：AD=DC=AC,ABVCD,BELAB,

AACD是等边二角形,ZABE=90°,

・・・NC4P=60°,4以8¥x60。=30。，

jZAEB=90°-30°=60°,

・.•A3是。。的直径，

：.ZADB=ZBDE=90°,

：.?DBE90?1AEB30?,

又,:DE=m,

2222

：.BE=2DE=2mfBD=y/BE-DE=J（2m）-m=y/3m,

又丁在RtAAZ阳中，ZDAB=30°,

AB=2BD=26m,OB=-AB=^3m,

2

・••在中，SCRF=~xBExOB=—x2mxy[3m=y/3m.

24.（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形三线合一，关键是通过作图构造等腰三角形和三线合一.

（1）根据要求即可画出图形即可；

（2）根据等腰三角形三线合一即可解决问题.

在。。中，点A,B,C在。。上,

AB=OM,

:.OC=-AB=-OM,

22

:.OC=MC.

•：PO=PM,

:.PCVOM（在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合）.

直线PC是。。的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）

同理可证，直线是0。的切线.

故答案为：在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合，经过半径的外

端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.

25.（1）见解析

（2）3

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，平行线的性质可得出OD±BC,然后根据垂径定理即可得

证；

（2）根据切线的性质以及（1）的结论可证明四边形CFDE是矩形，则DE=CF=1,根据垂径定理得出

BE=CE=；BC=2,在RSBOE中，根据勾股定理求出OE,然后根据三角形中位线定理求解即可.

【详解】（1）证明：•••AB是。。的直径，

ZC=90°,

OD//AC,

：.ZOEB=ZC=90°,

：.OD1BC,

：•BD=CD；

。厂是。。的切线，

ODA.DF,

又OD工BC,NBCF=180°-ZACB=90°,

四边形CRDE是矩形，

DE=CF=1,

•；OD工BC,BC=4,

/.BE=CE=-BC=2,

2

在RUBOE中，BO2=OE2+BE2,

A(OE+l)2=OE2+22,

3

解得OE=；,

VBO=AO,BE=CE,

：.AC=2OE=3.

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌

握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键.

26.(1)补全图形见解析，直线OE与图形G(0O)只有一个公共点，或直线。E与。。相切，证明见解析

⑵DE=4

【分析】本题考查了圆的切线证明、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键.

(I)由题意得图形G是以点。为圆心，为半径的圆；连接OD,可证直线DE与。。相切；

(2)过点。作于点G.可得AG^-AF=2,推出四边形OOGE是矩形；根据

2

OG2=OA2-AG2=52-22=21,即可求解；

结论：直线DE与图形G(O。)只有一个公共点，或直线DE与O。相切

证明：连接O。，

•：OB=OD,

:・/BDO=/B,

AB=AC,

：.ZC=ZB,/BDO=/C,

：.DO//CA,

DE±AC,

：.DOVDE,

・・,点。在图形G(。。)上，

・,・直线。E与图形G(OO)只有一个公共点.

(2)解：过点。作OGLA尸于点G.

AG=-AF=2

2

"：DE±AC,DO±DE,

...四边形。OGE是矩形，

:.DO=EG=5,DE=OG,

在RtA（9G4中，。4=。0=5,

,OG2=OJ^-AG2=52-22=21,

OG=V21（舍负），

⑵2+2忘

【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质.

（1）连接CO,由切线的性质得/3A+NOC4=180。，再由四边形内角和得NA+N8OC=180。，由平角

的性质得NCOE+/30c=180。，进而得/COE=/A,再由垂径定理得/COE=/OOE,继而可得结论；

（2）过点C作"，居于点先由已知得四边形CEBM是矩形，进而得CM=3E,BM=CE,

CE//AB,结合（1）易得AOEO是等腰直角三角形，进而可得=+

BM=CE=C,，再由=+即可得出答案.

【详解】（1）证明：如图，连接CO,

/.OC±AC,OBIAB,

：.ZOS4+ZOC4=180°,

NA+N30c=180。，

又Z.COE+NBOC=180。,

ZCOE=ZA,

VCE=DE,OC=OD,

AOELCD,OE平分NCOD,

/COE=ZDOE,

ZA=ZDOE；

(2)解：如图，过点C作_L四于点",

NCMB=ZBME=ZBEC=ZECM=90°,

，四边形CEB"是矩形，

:.CM=BE,BM=CE,CE//AB,

：.ZA+ZACE=180°,

,?OD//AC,

：.ZACD+ZODC=180°,

ZA=ZODC,

由（1）得ZA=ZDOE,

：./ODE=/DOE,

OE=DE,

AOEO是等腰直角三角形，

Z.ODE=Z.DOE=ZA=45°,

：.ZACM=45°,

：.AMCM,

：。0的半径为2,即OD=O8=2,

•*-OE=ED=CE=42，

：•AM=CM=BE=2+也,BM=CE=~Ji,

AB=AM+BM=2+2.42.

28.（1）图见解析

（2）90,直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、圆周角定理、圆的切线的判定定理，熟练掌握圆的切线

的判定定理是解题关键.

（1）根据题中的作法步骤：根据线段垂直平分线和圆的画法即可得；

（2）先根据圆周角定理可得/PCO=90。，再根据圆的切线的判定定理即可得证.

【详解】（1）解：使用直尺和圆规，依作法补全图形如下:

（2）证明：连接OC

0P是。"的直径,

:./PCO=90°（直径所对的圆周角是直角）.

OCA.PC.

•••OC是。。的半径，

，直线PC是。。的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）.

故答案为：90,直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

29.（1）证明见解析

（2）60°

【分析】对于（1）,根据线段垂直平分线的性质得CN=CN,再根据等腰三角形的性质得

ZNCE=ZMCE,进而得出=然后根据C归=。尸，结合等腰三角形的性质得

即可得出NODP=90。，接下来答案可证；

对于（2）,连接8。，先根据QW=8N证明0E=3E,可得AOBD是等边三角形，可知/。£>8=60。，再根

据等腰三角形的性质得NODE=30。，然后根据切线的性质得NC©P=90。，可求出/即尸=60。，则结论可

证.

【详解】（1）如图所示，标注两点，连接02。尸,。以，

•/CD±AB,EM=EN,

：.CD是MN的垂直平分线，

CN=CM,

：.NNCE=NMCE.

•：ZHOD=2ZNCE,ZFOD=2ZMCE,

ZHOD=/FOD.

'：OH=OF,

：・ODLFH,

即NOKF=90。.

•:DP//HF,

・•・NODP=90。,

・・,OD是0。的半径，

・••直线/是。。的切线;

(2)连接3。，

OM=BN,EN=EM,

：.OM-EM=BN-EN,

即OE=BE.

9：CDVOB,

：.OD=BD.

'：OB=OD,

：.OB=OD=BD,

即△03。是等边三角形，

・•・ZODB=60°,

：.NODE=30。.

•・,直线/是。。的切线，

JZODP=9Q0,

：.ZEDP=6Q°f

DP//HF,

JZCGF=ZCDP=60°.

C

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的

性质，等边三角形的性质和判定，准确作出辅助线是解题的关键.

30.⑴①②-3+后

（2）-2-2^<Z?<4+>/3

【分析】（1）①根据新定义可得0。的对称弦得满足尸O=QO,且尸0a=6厂=6,且线段PQ与0。有交

点，结合图形，即可求解；

②先固定“，连接MT,作两次变换：关于点M作中心对称后得到线段关于点T作中心对称后得

到线段7。2.得出尸在以。।为圆心1为半径的圆上运动，。在以。2为圆心2为半径的圆上运动；当M运动

时，始终以M为切点运动，则尸，。的运动轨迹在以T为圆心，半径分别为1和3的圆环内运动

（不包括eT上），进而根据线段AC上的点都是eT的对称点，结合点T«,0）,eT的半径为1,分别求得

临界值，即可求解；

（2）根据题意设由（1）②可得。。的对称弦尸。过点（L0）,则P在以。］为圆心1为半径的圆上

运动，。在以。2为圆心2为半