2025初升高数学专项提升乘法公式（原卷版）

衔接点01乘法公式

初中阶段高中阶段

1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意义1、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式的

和应用形式及完全平方公式的凑配

2、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式展2、掌握立方和，立方差公式，并能灵活展开与化

开与化简简

3、掌握三数和公式展开过程，并能灵活应用

衔接指引

初中阶段考查形式：选填题，信息题阅读并运用。

高中阶段考查形式：作为数学工具在代数运算中灵活应用。

1、初中知识再现

(1)平方差公式：(a+b)(a-»=/-〃；注意公式的正逆应用.

(2)完全平方公式：(a+b)2^a2+2ab+b2

(3)高频应用方式：

①x?+y2=(x+y)2-2xy

②X?+y2=(x_y)2+2xy

③(x+y)2=(x-y)2+4孙

④(戈-丁丁=(x+y)2-4"

⑤口+犷+位一丁尸二？^^/2)

⑥(x+y)2-(x-»=4盯

2、高中相关知识

(1)立方和公式：x3+_y3=(x+y)(x2-xy+y2)

(2)立方差公式:x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)

（3）两数和立方公式：（%+y）3=/+3%2y+3孙？+丁3

322

过程：(%+丁甘=(%+丁)(九+JO?=(%+y)(元之+2孙+/)=x+3xy+3xy+V

(4)两数差立方公式：(%—>)3=/—3/y+3孙2—/

过程：(%+丁甘=(%+y)(x+y)2=(x+y)(x2+2xy+y2)=x3+3x2y+3xy2+y3

(5)三数和平方公式：(%+y+z)2=/+y2+z2+2Qy+yz+xz)

过程：(%+y+z>=((%+y)+z)2=(%+y)2+2(x+y)z+z2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)

对点集训一：平方差公式的应用

典型例题

例题1.（2025七年级下■全国■专题练习）已知（。-人一。＞知=（。一。）2-》2,贝［］M=.

例题2.（2025七年级下•全国•专题练习）g（x2+9）（x+3）（x-3）=%--81,贝IJ〃等于.

例题3.（2025七年级下•全国・专题练习）运用乘法公式计算：（a-26-1）（a+26-1）.

例题4.（2025七年级下•全国•专题练习）运用平方差公式计算：

（D（9s+lit）（lit-9s）；

（2巾-3P一..

精练

1.（24-25七年级下•全国•课后作业）［++"（）=/--lx2.

2

2.（2025七年级下•全国・专题练习）若（2024-4）（2023=-4）=2026x2022x202bn,贝IJm的值是

3.（2025七年级下•全国•专题练习）利用平方差公式计算：

(1)(-a+人)(-a-";

(2)(2a—36)(-2a—3Z?).

4.（2025七年级下•全国・专题练习）计算：（3a-26+5）（3a+26-5）.

对点集训二：平方差公式与几何图形

典型例题

例题1.（24-25八年级上•内蒙古鄂尔多斯•期末）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分

裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（）

例题2.（24-25八年级上•河南驻马店•阶段练习）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图

2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为〃?，〃的正方形，其中重叠部分8为池塘，阴影部分加，

S?分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积.若相+〃=6,〃=1,则S「星=.

图1图2

例题3.（24-25八年级上•辽宁•期末）如图，正方形ABC。的边长为a+1,正方形用'G的边长为图中

阴影部分的面积可以用正方形A38的面积与正方形用‘G的面积的差来计算；也可以用长方形3EEH的面

积与长方形CDG"的面积的和来计算.

Q）根据图中阴影面积的不同计算方式，请直接写成（4+1）2,a1,2a+l之间的等量关系；

（2）根据（1）中得到的等量关系，解决下面的问题：

①计算：20252-20242-20232+20222；

②若（X-100）22025,求x的值.

例题4.（24-25八年级上•河南南阳•阶段练习）【探究】如图1,从边长为。的大正方形中剪掉一个边长为

匕的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形.

（1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：

图1中S阴影=,图2中S阴影=；

（2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：（用含字母。，6的式子表示）；

【应用】请应用这个公式完成下列各题：

（3）①已知一2〃=2,m+2〃=8,贝!1苏-4/的值为：；

②计算（*一3乂*+3乂/+9）；

【拓展】计算

（4）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）Q64+1）的结果为.

精练

1.（24-25七年级下•全国•课后作业）如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为6的小

正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②.通过计算阴影部分的面积可以得到（）

A.(a—2b)2=a2—4ab+b2B.(a-b){a+2b)=a2+ab-2b2

C.(a-2b)(a+2b)=a2-4Z?2D.(a+Z?)(a—b)=a~—h~

2.（24-25七年级下•全国•期末）如图①，边长为〃的正方形中有一个边长为人的小正方形，将图①中阴

影部分剪裁后拼成一个长方形，如图②所示.

（1）设图①中阴影部分面积为，，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含“，人的代数式表示S2;

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；

（3）试利用此公式计算：（2+1乂22+1乂24+1）（28+1）+1.

3.（24-25八年级上•安徽阜阳•期末）从边长为"的正方形中剪掉一个边长为6的正方形（如图①），然后

将剩余部分拼成一个长方形（如图②）.

(1)上述操作能验证的等式是_.(请选择“A”“B”“C”)

A.a2-2ab+b2-[a-b'fB.a2-b2=(a+Z?)(o-Z?)C.a2+ab=a^a+b)

(2)已知尤2-49=12,x+2y=4,则的值为

2222

(3)计算：1(X)2—992+982-972++4-3+2-l.

4.（24-25七年级下•山东青岛•开学考试）如图，在边长为。的正方形中挖去一个边长为人的小正方形（。＞6）,

把余下的部分剪拼成一个矩形.

（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是一；（请选择正确的一个）

A.a?—+—b）

B.a?_/=（q+Z?）（a_Z?）

C./+曲=〃（a+b）

D.a2-b2=（a-bY

（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：

①已知4;/=12,x+2y=4,求％—2y的值.

②计算：UmT)LID-

对点集训三：完全平方公式的应用

典型例题

例题1.（24-25八年级上•重庆万州・期末）若M=f+y2+6%—2y+2024,则M的最小值是（）

A.2014B.2016C.2018D.2020

例题2.(24-25七年级上•上海静安•期末)计算(a*+c)2=.

例题3.(23-24七年级下•湖南娄底•期中)先化简，再求值:(x+l)(x-l)+(2xT)2—2x(2x-l),其中x=—l.

例题4.(2025七年级下•全国•专题练习)计算：

⑴(a-I?；

⑵；

(3)(-2x-y)2.

精练

1.(24-25八年级上•河南周口•期末)已知伍-6)2=7,(“+))2=13,贝卜、廿二,ab=

2.(2025七年级下,全国•专题练习)利用乘法公式计算：

(1)(2.-I)2-(2m+1)(2%-1);

(2)(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y).

3.(2025七年级下•全国•专题练习)已知f+y2=4,g；=2,求下列代数式的值：

Q)(x+y)2;

⑵(尤-4.

4.(2025七年级下•全国•专题练习)利用完全平方公式计算：

(l)(2x-3)2;

(2)(4X+5y)2；

⑶(；®-4

对点集训四：通过完全平方公式变形求值

典型例题

例题1.(24-25八年级上•辽宁•期末)长方形的长和宽分别为%b,若="+炉=27,则该长方

形的面积为()

A.10B.11C.12D.13

例题2.(2025七年级下•全国•专题练习)阅读理解：如果。-工=1,我们可以先将等式两边同时平方得到

a

fa--T=l,再根据完全平方公式计算得：a2-2a--+^=l,即/-2+二=1,所以/+4=3.请运用

a)aaaa

上面的方法解决下面问题：如果Y_2x-l=0,则炉的值为

例题3.(23-24九年级上•贵州贵阳•阶段练习)已知a、£是方程/+2x-l=0的两个实数根，贝(1〃+加

的值为.

例题4.(2025七年级下•全国•专题练习)已知(x+y)2=4,(x-»=16,求下列各式的值：

(1)x2+y2;

(2)/+/.

精练

1.（24-25九年级上•湖南衡阳•期末）若方程f_2x_5=0的两个实数根为/，则M+£2的值为.

2.（24-25九年级上,山东日照■期末）已知是一元二次方程/-3尤-5=0的两个实数根，则+3〃"？

的值是.

3.（2025七年级下•全国•专题练习）已知实数“涉满足"-6=2,/+62=7.

（1）代数式必的值为;

（2）代数式a+b的值为.

4.（24-25七年级下•全国•周测）两个不相等的实数相，“满足疗+"=409m+n=-4.

（1）mn的值为;

（2）机-〃的值为.

对点集训五：完全平方式中的字母系数

典型例题

例题1.（24-25八年级上•四川绵阳•期末）如果9f+区+16能写成一个完全平方的形式，贝心=（）

A.-24B.12C.±12D.±24

例题2.（24-25八年级上•湖南衡阳•期中）若一个多项式的平方的结果为/+12°+—,则加=（）

A.3B.6C.±3D.±6

例题3.（24-25八年级下•重庆渝北•开学考试）已知关于了的二次三项式V+my+169是一个完全平方式，

则机的值是.

例题4.（24-25八年级上•湖南衡阳•期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：炉+6无+9=_；

16x2-8x+l=_；9f+12x+4=_；

（2）观察以上三个多项式的系数，有62=4x1x9,（-8）2=4x16x1,122=4x9x4,于是小明猜测：若多

项式依2+6x+c（a>0）是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系：

①请你用数学式子表示氏c之间的关系：一；

②解决问题：若多项式（帆+8）/—（2机+4）x+机是一个完全平方式，求m的值.

精练

1.（2025七年级下•全国•专题练习）若f+（2m-l）x+4是一个完全平方式，则优的值是（）

“3„5

A.—B.—

22

2.（24-25七年级下•全国・单元测试）若36X2-m孙+49y2是一个完全平方式，则机的值为（）

A.±42B.42C.±84D.84

3.（24-25八年级上•辽宁抚顺・期末）若/-依-2）x+9是一个完全平方式，则上的值.

4.（24-25八年级上•广东汕头•期末）探究题：

【问题情景】

（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：

x2-6x+9=；25x2+10x+l=；4x?+12x+9=；

【探究发现】

（2）观察上述三个多项式的系数，有（-6）2=4x1x9,102=4x25x1,122-4x4x9,于是小明发现：若多

项式62+法+,（4>0,。>0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间存在的关系式为；

【问题解决】

（3）若多项式住+1）/-（2左+6）x+（无+6）是一个完全平方式，利用⑵中的结论求出人的值.

对点集训六：完全平方公式在几何图形中的应用

典型例题

例题1.(24-25八年级上•山西晋城•阶段练习)阅读与思考

仔细阅读下列材料并完成相应任务.

利用因式分解解决代数式的最值问题

我们把形如/±2疑+"的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式

分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题.

例如:片+2x+3=X。+2x+1+2=(x+1)~+2.

(x+1)WO,(x+1)+222,x2+2.x+3>2»

，当x=-1时，/+2彳+3取得最小值，最小值为2.

任务：

Q)代数式(x-5)2-7的最小值为一.

(2)求代数式一无2一2无一6的最大值，并写出相应的x的值.

(3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下

怎样围面积才最大，最大面积为多少？

例题2.（2025七年级下•全国•专题练习）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形

的面积可以得到一个数学等式.例如：由图1可得到（。+6）2=储+2仍+廿.

（1）写出由图2所表示的数学等式：一；

【类比探究】

（2）①根据上面的等式，如果将。-人看成。+（-6）,贝!|（〃-工+1）2=（结果化简）；

n

②若九2+,=11,求,―J_+i）的值.

【拓展运用】

（3）已知实数a、b、c满足以下条件：a2+b2+4c2+2ab—4bc—4ac=0,a2+4Z?2+c2—4ab—4bc+2ac=0,

S.a—b=2k+l,求人的值.

例题3.(24-25八年级上•四川乐山•期末)我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式

(a±6)?=/±2°6+。2进行变形，如：/+6?=(a+b)--2ab=(<2-6)2+2.6,(。+匕)--(。-垃=4ab.

(1)根据以上变形填空：

①已知"+从=10,(a+6)2=16,则出?=;

②已知(0+媒=16,ab-3,贝lja-b=;

⑵若2x+3y=ll,xy=4,求2x-3y的值；

(3)如图，正方形ABC。、5EFG的边长分别为x、九若一+^=29,AE=3,求图中阴影部分的面积之和.

例题4.（23-24七年级下•江苏扬州•期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d,定义一种新运算：

ab

=Q2+d2+be.

cd

-1-2

(1)

34

m-nm-n

(2)；若是完全平方式，贝！U=_;

km2nkm2n

m+4n-4

（3）若有理数机、〃满足机+3〃=5,且=13.

4m2+2n24m-n

①求加"的值;

②如图，四边形ABCD是长方形，点E、尸、G、H分别在边AB、BC、CD、D4上，连接EG、FH交于点P,

且EG、FH将长方形ABCZ）分割成四个小长方形，若AB=9w,BF=3n,CF=3m,DG=m,在①的条件

下，求图中阴影部分的面积.

精练

1.（23-24八年级上•广东江门•阶段练习）（1）下图中的①是一个长为2〃?、宽为2〃的长方形，沿图中虚

线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形.小明用两种不同的方法求图中②

的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：.

（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：

①。一万=5,ab=-6,求和/+02的值；

②已知x-'=3,求/+二的值.

XX

m

mn

①②

2.（23-24八年级上•福建福州•期中）我们已学完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）-,观察下列式子：

尤2+4x+2=（炉+4X+4）-2=（X+2）2-2,

（x+2）220,;./+4x+2=（x+2）2-22-2,原式有最小值是—2；

―尤一+2尤―3=_（彳一一+1）_2=_（尤_1）-2,

—（尤—1）~W0,—x?+2x—3=—（x—1）~—2V—2,原式有最大值是—2;

并完成下列问题：

围墙（大于100米）

x--------►

木栅栏

（1）代数式/一4尤+1有最一（填大或小）值，这个值=_.

（2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设

计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务.

①用含x的式子表示花圃的面积；

②请说明当尤取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？

3.(22-23八年级下•四川成都•期末)数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，

我们可以借助直观、形象的几何模型来求解.下面共有三种卡片：A型卡片是边长为x的正方形；B型卡片

是长为y,宽为x的长方形；C型卡片是边长为y的正方形.

(1)用1张A型卡片，2张3型卡片拼成如图1的图形，根据图1,多项式炉+2孙因式分解的结果为

X||XX

xyyxyy

图1

(2)请用1张A型卡片，2张5型卡片，1张C型卡片拼成一个大正方形，在图2的虚线框中画出正方形的

示意图，再据此写出一个多项式的因式分解.

图2

4.（22-23七年级下•辽宁丹东,期中）完全平方公式：（〃±，）2="±2必+廿适当的变形，可以解决很多的

数学问题.

例如：若a+b=3,ab=l,求1+62的值.

解：因为a+b=3,所以（。+6/=9,即：a?+2ab+b2=9,

又因a6=l,所以。2+/=7

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

2

（1）若无+y=8,X+/=40,则孙的值为;

（2）拓展：若（4-x）x=3,则（4—.

（3）应用：如图，在长方形ABC。中，AB=20,BC=12,点E、尸是BC、CD上的点，且BE=DF=x,

分别以PC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFG”和正方形C£MN,若长方形CEPP的面积为160,

求图中阴影部分的面积和.

对点集训七：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的应用

典型例题

例题1.(24-25高一上•江西南昌•开学考试)阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和

完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：%3+y3=(x+j)(x2-xy+v2)；

立方差公式：x3-y3=(x-y)^x2+xy+y2^.

根据材料和已学知识解决下列问题

(1)因式分解：a3-8；

„**.—a,狂|3xx2+2x+4]2„,

(2)先化简，再求值：^―-------7^一卜丁二，其中x=3.

(厂-2尤x-8)尤一—4

(3)利用材料因式分解：尤3+3,一4

例题2.(24-25高一上,全国•假期作业)阅读理解题：

拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有

时需要多次实验才能成功，例如把d-3d+4分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数

为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1

和3,原式就变成(d+1)-(3/-3),再利用立方和与平方差先分解，解法如下：

原式=三+1_(3%2_3)=(*+1乂彳2_*+])_3(*+])(彳_1)

=(x+l)(d—x+1-3x+3)=(x+l)(x-2)~

公式：(73+b3=(a+Z?)(a2-ab+b2^,a3-b3=(a-Z?)(a2+ab+b2^

根据上述论法和解法，

(1)因式分解：丁+丁-2；

⑵因式分解:x3-7x+6；

(3)因式分解：x4+x2+l.

例题3.(23-24高一•全国•假期作业)已知函数了=改2+版+。(〃中0)满足条件：

(1)对称轴为x=l；(2)y的最大值为15；(3)ax2+bx+c=0的两根立方和为17.

求y=以2+汝+。的表达式.

精练

1.(24-25高一上•全国•假期作业)阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方

公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：d+V=(x+y)(_?f+力；

立方差公式：%3-y3=(x-y)(^x2+xy+y2^;

根据材料和已学知识，先化简，再求值：=岂一-，+2x+4,其中》=3.

x-8

2.(24-25高一上•全国•假期作业)多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立

方和公式与立方差公式如下：

立方和公式：,—ab+62)=a3+犷

立方差公式：(4-9(/+浦+62)=43-63

如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.

根据以上材料，请完成下列问题：

(1)因式分解：/+/

(2)因式分解：*一"

(3)已知：a+b=3,ab=l,求/+b6的值

3.（24-25高一上•全国•假期作业）利用多项式乘法法则计算：

(1)(«+Z?)(a2—ab+b2^=；(a—b)^a1+ab+b2^=

在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则

成为因式分解中的立方和与立方差公式.

已知0-6=2,"=1,利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：

（2）a2+b2=_____；（直接写出答案）

(3)a3—b3=；（直接写出答案）

(4W+加=；（写出解题过程）

综合演练

第01讲乘法公式（分层精练）

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1.（24-25八年级上•山西临汾•期末）如果丁+（加-2•+9是一个完全平方式，那么加的值为（）

A.8B.-8C.T或8D.-1或5

2.（23-24七年级下•湖南娄底•期中）若xKy,则下列各式不能成立的是（）

A.(x-j)2=(y-x)2B.(x_»=_(y_x)3

C.(x—y)~=(—x+y)2D.(x+y)(y-x)=(x+y)(x-y)

3.（24-25八年级下广西南宁•开学考试）如图，将图1中阴影部分拼成图2,根据两个图形中阴影部分的

关系，可以验证下列哪个公式（）.

B.(a+Z?)'=a2+2ab+b2

C.(a—b)—-a~—2ab+b?D.(a+%y=(a-6)~+4a6

4.（24-25七年级下,全国•课后作业）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如，根据图

①，我们可以得到两数和的完全平方公式：（。+加2=/+2。6+/.根据图②你能得到的数学公式是（）

图①图②

A.(a—2Z?)(Q+2b)—/—4Z?B.(a+b)?=+2ab+b?

C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.a2-b2=(a-b)(a+b)

5.(24-25七年级下•全国•课后作业)下列计算中，正确的是()

A.(一1—y)=一/―2xy_y2B.(m+2n)2=m2+4n2

C.（-3x+y）2=3x2-6xy+y2D.=x2

6.（24-25七年级下•全国•课后作业）如图，将图①中的阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的

面积关系，可以验证的数学公式是（）

b

图①图②

A.(〃+/?)(〃—Z?)=〃2—/B.—Z?)2=a1—2ab+b2

C.((7+Z?)2=a1+2ab+b1D.(a+Z?)2=(々―人?+4々人

7.（2025七年级下•全国•专题练习）给出下列式子：

®（3a+4）（3fl-4）=9a2-4；

②(2/叫(2/+6)=4/;

③(3x_y)(3x+y)=9d-y2；

@(xy-3z)(xy+3z)=x2y2-9z2.

其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

8.（24-25七年级下•全国•课后作业）为了运用平方差公式计算（a-A+c）（a+b-c）,必须先对式子进行变

形.下列变形正确的是（）

A.[(a+c)-勿[(a-c)+勿B.[(a—Z?)+c][{a+b)—c]

C.[(b+c)—a][(b—c)+a]D.[a-(Jb-cy][a+(b-c)\

9.（24-25八年级下•北京,开学考试）如果一—10x+m是一个完全平方式，那么加为（）

A.25B.±25C.100D.±100

二、多选题

10.（23-24八年级下•山东潍坊•期末）下列运算正确的是（）

B.(x-2y)(2x+y)=2x2-3xy-2y2

C.(x-y)2=x2-y2D.(-2x+l)(-2x-l)=4.?-l

11,（23-24七年级下•浙江嘉兴•期末）已知实数。，夕满足M=l,a+4=6,贝IJ（）

A.-+^=6B.a1+/32=36

C.a-0=4近D.a3+^3=198

ap

12.（23-24七年级下•山东潍坊・期中）下列计算正确的是（）

A.a5-a4^a4-a5B.(―3<7/?)2-2ab=18a3/74

C.(x-y)2=x2-y2D.--x-1)=-2/+2x~+2x

三、填空题

13.（24-25八年级上•广东广州•期末）以长方形ABCZ）的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字

图案，如图所示.若四个正方形的周长之和为40,面积之和为26,则长方形A5C。的面积为

14.（2025,陕西西安•一模）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦

图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为20,小正方形的面积为5,现将这四

个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为.

15.（24-25八年级上•陕西渭南•期末）化简（2x+3y）2-（2x-3y）2的值是.

16.（2025七年级下•全国•专题练习）根据整式与整式相乘，可以得到等式：

（x+y+z^=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz.试利用这个等式解决以下问题：如图，VABC中，ZC=90°,

分别以AC、BC、AB为边向外侧作正方形.如果AC、BC、A3的长分别是6、c,且a+》+c=12,

ab+ac+bc=37,那么这三个正方形的面积和是.

17.（24-25八年级上•山西临汾•期末）先化简，再求值：［（。+25）2-（°+26）（。-26）卜26,其中a=2,

b=­l.

18.（24-25八年级上•江西上饶•期末）（1）计算：（°-1）2-（4+3）（4-3）.

⑵解方程仁

19.（24-25八年级上•云南昆明•期末）【阅读材料】

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式.如图>1,边长为x的

大正方形切去一个边长为了的小正方形，剩余部分的面积为如图1_2,把剩余部分按如图所示的方

式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为（x-yy,乙的面积为y（x-y）,丙的面

积为y(x-y),所以1=(尤一+2y(x-y)=(x-y)(x-y+2y)=

图2T图2-2

⑴利用材料中得到的因式分解等式计算：992-12=

（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式.如图2-1,棱长为x的

实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、

丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为9->3

【拓广探索】

3_3

⑶若》-尸2,孙=1,且尤>。，y>0.求▼的值.

20.（2025七年级下•全国•专题练习）观察下列等式：

Ix2x3x4+l=(l2+3xl+l)2=52；

2X3X4X5+1=(22+3X2+1)2=112；

3x4x5x6+l=(32+3x3+l)2=192；

4x5x6x7+l=(42+3x4+l)2=292;

(1)根据上述等式，写出8x9x10x11+1==;

(2)试猜想〃5+1)("+2)(〃+3)+1是哪一个数的平方，并说明理由.

B能力提升

1.（24-25八年级上•湖南衡阳•期末）“我们把多项式/+2仍+尸及/一2而+加叫做完全平方式如果

一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减

去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅

可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小

值等.

例如：分解因式：x2+2x-3.

解:原式=(x?+2x+l)-4=(x+l)~—4=[(x+l)+2][(尤一1)—2]=(尤+2)(比一1).

例如：求代数式2尤2+以-6的最小值.

解:+4x-6=2(Y+2x-3)=2(x+lJ-8,

因为：2(x+l『N0,所以：当x=—1时，2f+4尤-6有最小值，最小值是一8.

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)分解因式：m2-2m-3=；

(2)当“，6为何值时，多项式/+62_2a+46+8有最小值，并求出这个最小值；

(3)已知。，b,c是VABC的三条边，且满足/+4一8a一66+c2+18=10c■-32,试判断VABC的形状.

2.(24-25八年级上•山东临沂•期末)我们知道形如炉+(。+6卜+"的二次三项式可以分解因式为

(x+a)(x+b),所以f+6尤一7=*2+[7+(-1)]尤+7x(—1)=(x+7)[x+(-l)]=(%+7)(无一1)

但小明在学习中发现，对于d+6x-7还可以使用以下方法分解因式.

X2+6X-7=X2+6X+9-7-9=(X+3)2-16=(X+3)2-42

=(x+3+4)(x+3—4)=(x+7)(x—1)

教科书中这样写道：“形如片±2"+〃的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们

常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，

这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式

分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.

例如：求代数式2d+4x_6的最小值.

解：2/+4犬-6=2(/+2犬-3)=21+2尤+1-3-1)=2(X+1)2-8.

因为(x+lpNO,所以2(尤+1)2-82-8

所以当x=-L时，2f+4无一6有最小值，最小值是-8.

根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

Q)分解因式：®X2-10X+9；②》2-8尤丫+7y②

(2)当x为何值时，多项式-2炉-8尤+3有最大值？并求出这个最大值.

(3)利用配方法，尝试求出等式"+2从_2仍-2)+1=0中的值.

3.(24-25八年级上•山西吕梁•期末)阅读与思考

阅读以下材料并完成相应任务.

换元法，是指引入一个或者几个新的变量代替原来的变量，通过引入的新变量将分散的

条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换.对于结构比较复杂的式子.可

以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替(即整体换元)可以化繁为简，从而找到

解题的路径.

例：若x满足(3-钢1-x)=4,求(3-4+(1-幻2的值.

解：令a=3-x,b-\-x,贝！la-6=2,ab-4,

—by=2~,-2ab+b2—4,

a2+b2=4+2x4=12>

(3-x)2+(1-x)2=a2+Z>2=12.

任务：

。若x满足(10-x)(x-5)=4,求(io_4+的值.

(2)如图，在长方形A5C。中，AB=llcm,BC=6cm,,E、尸分别为边8C,DC上的点，且CE=CF,分

别过点E、尸作边A。，A8的垂线段EG,FH交于点O,再以AG和D尸为边向外作正方形AGPQ和正方

形DFMN.若长方形AHOG的面积为lOcn?,求图中阴影部分的面积.

4.(24-25八年级上•陕西商洛•期末)我们把多项式"+2"+尸及2"+。2叫做完全平方式，如果一个

多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加