2025初升高数学专项提升：函数的单调性与最大（小）值（预备知识）原卷版

专题11函数的单调性与最大(小)值

1、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言

表达能力

2、会用定义证明简单函数的单调性，提高学生的推理论证能力，发展学生的数学运算素养

3、在经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程中，让学生体会从具体到抽象，从特殊到一

般，从感性到理性的认知过程

知识点一：函数的单调性

1、增函数与减函数

1.1增函数

一般地,设函数/(x)的定义域为/,区间/,如果Vxi，4eD,当石<%时,都有/(七)</(%),

那么就称函数/(x)在区间。上单调递增.(如图：图象从左到右是上升的)

特别地，当函数/(%)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasingfunction).

1.2减函数

一般地,设函数/(%)的定义域为/,区间。口/，如果V%,9e。，当石<々时,都有/(西)>/(x2),

那么就称函数/(x)在区间。上是单调递减.(如图：图象从左到右是下降的)

特别地，当函数/(X)在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasingfunction).

2、函数的单调性与单调区间

如果函数y=/(%)在区间。上单调递增或单调递减，那么就说函数y=/(x)在这一区间具有(严格的)

单调性，区间。叫做y=/(x)的单调区间.

3、常见函数的单调性

函数单调性

当人＞0时，/(X)在R上单调递增

一次函数/(x)=Ax+人(左wO)当左＜0时，/(%)在R上单调递减

当左＞0时，/(%)在(—8,0)和(0,+勾)上单调递减

k当左＜0时，/(%)在(—8,0)和(0,+勾)上单调递增

反比例函数/(%)二—(左。0)

X

b

当〃＞。时，/(%)在(-8,-7-)上单调递减；

2a

二次函数/(%)=依2+法+。(〃。0)在(_b+8)上单调递增

2a

b

对称轴为九=-丁b

2a当〃＜。时，/(©在(-8,-丁)上单调递增；

2a

在(_b+8)上单调递减

2a

知识点二：函数单调性的判断与证明

1、定义法：一般用于证明，设函数/(幻，证明的单调区间为。

①取值：任取苞，X2GD,且X]＜%;

②作差：计算/a)一/(々)；

③变形：对/(西)-/(々)进行有利于符号判断的变形(如通分，因式分解，配方，有理化等)；如有必要

需讨论参数；

④定号：通过变形，判断/(西)一/(%)〉0或(/(石)一/(%)＜0),如有必要需讨论参数；

⑤下结论：指出函数y=/(x)在给定区间。上的单调性

2、图象法

一般通过已知条件作出函数的图象(或者草图)，利用图象判断函数的单调性.

3、性质法

(1)函数y=/(x)在给定区间D上的单调性与y=-/U)在给定区间D上的单调性相反;

(2)函数y=/(X)在给定区间。上的单调性与y=/(%)+c的单调性相同；

(3)y=/(x)和y=g(x)的公共定义区间。，有如下结论；

y=/(x)y=g(x)y=/(x)+g(x)y=/(x)-g(x)

增/增/增/不确定

增/减\不确定增/

减\减,减,不确定

减\增/不确定减\

知识点三：函数的最大(小)值

1、最大值：对于函数y=/(x),其定义域为/,如果存在实数M满足:

①Vxe/,都有

②叫e/,使得/(%)=〃

那么称M是函数y=/(x)的最大值；

2、最小值：对于函数y=/(x),其定义域为/,如果存在实数加满足:

①祗C/,都有/(X)2772

②叫e/,使得/(%)=加

那么称〃?是函数v=/(%)的最小值

对点集训一：利用定义法判断或证明函数的单调性

典型例题

2Y+］

例题1.(24-25高一上,安徽铜陵•阶段练习)已知函数/(X)=生

(1)用定义法判断了(X)在区间(-2,+«))上的单调性

(2)求出该函数在区间［1,4］上的最大值和最小值.

例题2.(24-25高一上•上海宝山•期末)已知函数〃尤)=寸-2x.

(1)用定义法证明函数'=F(尤)在区间(-8』上是严格减函数；

(2)写出函数y=〃尤)在区间[-2,2]上的最值，以及相应的x的值.

精练

-V-0

1.(24-25高一上•甘肃兰州•阶段练习)已知函数/(x)=等，xe[2,3].

x—1

(1)用定义法判断函数的单调性；

(2)求函数的最大值和最小值.

2.(24-25高一上广西河池•阶段练习)已知函数无)=x+L

X

(1)判断函数/(X)在(0,1)上的单调性并用定义进行证明；

(2)若/(x)〈加对任意xe恒成立，求实数”的取值范围.

2Y+1

3.（2024高二上•河南安阳•学业考试）已知/（%）=-

x+1

（1）判断函数/（X）在区间U,+8）上的单调性，并用定义证明你的结论；

（2）求该函数/（X）在区间[1,4]上的最大值与最小值.

对点集训二：求函数的单调区间

典型例题

例题1.（23-24高三下■全国眉主招生）函数y=-Y-5x+6的单调递减区间为

例题2.（2024高一,全国•专题练习）函数y=卜%2+4%+5I的单调递增区间是

精练

1.（2024高三•全国•专题练习）函数〃x）=的单调递增区间为（）

A.（一00，；）B.（f,T]C.|■，+sjD.

2.（24-25高一上•全国•课后作业）函数/（x）=U的单调递减区间为.

3.（24-25高一上•浙江•期中）函数〃尤）=,-3元|的单调递增区间是.

对点集训三：利用函数的单调性解不等式

典型例题

例题1.（2025高三.全国•专题练习）已知函数〃x）=VT工+2x,/（2a2-5a+4）＜/（«2+«+4）,则实

数a的取值范围是（）

AJ-8,；）U（2,+8）B.[2,6）

C.。，；32,6）

D.（0,6）

例题2.(24-25高一上•安徽蚌埠•期末)已知函数“X)满足：%,%wR,当.占片马时，月三区>2

恒成立，且"2)=12,若疗+8,则实数加的取值范围是()

A.[-72,5/2]B.[-2,2]

C.(-CO,-\/^]口[5/^,+8)D.(-8,-2]u[2,+«?)

精练

1.(2024高二上•云南•学业考试)函数/(X)是定义域为(-8,+8)的增函数，若/(m-9)>〃-2㈤，则优的

取值范围为()

A.(0,+oo)B.(-oo,-3)C.(3,+00)D.(-co,3)

2.(24-25高一上•北京•期中)函数是[0,+«>)上是减函数，那么下述式子中正确的是()

A./(l)>/(a2+2a+2)B./(l)</(a2+2«+2)

C./(1)=/(6Z2+26Z+2)D.以上关系均不确定

3.(24-25高一上•浙江•期中)已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-l)</(l-3x),则x的取值范

围是()

对点集训四：利用函数的单调性求参数

典型例题

1—CLY

-------X-1

例题1.(24-25高一下•辽宁朝阳•阶段练习)已知函数“无)=x'，在R上单调递

J+(4-a)%+2a-1,%N—1

增，则实数。的取值范围为()

A.|,2BC.(1,2]D.[Q

例题2.(24-25高一上•江苏盐城•期末)已知/(x)=f-(2a-l)x+l,对4,x,e[l,4w)都有丛止"^21

成立，则实数〃的取值范围是()

A.[1,+co)B.(-co,l]C.[2,+oo)D.(-oo,2]

精练

1.（24-25高一上•广西百色•期末）“心-10”是“函数〃x）=4f一丘—8在区间（-1,4）上单调递增”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（24-25高一上•浙江杭州•期中）已知函数〃力=*-米-8在[3,4]上具有单调性，则实数上的取值范围

是（）

A.[6,8]B.6]U[8,+℃）C.[8,+co）D.0o,6]

,/、「（a—5\x-2,x>2/、

3.（24-25高一上•福建莆田•期中）函数〃x）=2“八。.，若对任意。，々€叫芯力赴），

X—Z（<2+1）X+JCl,X<2

都有“内）一"々）<0成立,则实数”的取值范围为（）

玉一工2

A.y,l]B.（1,5）C.[1,5）D.[1,4]

对点集训五：求函数最值（值域）

典型例题

例题1.（24-25高一上•四川自贡•阶段练习）已知函数/（x）=f-2尤-2,xe[-2,2],函数〃尤）的值域为

（）

A.[-3,6]B.[-2,6]

C.[2,10]D.[1,10]

例题2.（24-25高一上•新疆喀什•期末）已知函数/'（x）=：+2.

（1）判断函数,f（x）在（0,+“）上的单调性，并用定义法证明你的结论；

（2）若xe[2,7],求函数的最大值和最小值.

精练

1.（24-25高三下•湖南永州•开学考试）已知〃力=/：：+6卜＞o）,则“力的最小值是（）

A.2B.3

C.4D.5

2.（24-25高一上•贵州毕节•阶段练习）设函数，（无）=上口在区间［3,4］上的最大值和最小值分别为私租,

X—2

3.（24-25高一上•河南郑州•期中）已知函数f（x）是二次函数，且，（。）=1,f（x+l）-f（x）=2x.

（1）求/（X）的解析式并且写出/（X）的单调递增和单调递减区间；

（2）求出/（%）在区间［-1,4］上的最大值和最小值.

对点集训六：二次函数（含参数）最值问题

典型例题

例题1.（2025高三下•全国•专题练习）已知函数/（x）=x~-2ax—3.

（1）已知/（X）在［3,+8）上单调递增，求。的取值范围；

（2）求/（x）在［-1,2］上的最小值.

例题2.(24-25高一上•江西宜春•期中)已知函数/(x)=2d—mx+n,不等式/(x)V0的解集［0,5］.

(1)求函数〃元)的解析式；

(2)设函数〃尤)在上,f+1］上的最小值为g«),求g⑺的表达式及g⑺的最小值.

精练

1.(2024高三•全国•专题练习)已知求函数〃%)=%2+如+3在区间上的最值.

2.(24-25高一上•江苏宿迁•期中)二次函数的图象顶点为A(L16),且图象在x轴上截得线段长为8.

(1)求函数“X)的解析式：

(2)令g(x)=/(尤)+《％-2)-15

①求不等式g(x)>0的解集；

②求函数g(x)在xe［0,2］的最大值.

对点集训七：根据最值（值域）求参数

典型例题

例题1.（24-25高一上•全国•课后作业）已知函数y=d-2x+3在闭区间［0,河上有最大值3,最小值2,

则优的取值范围是（）

A.口,+8）B.［0,2］

C.（一乱2］D.［1,2］

例题2.（23-24高一上•四川凉山•期中）已知函数/（x）=d-依+4

。当4=3时,求“X）在区间［1,3］上的值域；

（2）若/'（X）在区间［0,2］上的最大值为4,求。的取值范围.

精练

1.（23-24高一上•北京•期中）已知函数"-炉-2%+3在区间［d2］上的最大值为?，贝心等于（）

A.-B.gC.--D.士或

22222

2.（24-25高三上•青海•阶段练习）已知函数“尤）二竺署2在区间［0』上的最大值为5,贝IJ"=.

3.（23-24高一上•广东中山•期中）已知函数/（尤）=生二.

（1）用函数单调性的定义证明：/（X）在（-1,田）上是单调递增；

（2）若函数/（尤）在区间上的值域,求a+6的值.

对点集训八：恒成立（能）成立问题

典型例题

例题1.（24-25高一上•广东东莞•期中）已知函数=且/⑴=一|，〃2）=.

（1）求〃x）的解析式；

（2）判断/■（》）在（-2,内）上的单调性，并用定义证明.

（3）若对Vxe[0,3],〃尤）-恒成立，求实数，"的取值范围.

例题2.（23-24高一上•江苏南通•期中）已知函数〃x）=2尤2+J

Q）试判断函数在区间[L2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；

（2）若存在无＜1,2],使成立，求实数"，的范围.

精练

1.(24-25高二上•云南玉溪•期末)已知函数/(x)—Y+ax-2b+1,不等式/(£)<0的解集为(-2,3).

(1)求实数“，》的值；

(2)若对Vxe[l,2],/(彳)-2+3心0恒成立，求实数左的取值范围.

2.(22-23高一上•全国•课后作业)已知〃幻=必+笈+*不等式〃力<。的解集是(0,4).

(1)求外力的解析式；

⑵若不等式〃x)+r<2在[7,2]上有解，求，的取值范围.

/------[HHHK.

（基础通关J

一、单选题

1.（24-25高一下•云南昭通•开学考试）“左＞g”是函数〃力=（2左+l）x-4在R上是增函数的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2025高二上•黑龙江•学业考试）如图所示，函数'=/（司（xw[T,4]）的单调递减区间为（）

3.（24-25高一上•江苏镇江期末）已知函数/（无）=]：；则不等式/，+》_2）＞〃了-1）的解集是

（）

A.（TDB.（一oo,—l）U（l，+8）C.（—2,1）D.（—1,2）

4.（24-25高一上・江苏南通・阶段练习）函数y=-/-4X+1,XG[-3』的值域为（）

A.[^4,4]B.[5,+00）C.[^4,5]D・（-00,5]

5.（24・25高一上•广西・期末）已知函数〃%）=炉+依-11在（2,y）上单调递增，则〃的取值范围是（）

A.（-00,^4]B.[-4,+00）C.（-oo,-2]D.[-2,+oo）

6.（24-25高一上•黑龙江哈尔滨•期中）函数/'（X）是定义在[0,+8）的增函数，则满足〃2x-l）＜O的

x取值范围（）

A-（k\d2\B-「k1d2、J门"2）D'「k1d21

7.（23-24高一上•云南昭通•期中）已知〃”=[（2.一1）尸4，*41，是定义域为R上的增函数，则〃的取值

x—办+3,%＞1

范围是（）

B.；,+=o

A.（0,1）C.（1,+<»）

8.(24-25高一上•广西百色•期末)已知函数〃x)=k-1|和g(x)=-d+2尤+1,设M(x)=max{〃x),g(x)},

则函数/(x)()

A.有最大值2,无最小值B.无最大值，有最小值0

C.无最大值，无最小值D.无最大值，有最小值1

二、多选题

9.(24-25高一上•广东广州•阶段练习)已知函数/(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确

A./(/(-3))-5B.f(x)是单调增函数

C.FQ)的定义域是(-s,0]U23]D./(%)的值域是口,5］

10.(24-25高一上•河北衡水•阶段练习)函数Ax)=/—4x+2在区间句上的值域为［-2,2］,贝!|力-。的

值可能是()

A.1B.2C.3D.4

三、填空题

11,(2025高三•全国•专题练习)若函数奴+4的最小值在［0,+⑹内取得，则实数。的取值范

围为.

12.(24-25高二下•天津滨海新•阶段练习)若关于尤的不等式f+办-2>0在区间［L5］上恒成立，则实数

。的取值范围为.

四、解答题

13.(2025高三下•全国•专题练习)已知函数/(x)=d—2依一3.

(1)已知在［3,内)上单调递增，求a的取值范围；

(