2025年人教A版新高二数学暑假专项提升：用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类（学生版）

第U讲用空间向量研究距离、夹角问题U种常见考法归类

------------------

学习目标

------V——

会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值;会用向量法求点点、

点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积.

［的基础知.

---------------------IIII1III1IIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知识点1空间距离及向量求法

点到直线的距离点到平面的距离

设已知平面a的法向量为n,AGa,P^a,向

设“为直线，的单位方向向量，AGZ,

.量亚是向量方在平面上的投影向量，

文尸3，N?=a，向量4?在直线，上的投

--

空c—nIAP-n\

影向量为亚PQ=AP而\n\

评

嚷(亚="〃.)，注：实质上，"是直线’的方向向量，点P到

口则尸方后不加=后诉平面a的距离就是力在直线,上的投影向量并

的长度.

注意点：

⑴两条平行直线之间的距离：在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两

条平行直线之间的距离.

(2)如果一条直线/与一个平面a平行，可在直线/上任取一点P,将线面距离转化为点尸到平

面a的距离求解.

(3)如果两个平面a,6互相平行，在其中一个平面a内任取一点P,可将两个平行平面的距离

转化为点尸到平面P的距离求解.

知识点2空间角及向量求法

角的分

向量求法范围

类

(1)两异面直线所成角的范

设两异面直线所成的角为仇两直线的方向向量分别围是(°，2.

异面直

为，。，则(两异面直线所成的角与

线所成u2)

cosgcos〈u,。〉尸鼎■其方向向量的夹角是相等或

的角

“'互补的关系.

⑴线面角的范围为［o,

设直线,与平面所成的角为仇，的方向向量为

直线与au,

⑵直线与平面所成的角等于

平面a的法向量为n,则

平面所

其方向向量与平面法向量所

成的角sm'Tcos(u,n〉］一

成锐角的余角.

平面a与平面片相交，形成四个二面角，把不大于今的⑴两,、平面的夹角的范围是

两平面二面角称为这两个平面的夹角.设平面a与平面p的0,T

乙

的夹角夹角为8,两平面«,P的法向量分别为ni,n,则cos

2(2)两平面的夹角是两法向量

1cos(m,n2)的夹角或其补角.

思考：(1)两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？

平面a与平面■的夹角：平面a与平面［相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大

于90。的二面角称为平面a与平面夕的夹角.二面角的平面角范围是［0,河，而两个平面的夹

角的范围是0,I

(2)平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？

两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角.

圈解题策略

用向量法求点到直线的距离的一般步骤

⑴求直线的方向向量.

⑵计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.

⑶利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.

2、求点到平面的距离的四步骤

注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是

线面、面面平行.

3、基向量法求异面直线的夹角的一般步骤

(1)找基底.

(2)用同一组基底表示两异面直线的方向向量.

(3)利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值.

(4)结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角.

4、用空间向量法求异面直线夹角的步骤

(1)确定两条异面直线的方向向量.

⑵确定两个向量夹角的余弦值的绝对值.

(3)得出两条异面直线所成的角.

5、求直线与平面所成角的思路与步骤

思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹

角(或夹角的某一三角函数值).

思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求直

线与平面所成角的基本步骤：

①建立空间直角坐标系；

②求直线的方向向量自；

③求平面的法向量〃；

④计算：设线面角为仇则sin，=近驾.

\n\'\AB\

6、向量法求两平面的夹角（或其某个三角函数值）的三个步骤

求两平面夹角的两种方法

（1）定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两

平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同.

（2）法向量法：

①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；

②求出两个半平面的法向量“1,“2；

③设两平面的夹角为仇则cos，=|cos（H1,“2〉|.

（当（ni,“2〉0,j时）或“一（m,“2〉（当（ni,“2〉e俘兀时）

［注意］若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量

求解.

7、立体几何中的探索性问题

立体几何中的探索性问题，在命题中多以解答题的一步出现，试题有一定的难度.

这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答

这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行

推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性.

Q考点剖析

---------------------llllllllllllllillllllllllllllllllllllllll-----------------------

考点一：求点到直线的距离

例L（2023秋・河南新乡•高二统考期末）已知空间三点A（2,l,0）,3（2,l,-l）,C（l,0,l）,则

点C到直线AB的距离为.

变式1.（2023秋•高二课时练习）矩形A3CD中，404=30。，AC=20,PA,平面A3CD,且

24=5,则尸至UBC的距离为.

变式2.（2023•广东佛山・统考模拟预测）如图，在平行六面体ABCD-A4GA中，以顶点A为

端点的三条棱长都是a,且ZAAB=ZAAD=60%E为CG的中点，则点E到直线&G的

距离为（）

D.今

变式3.（2023•浙江温州•统考三模）四面体OWC满足

/4。8=/86^=/。。4=90",04=1,08=2,。。=3,点。在棱0c上，且OC=3O。，点G为AABC的

重心，则点G到直线AD的距离为（）

A.变B.4C.立D.-

2233

变式4.（2023・吉林・统考模拟预测）如图1,在等腰梯形ABCD中，

AB〃CD,AB=AD=l,CD=2,DE=EC,沿AE将VADE折成VAPE,如图2所示，连接改PC,得

到四棱锥尸-ABCE.

（1）若平面PAEA平面PBC=/,求证：1//BC-

⑵若点T是PC的中点，求点T到直线£B的距离的取值范围.

变式5.（2023•江苏南京・统考二模）在梯形A5CD中，AB//CD,?D90?,AB=2插，AD=DCf,

如图L现将人针。沿对角线AC折成直二面角尸-AC-3,如图2,点M在线段3尸上.

⑵若点M到直线AC的距离为手，求翳的值.

考点二：求点到平面的距离

△J例2.（2023春・浙江温州•高二校联考期末）如图所示，在棱长为1的正方体ABC。-A46。

中E为线段。〃的中点.

⑴求证：平面A瓦〃平面ACCW；

⑵求A到平面的距离.

变式1.（2023秋•河南新乡•高二统考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，即，底面ABCD,

底面ABCD是矩形，48=24。=4,尸。=¥，£是外的中点，FB=2PF,则点C到平面DEF的距

离为（）

J

A亚B2屈C萼D

,5,5f

变式2.（2023春•福建龙岩•高二校联考期中）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆。的直径,

SO=AB=4,AC=BC,。为SO的中点，N为AD的中点，则点N到平面SBC的距离为（）

C.1D.2

变式3.（2023秋・重庆长寿・高二统考期末）如图，已知平面ABCD,底面ABCD为矩形,

PA=AD=2,AB=4,M、N分别为A3、PC的中点.

⑴求证：肱V//平面PAD；

（2）求点D到平面PMC的距离.

变式4.（2023春•福建宁德•高二校联考期中）如图所示，四棱锥尸-ASCD的底面是正方形，PD1

底面A5CD,E为PC的中点，PD=DC=2.

⑴证明：私〃平面3DE;

⑵求点E到平面R4B的距离.

变式5.（2023・江苏•高二专题练习）如图，四棱锥尸-ABCD的底面是矩形，底面ABCD,

PD=DC=1,M为BC的中点，且PSLAVf.

p

A&

⑴求先；

⑵求点B到平面PAM的距离.

变式6.（2023春•云南楚雄•高二统考期中）如图，在正三棱柱ABC-ABC中，E是线段BG上

靠近点8的一个三等分点，。是&G的中点.

（1）证明：4。〃平面4月£；

⑵若AA=AB=6,求点A到平面偌£的距离.

考点三：求两平行平面的距离

金］例3.（2023秋•高二课时练习）已知正方体AB。-44GA的棱长为4,设〃、N、E、

F分别是AR，A综D£，Bg,的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离.

变式1.（2023春•高二课时练习）两平行平面8夕分别经过坐标原点。和点4（1,2,3）,且两平

面的一个法向量而=（T，。』），则两平面间的距离是（）

A.V2B.乎C.73D.3&

变式2.（2023•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正

方形，OAJ_底面ABC。，OA=2,M、N、R分别是OA、BC、AD的中点.求：

o

⑴直线MN与平面OCD的距离；

⑵平面MNR与平面OCD的距离.

变式3.（2023春•高二课时练习）直四棱柱ABCD-A4GR中，底面ABCD为正方形，边长为2,

侧棱AA=3,"、N分别为A耳、AA的中点，区/分别是CQWG的中点.

（1）求证：平面AAW〃平面EFBD；

（2）求平面AAW与平面EFBD的距离.

变式4.【多选】（2023春•福建福州•高二校联考期中）已知正方体ABCD-ABG。的棱长为1,

__.a__.1__.O__.

点E。分别是A稣AG的中点，尸满足Q=a通+］而+耳离，则下列说法正确的是（）

A.点A到直线班的距离是半

B.点。到平面ABG2的距离为正

4

C.平面A3。与平面间的距离为了

D.点尸到直线A5的距离为,

考点四：求两条异面直线的距离

例4.【多选】（2023•辽宁朝阳•校联考一模）如图，在棱长为1正方体ABCO-AgCQ中,

加为4G的中点，E为AC与2M的交点，产为2M与B的交点，则下列说法正确的是（）

A.AG与W垂直

B.所是异面直线AC与BC的公垂线段，

C.异面直线AG与BC所成的角为;

D.异面直线AG与瓦c间的距离为g

变式1.（2023•高一课时练习）如图所示，在空间四边形PABC中，AC=BC=2,ZACB=90。,

AP=BP=AB,PCLAC.

（1）求证：PC1AB；

（2）求异面直线PC与AB的距离；

⑶求二面角3-AP-C的大小.

变式2.（2023•全国•高三专题练习）如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2,点E为侧棱PD

的中点.若点〃，N分别为直线A3,CE上的动点，则MN的最小值为.

变式3.（2023•全国•高三专题练习）如图，多面体ABC-ABG是由长方体一分为二得到的，AA=2,

AB=BC=1,ZABC=90。，点。是眼中点，则异面直线与的距离是

变式4.（2023秋•辽宁沈阳•高二沈阳二十中校联考期末）如图①菱形ABCD,

NB=60°,BE=EC=l.沿着AE将折起到,使得/“0=90。，如图②所示.

图①图②

⑴求异面直线AB1与8所成的角的余弦值;

⑵求异面直线AB,与8之间的距离.

考点五：求异面直线所成的角

例5.（2023春•四川宜宾•高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）如图，在棱长为1

的正方体ABCD-ABGA中，E,F,G分别为。2,BD,8月的中点，则与RG所成的角的

余弦值为.

变式1.（2023春•陕西汉中•高二统考期末）如图，在正方体ABCD-ABGA中，P为体对角线

上一点，且DP=2P耳，则异面直线A2和CP所成角的余弦值为（）

A.0B.-C.-D.@

552

变式2.（2023春・河南周口•高二校联考阶段练习）在正四棱锥尸-ABCD中，PA^AB^2,M

为棱PC的中点，则异面直线AC,3M所成角的余弦值为（）

A.正B.®C.—D.逅

2356

变式3.（2023春•高二单元测试）如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面ABCD,底面ABCD是

菱形，AB=2,ZBAD=60\

⑴求证：8D2平面PAC；

⑵若丛=AB,求PB与AC所成角的余弦值.

变式4.（2023春•江西赣州•高二江西省寻乌中学校考阶段练习）如图，设在直三棱柱ABC-ABC

中，AB=AC=AA,=2,ZBAC=90°,E,R依次为GCBC的中点.

（1）求异面直线48、ER所成角的余弦值;

⑵求点4到平面AEF的距离.

变式5.（2023春・浙江宁波•高一效实中学校考期中）在正方体ABCD-AgGR中，加为棱8的

中点，N为直线CG上的异于点C的动点，则异面直线AB与MN所成的角的最小值为9,则sin0=

()

CWwn2M

A.LJ.----------

"w"■105

变式6.（2023春・江苏连云港•高二校考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知总,平

JT

面ABQ）,且四边形A3CD为直角梯形，ZABC=ZBAD=-PA=AD=6，AB=3C=1.点。是线

段3P上的动点，当直线C。与DP所成的角最小时，则线段8。的长为

考点六：已知线线角求其他量

例6.（2023秋・湖南岳阳•高二统考期末）如图，在三棱锥尸-ABC中，PAL底面4BC,

/B4C=90。，点£>,E,N分别为棱PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,

AB=2.

⑴求证：肱V〃平面应）E.

⑵已知点H在棱以上，且直线而与直线班所成角的余弦值为求线段四的长.

变式1.（2023・广东・统考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD,PA=PD,

AD=2CD^2BC=2,CDIBC,BC//AD,E,R分别为AD,PC的中点.

⑴证明：PELCD-

⑵若与CD所成的角为60。，求平面3ER和平面ABE夹角的余弦值.

变式2.（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）如图,在三棱锥尸-ABC中，PA=PB,

AB=BC=2,ZAPB=ZABC=90°,平面平面ABC,点E是线段上的动点.

⑴证明：平面APCL平面P3C；

⑵若点。在线段3C上，BQ=个,且异面直线皿与尸8成30。角，求平面EBC和平面ABC夹角的

余弦值.

变式3.（2023春•高二课时练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，如，底面ABCD,底面ABCD

为矩形，9=。。=3,4）=4,"是线段丛的中点，N是线段PC上一点（不与P,C两点重合），

且丽=2元.若直线肱V与即所成角的余弦值是酒，贝厂=（）

21

变式4.（2023•全国•高三专题练习）如图，在四棱柱ABC。-A?。四中，的，底面"CD,且

底面ABCD为菱形，M=3,AB=2,ZABC=120°,尸为2C的中点，M在人吊上，。在平面ABCD

内运动（不与P重合），且PQ工平面AAGC,异面直线P。与8阳所成角的余弦值为手，贝IJ

tanZAQM的最大值为__________.

考点七：求直线与平面所成的角

0rl例7.（2023春•江苏宿迁•高二统考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，尸4,平面ABCD,

/BAD=9。。,PA=AB=BC=^AD=1,BC//AD,已知Q是棱尸。上靠近点P的四等分点，贝|CQ

与平面PAB所成角的正弦值为（）.

A.与B还C2万

,29

变式1.（2023春•福建宁德•高二校联考期中）在正四棱柱A3CD-A耳6。中，AB=2,M=4,

E在线段CG上，且CE=；cq.

⑴求证：AC，平面D3E；

（2）求直线B}E与平面DBE所成角的正弦值.

变式2.（2023春•江苏淮安•高二金湖中学校联考阶段练习）如图所示，在直四棱柱

ABCO-AAG，中，AD//BC,ZBAD=90°,AB=6,BC=1,AD=AAl=3.

⑴证明：AC±BtD.

⑵求直线4G与平面AC2所成角的正弦值.

变式3.（2023秋・河南新乡•高二统考期末）如图，正三棱锥P—ABC的所有侧面都是直角三

角形，过点P作尸。，平面ABC,垂足为。，过点。作DE2平面PAB,垂足为E,连接PE并延

长交A2于点

⑴证明：尸起AB的中点.

⑵求直线上与平面3CE夹角的正弦值.

变式4.(2023春•浙江•高二校联考阶段练习)在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为正方形，AP±

(1)求证：平面ABCD1平面ADP；

⑵若。是。尸中点，求直线3尸与平面8CQ所成角的正弦值.

变式5.(2023•广东梅州•大埔县虎山中学校考模拟预测)如图①，在Rt^ABC中，3为直角,

AB=BC=6,EF//BC,AE=2,沿ER将△的折起，使=得到如图②的几何体，点

。在线段AC上.

c

(1)求证：平面AEF1■平面A3C；

(2)若AE〃平面3DR求直线AR与平面所成角的正弦值.

变式6.(2023春•福建龙岩•高二校联考期中)如图，在三棱柱ABC-A4G中，侧面防CC为

菱形，且AC=A,

（1）证明：AB1BtC.

⑵若AClABj,ZCBB,=1,AS=3C,点M在直线网上，求直线A3与平面M旦G所成角的正

弦值的最大值.

考点八：已知线面角求其他量

在口例8.（2023・上海闵行・上海市七宝中学校考二模）已知正方体ABCD-ABCR,点E为AQ

中点，直线与G交平面CDE于点

⑵若点M为棱A片上一点，且直线与平面CDE所成角的正弦值为吟，求记的值.

变式1.（2023春・上海宝山•高二统考期末）已知E、歹分别是正方体ABCD-4月。肉的棱8C、

。的中点，求：

⑴4。与石尸所成角的大小；

⑵二面角C-Z）4-£的大小；

⑶点M在棱8上，若AM与平面4GCB所成角的正弦值为雪，请判断点加的位置，并说明

理由.

变式2.（2023春・福建宁德•高二校联考期中）如图，四棱锥P-ABCD中，四边形A3CO为梯形，

其中AB//CZ）,ZBCD=60°,AB=23C=2CD=4,ADLPB.

p

⑴证明：平面依平面ABCD；

Q）若PB=PD,且与平面ABC。所成角的正弦值为T，点E在线段”上满足尸石=2EC,求二

面角C-aD-E的余弦直

变式3.（2023春•广西•高二校联考阶段练习）如图，在正三棱柱4BC-ABC中，。为A3的

中点，取=2束（0＜力＜1）,&A=6AB=26

⑵若直线BG与平面A瓦E所成角为三，求彳的值；

变式4.（2023春・湖北•高二校联考阶段练习）如图，在三棱锥A-BCZ）中,

NBCD=90。,AB=AC=AD,BD的中点为G.

⑴证明：直线AGL平面BCD；

（2）若6£＞=2,8C=1,当直线AB与平面ACD所成的角最大时，求三棱锥38的体积.

变式5.（2023春•新疆乌鲁木齐・高一乌鲁木齐市第70中校考期中）如图，在四棱锥PA3CD

中，底面ABCD是边长为2的菱形，以，平面ABCD,ZABC=60°,E为3c的中点，F为边

PC上的一个点.

（1）求证:平面平面FAD；

（2）若H为PD上的动点，EH与平面心。所成角的正切值的最大值为4，求平面必3与平面

PCD夹角的余弦值.

变式6.（2023•广东深圳•深圳中学校考模拟预测）如图，AD〃3c且AD=23C,ADLCD,EG〃AD

且EG=?1D,CD〃/G且CD=2FG.DG_L平面ABCD,ZM=L>C=OG=2.

⑴求平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值；

（2）若点P在线段DG上，且直线8尸与平面ADGE所成的角为60。，求线段OP的长.

考点九：求两平面的夹角（二面角）

|例9.（2023•吉林四平•四平市实验中学校考模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，PAL

底面4BC.PC=2AC=2AB=4,。为PC中点，且8D_LAC.

p

⑴求2C的长；

（2）求锐二面角A-BD-C的余弦值.

变式1.（2023春・江苏徐州•高二统考期中）如图，在正四棱锥尸-ABCD中，AB=2,正四棱

Q

锥尸-ABCD的体积为“点/为PC的中点，点N为的中点.

⑴求证：肱V〃平面PAD；

⑵求二面角P-BM-N的余弦值.

变式2.（2023•北京•北京四中校考模拟预测）如图，正三棱柱ABC-A与G中，及尸分别是棱外,即

上的点，AE=8尸=

⑴证明：平面CEF_L平面ACC/,；

⑵若AC=AE=2,求二面角E-C尸-G的余弦值.

变式3.（2023秋•安徽蚌埠•高二统考期末）如图，已知四棱锥P-A3CD的底面是直角梯形,

NADC=NBCD=90。,AD=2BC=2CD=CPA=®PD=4,二面角尸—AD—5的大小为120。，石是B4

中占

।八、、•

⑴求证：3E〃平面PCD；

⑵求二面角E-3D-A的余弦值.

变式4.（2023春•四川泸州•高二泸县五中校考期末）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上,

且满足AD=DE=0,CE=^,将VADE沿AE向上翻折，使点。到点P的位置，构成四棱锥

2

P-ABCE.

⑴若点尸在线段"上，且所〃平面P3C,试确定点户的位置；

（2）若尸2求锐二面角P-EC-A的大小.

变式5.（2023春•江苏连云港•高二统考期中）如图，在四棱锥尸-ABCD中，PAL平面ABCD,

P3与底面所成的角为45。，底面ABC。为直角梯形，ZABC=ZBAD=9O°,AD=2,PA=BC=1.

⑴求直线PC与平面所成角的正弦值；

⑵求平面与平面PCD所成的锐二面角的余弦值.

考点十：已知面面角求其他量

»1例10.（2023春•高二单元测试）如图，四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD

为正三角形，AD=2,AB=3,平面皿）JL平面ABC。，E为棱P8上一点（不与R8重合），平面

4汨交棱PC于点F.

⑴求证：ADHEF-

（2）若二面角E-AC-8的余弦值为吧,求点B到平面AEC的距离.

变式1.（2023秋•河南新乡•高二统考期末）如图，在直四棱柱ABC。-A耳62中,

AB//CD,AB±AD,AAl=AB=2AD=2CD=4,E为棱的中点，点M在线段CE上，且两=入屋.

⑴证明：B^ICE.

⑵若二面角4-8片-"的余弦值为平，求2的值.

变式2.（2023•全国•高三专题练习）如图，在正四棱柱ABCD-4BCQ中，AB=2,A4,=4.点

4，不（2，。2分另1」在棱9，84，。6,。2上，M=1，BB?=DD?=2,CG=3.

⑴证明：B2C2//AA；

⑵点尸在棱3耳上，当二面角尸-4C2-2为150。时，求星尸.

变式3.（2023春・湖南郴州•高二校考期末）正三棱柱48C-A瓦G中，BC=CG=2,D为BC的中

⑴证明：平面4人。；

⑵若二面角\-DE-G大小为30。，求以A，E，QG为顶点的四面体体积.

变式4.（2023・全国•高二假期作业）如图1,在平行四边形A3CD中，ZA=60°,AD=2,AB=4,

将△ABD沿3。折起，使得点A到达点P,如图2.

⑴证明：平面友力，平面必£）；

⑵当二面角O-B4-5的平面角的正切值为新时，求直线3。与平面P3C夹角的正弦值.

考点十一：立体几何中的探索性问题

在口例11.（2023秋・福建福州•高二校联考期末）已知直三棱柱ABCVUB/。中，侧面A4

为正方形，AB=BC=2,^.ABIBC,E,R分别为AC和C。的中点，。为棱A耳上的点.

⑴证明：BF±DE；

⑵在棱451上是否存在一点使得异面直线MR与AC所成的角为30。？若存在，指出M

的位置；若不存在，说明理由.

变式1.（2023•辽宁葫芦岛•统考二模）在三棱柱ABC-A4G中，平面A型抽，平面ABC,侧面

JT

A耳BA为菱形，NABB、,ABt1AC,AB=AC=2,E是AC的中点.

40

Bi

5"

⑴求证：AB_L平面AB。

qrkP

⑵确定在线段4E上是否存在一点P,使得AP与平面A由E所成角为：，若存在，求出村的

值;若不存，说明理由.

变式2.（2023春•江苏徐州•高二统考期中）如图，圆台的下底面圆a的直径为AB,圆台的上

底面圆Q的直径为尸Q,C是弧AB上一点，^PA=AC=PC=BC=2.,PB=2y/2.

⑵若点M是线段O,Q上一动点，求直线AP与平面BCM所成角的取值范围.

变式3.（2023春•江苏常州•高二统考期中）如图，直角梯形A3CD与等腰直角三角形A3P所

在的平面互相垂直，且AB〃CD,ABJ.BC,AP±PB,AB=2,BC=CD=1.

⑵求直线PC与平面A3P所成角的余弦值；

⑶线段以上是否存在点E,使得PC〃平面E3D?若存在，求出嘿的值；若不存在，请说明

理由.

变式4.（2023春・贵州•高二校联考阶段练习）如图1,已知是直角梯形，EF//AB,

ZABF=90°,ZBAE=60°,C、。分别为3R、AE的中点，AB=5,EF=1,将直角梯形ABRE沿

CD翻折，使得二面角尸-DC-3的大小为60。，如图2所示，设N为的中点.

⑵若“为AE上一点，且筹则当彳为何值时,直线与平面ADE所成角的正弦值为等.

变式5.（2023•河南郑州•统考模拟预测）在底面A3CD为梯形的多面体中.AB〃CD,

AB=2CD=2^2,NCBD=45。,BC=AE=DE,且四边形3DEN为矩形.

⑴求证：BDLAE；

⑵线段EN上是否存在点。，使得直线BE与平面@4。所成的角为60。？若不存在，请说明理

由.若存在，确定点Q的位置并加以证明.

变式6.（2023.山东荷泽•山东省邺城县第一中学校考三模）已知在直三棱柱ABC-A与G中,

其中为期的中点，点£是CG上靠近G的四等分点，个与底面ABC所

成角的余弦值为冬

⑴求证：平面AFCL平面4所；

⑵在线段A/上是否存在一点N,使得平面A/C与平面NBC所成的锐二面角的余弦值为半,

若存在，确定点N的位置，若不存在，请说明理由.

变式7.（2023秋•福建三明•高三统考期末）如图，在三棱柱ABC-A片G中，VAB。为等边三

角形，四边形抽48为菱形，AC1BC,AC=4,BC=3.

B

⑴求证：平面AC4；

⑵线段CG上是否存在一点处使得平面42声与平面ABC的夹角的正弦值为巫？若存在，求

4

出点E的位置；若不存在，请说明理由.

［域真题演练f

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1.（2023・北京•统考高考真题）如图，在三棱锥尸-MC中，尸4,平面ABC,

⑴求证：BC_Z平面

⑵求二面角A-PC-3的大小.

2.（2023•全国•统考高考真题）如图，三棱锥A-3CD中，DA=DB=DC,BDVCD,

ZADB=ZADC=60°,E为BC的中点、.

⑴证明：BCrDA；

⑵点R满足面=正，求二面角D-AB-b的正弦值.

3.（2022.天津.统考高考真题）直三棱柱ABC-A与G中，AAi=AB=AC=2,AAi±AB,AC±AB,

。为4月的中点，E为AA的中点，R为8的中点.

s

⑴求证：班7/平面ABC；

⑵求直线班与平面cep所成角的正弦值;

⑶求平面ACZ）与平面CCQ夹角的余弦值.

4.（2022.浙江•统考高考真题）如图，已知ABCO和CDE歹都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,

AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角的平面角为60。.设M,N分别

为AE,8c的中点.

⑴证明：FN±AD；

⑵求直线BM与平面所成角的正弦值.

5.（2022•全国•统考高考真题）如图，是三棱锥尸-ABC的高，PA=PB,AB1AC,E是PB

的中点.

⑴证明：OE〃平面PAC；

（2）若ZABO=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-AE-3的正弦值.

6.（2022.全国.统考高考真题）在四棱锥尸-ABCD中，PD_L底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=布.

P

⑴证明：BJD±R4；

⑵求PD与平面上钻所成的角的正弦值.

7.（2022•全国•统考高考真题）如图，四面体A5CD中，ADYCD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为

AC的中点.

⑴证明：平面3EDJL平面ACD；

⑵设加=3。=2,4。=60。，点R在上，当△AFC的面积最小时，求b与平面的所成的

角的正弦值.

i]1过关检£）

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一、单选题

1.（2022春.四川绵阳.高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）如图所示，已知正方体

ABCD-^Cfi,,E,歹分别是正方形AMGR和的中心，则所和8所成的角是（）

A.60°B.45°C.30°D.135°

2.（2022秋.河南洛阳.高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-AB©

中，ZBAC=~,AB=AC=AAl=l,已知G与E分别为A耳和cq的中点，。与尸分别为线AC和

A3上的动点（不包括端点），若GDLEF、则线段O尸长度的取值范围为（）

A.[%1)B.[?$C.[字⑸D.[应⑸

3.（2022秋•重庆渝北•高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习）在正方体ABCD-AgGR中,

棱长为2,0是底面正方形"CD的中心，点/在上，N是A4上靠近A的三等分点，当直

线ON与AM垂直的时候，DM的长为（）

4.（2022秋.安徽六安.高二校考阶段练习）在正方体ABCD-44GA中，。是8。中点，点P在

线段可2上，直线。尸与平面A3。所成的角为a,则sina的取值范围是（

正叵6

T'T

5.（2022秋.山东济南.高二校考期中）已知向量流万分别是直线/与平面a的方向向量、法向

量，若cos〈西为〉=#，则/与a所成的角为（）

B.60°C.150°D.120°

6.（2022•全国•高三专题练习）在三棱锥尸-MC中，PA,AB,AC两两垂直，。为棱PC上

一动点，PA=AC=2,AB=3.当与平面PAC所成角最大时，AD与平面P3C所成角的正弦值

为（）

7.（2022・全国•高三专题练习）已知四面体A5CD中，AB,BC,两两垂直，BC=BD=42,

AB与平面AC。所成角的正切值为则点B到平面ACD的距离为（）

A.BB.正C.—D.—

2355

8.（2022秋.河北保定.高二定兴中学校联考阶段练习）已知平面a的一个法向量为菊=（-2,1,7）,

向量丽=（O,T2）,AC=（1-1,0）,则平面a与平面ABC夹角的正切值为（）

A.y/2B.2C.75D.76

9.（2022秋.广西钦州.高二浦北中学统考期末）已知向量e=（-2,0,-2）,%=（2,2,0）分别为平

面a和平面夕的法向量，则平面。与平面尸的夹角为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

二、多选题

10.（2022秋•黑龙江哈尔滨•高二哈九中校考期末）在棱长为1的正方体ABCD-ABCA中，E

为线段的中点，歹为线段B片的中点，则下列说法中正确的是（）

A•点4到直线耳E的距离是在B.直线尸G到直线AE的距离是我

35

C.点A到平面AgE的距离是|D.直线FG到平面A4E的距离是:

11.（2022秋•福建厦门•高二统考期末）如图，四边形ABCD为正方形，EAIIBF,丛，平面ABC。,

AB=AE=2BF=2,点M在棱EC上，且屈=入比，则（）

B.当彳=；时，MF_L平面以C

C.当几=；时，点/到平面3c歹的距离为1

1____JT

D.当2=］时，平面与平面A8CD的夹角为I

12.（2022秋・河北保定•高二定兴中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平

面A3CD,底面A3CD是正方形，且B4=AB=2,E,F分别为PD,依的中点，则（）

P

A.EF工平面以C

B.AB〃平面ERC

C.点R到直线CD的距离为"

D.点A到平面ERC的距离为坪

13.（2022.全国.高三专题练习）在棱长