2025年人教版八年级数学下册期末复习：特殊平行四边形的性质与判定（原卷版）

专题04特殊平行四边形性质与判定

一、【知识回顾】

【思维导图】

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四

边形，相对的边称为对边，相对的角称为

对角

■平行四边形的对边相等，对角相等

(,平行四边形的邻角互补，对角线互相平分

「两组对边分别相等的四边形是平行四边形

18.1平行四边形

•两组对角分别相等的四边形是平行四边形

■判定•一组组对边平行且相等的四边形是平行四

.边形

I对角线互相平分的四边形是平行四边形

山竹相生理三角形的中位线平行于第三边，且等于第

中仅运埋一三边的一半

平行四边形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

矩形的四个角都是直角，矩形对角线相等

矩形

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

三个角是直角的四边形是矩形

判定I

对角线相等的平行四边形是矩形

有一组领边相等的平行四边形叫作菱形

菱形的四条边相等

18.2特殊的平行

菱形

四边形菱形对角线互相垂直，每一条对角线平分

一组内角

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

判定

四条边相等的四边形是菱形

有一组领边相等且有一个角是直角的平行

定义

四边形是正方形

正方形

对边平行，四边相等，四个角为90°

性质

对角相等，相互垂直且相互平分

【知识清单】

矩形的性质:几何表达式举例:

"(1)具有平行四边形的所有通性;

(2)：ABCD是矩形

因为ABCD是矩形n，(2)四个角都是直角；

Dc[(3)对角线相等..•.ZA=ZB=ZC=ZD=90°

(3)：ABCD是矩形

.\AC=BD

-------A----------------------------B----------------------

矩形的判定：-几何表达式举例：

(1)；ABCD是平行四边形

(1)平行四边形+一个直角

又；NA=90°

(2)三个角都是直角[=＞四边形ABCD是矩形.

，四边形ABCD是矩形

(3)对角线相等的平行四边形

(2)VZA=ZB=ZC=ZD=90°

，四边形ABCD是矩形

⑶..........

菱形的性质：几何表达式举例：

因为ABCD是菱形(1)..........

’⑴具有平行四边形的所有通性;⑵：ABCD是菱形

.\AB=BC=CD=DA

=(2)四个边都相等；

⑶；ABCD是菱形

(3)对角线垂直且平分对角.

.*.AC±BDZADB=ZCDB

菱形的判定:几何表达式举例：

(1)平行四边形+一组邻边等'(1)；ABCD是平行四边形

,/DA=DC

(2)四个边都相等n四边形四边形ABCD是菱形.

四边形ABCD是菱形

⑶对角线垂直的平行四边形

(2),/AB=BC=CD=DA

，四边形ABCD是菱形

A(3)；ABCD是平行四边形

VACXBD

四边形ABCD是菱形

正方形的性质：几何表达式举例:

因为ABCD是正方形⑴..........

'⑴具有平行四边形的所有通性；(2)：ABCD是正方形

.*.AB=BC=CD=DA

n(2)四个边都相等，四个角都是直角;

ZA=ZB=ZC=ZD=90°

(3)对角线相等垂直且平分对角.

(3)：ABCD是正方形

.,.AC=BDAC±BD

C,cD____________.C

ACBAB

正方形的判定：几何表达式举例：

(1)：ABCD是平行四边形

(1)平行四边形+一组邻边等+一个直角、

又：AD=ABZABC=90°

(2)菱形+一个直角>n四边形ABCD是正方形.

；•四边形ABCD是正方形

(3)矩形+一组邻边等

(2)：ABCD是菱形

DC又,:ZABC=90°

四边形ABCD是正方形

(3)VABCD是矩形

又：AD=AB

A1□B

；•四边形ABCD是正方形

二、【考点类型】

考点1：矩形的性质(对角线相等，90°)

典例1：(23-24八年级下•湖北・周测)在矩形4BCD中，对角线AC、BD相交于点。，4E平分NB4□交BC于

点E,^CAE=15°,连接。E,则下面的结论：其中正确的结论有.

①ADOC是等边三角形；②ABOE是等腰三角形；③BC=2AB；®AAOE=150°；⑤〃.后=S^OE-

【变式1](22-23八年级下.江苏苏州・期末)如图，在矩形中，对角线4C与8。相交于点。，过点4作

AE1BD,垂足为点E,若BE=1,AE=2,则AC=.

【变式2](22-23八年级上•湖北恩施•期末)如图，点P是矩形2BCD对角线4C上一点，过点P做EFIIBC,

分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD.若4E=2,PF=9,则图中阴影部分的面积为

【变式3】（22-23八年级下•福建莆田•期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形。4BC的对角线AC平行于

x轴，边。4与x轴正半轴的夹角为30。，AC=6,则点A的坐标是—.

【变式4（2024.山东济南.模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE1BD于点E,

DFLAC^-^F,求证：AE=DF.

【变式5】（23-24八年级下•全国•随堂练习）如图，在矩形2BCD中，O为对角线4C的中点，过点O作直线

分别与边2D、BC交于M、N两点，连结CM、AN.求证：四边形4NCM为平行四边形.

【变式6】（23-24八年级下•江苏无锡•阶段练习）如图，在长方形纸片4BCD中，AB=6,BC=8,将纸片

按如图所示的方式折叠，使点8与点。重合，折痕为EF.

⑴求证：BE=BF-.

（2）求4E和EF的长.

【变式7】（22-23九年级上•陕西咸阳•期中）如图，矩形4BCD的对角线AC,BD相交于点。，点E,F在BD

(2)若48=6,"0B=60°,求矩形2BCD的面积.

考点2：直角三角形斜边上的中线性质

典例2：（22-23八年级下•江苏苏州•阶段练习）如图，AABC中，D,E分别是4B,47的中点，F是DE延

长线上的一点，且N4FC=90。，若AC=12,BC=20,则DF的长为

【变式1］（2023•浙江杭州•模拟预测）如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，CD为中线，延长CB至点E,

使8E=BC,连结DE,尸为DE中点，连接BF.若4C=4,BC=3,贝防尸的长为.

【变式2】（23-24八年级下•江苏南京•阶段练习）如图，在RtAABC中，^BAC=90°,2D是AABC的中线,

点E,尸分别是4。，4C的中点，连接EF,若EF=3,贝妹。的长为.

BDC

【变式3](2023•甘肃陇南•模拟预测)如图，在A4BC中，^ACB=90°,乙B=28°,4D平分NBAC,E^AD

中点，则乙DCE的度数为.

【变式4】(23-24八年级上.浙江嘉兴.期末)如图，CD是RtAABC的斜边4B上的中线，Z4=30°.

⑴求NB的度数.

(2)若4B=10,求仆BDC的周长.

【变式5](23-24九年级上•陕西宝鸡・期末)如图，在四边形4BCD中，乙ABC=90°,AD||BC,AD=BC.

(1)求证：四边形4BCD是矩形;

(2)点E是2D上一点，点尸是BC的中点，连接BE,CE,EF,若NBEC=90。，EF=6,求4D的长.

【变式6](23-24八年级上•云南昭通・期末)如图，在ZiMBC中，乙B=30。,4D是BC边上的中线，且AD=

AE1BC于点E.

(1)求NC4E的度数；

(2)若CE=2,求BE的长.

【变式7](23-24八年级上.上海静安.期末)如图,在AABC和△4DC中,^ABC=^ADC=90°,连接2C与

8。交于点0,M,N分别是4C、8。的中点.求证：MN垂直平分BD.

B

考点3：矩形的判定

典例3：(23-24八年级下•湖南长沙•阶段练习)如图，点A在NMON的边。N上，AB1。”于B,4E=OB,DE1

(1)求证：四边形4BCD是矩形；

(2)若DE=3,。5=9,求4。的长.

【变式1】(22-23八年级下•北京房山•期末)如图，在团2BCD中，对角线AC,BD交于点。，0A=0B.

⑴求证：四边形4BCD是矩形；

(2)若4D=2,NCAB=30°,作NDCB的平分线CE交4B于点E,求4E的长.

【变式2](2024•云南•模拟预测)在△ABC中，。是BC边的中点，E、E分别在4D及其延长线上，CE\\BF,

连接BE、CF.

⑴求证：ABDF^△CDE

(2)若=试判断四边形BFCE的形状，无需说明理由.

【变式3】（23-24九年级下•黑龙江哈尔滨•开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点,

连接AC、AE,延长4E、BC交于点F,连接DF,ZXCF=90°.

（1）求证：四边形4CFD是矩形；

（2）在不添加辅助线的条件下，请直接写出图中四个三角形且其面积为矩形4CFD的面积的四分之一.

考点4：菱形的性质

典例4：（2024.河南郑州.模拟预测）如图，在菱形4BCD中，AADC=128°,P是对角线AC,BD的交点,

点E在C8的延长线上，且PE=P4.贝l|N2PE=度.

【变式1X23-24八年级下•北京•阶段练习）如图，菱形2BCD的对角线AC、BD相交于点O,过点。作D”1AB

于点H,连接。“若AC=16,S菱形ABCD=64,则。”的长为.

【变式2】（2024.山西晋城.二模）如图，菱形48CD的对角线AC,BD相交于点0,过点4作4E1CD于点E,

连接OE,若。B=4,OE=3,则菱形2BCD的面积为.

【变式3］（23-24九年级上.山东青岛•阶段练习）如图，在菱形4BCD中，Z.B=60°,点E,尸分别从点2,

D同时以同样的速度沿边BC,DC向点C运动.给出以下三个结论中，正确的是：（填写序号）

①2E=4F；②乙CEF=MFE；③当点E,尸分别为边BC,DC的中点时，A/IEF是等边三角形.

【变式4］（2023•湖南永州•一模）如图，菱形4BCD中，ZCBD=75°,分别以4B为圆心，大于2B的一

半长为半径画弧，两弧在4B的两侧分别交于点P、Q,作直线PQ交4B于点E,交4D于点F,连接8F,求ADBF

【变式5］（23-24九年级上.四川成都.阶段练习）如图，BD是菱形4BCD的对角线，ACBD=75°.

（1）请用尺规作图法，作4B的垂直平分线EF,垂足为E,交4。于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）

⑵在（1）条件下，连接BF,求ADBF的度数.

【变式6］（2023•山东聊城•模拟预测）在菱形28CD中，对角线AC,8。交于点0,过点C作BD的平行线，交

4B延长线于点E.

⑴求证：BC=^AE；

（2）若乙4BC=120°,CE=6,求菱形4BCC的面积.

【变式7］（23-24九年级上•山东泰安・期末）在菱形4BCD中，点尸是BC边上一点，连接4P,点£,尸是4P上

的两点，连接DE,BF,使得=乙ABF=LBPF.

AD

求证：

（1）AABF=ADAE；

（2）DE=BF+EF.

考点5：菱形的面积

典例5：（22-23八年级下・甘肃张掖・期末）如如图，菱形4BCD的对角线AC、8。相交于点。，过点。作直线

EF分别与AB、DC相交于E、F两点，若4C=10,BD=4,则图中阴影部分的面积等于.

【变式1］（23-24九年级上四川达州期末）如图，菱形48CD的边长为26,对角线47的长为48,延长4B至

E,BF平分NCBE,点G是BF上任意一点，则A/ICG的面积为.

【变式2】（23-24九年级上.贵州毕节•阶段练习）如图，菱形2B2Q中,ZD=135°,BE1CD于点E,交AC于

点F,FG1BC于点G.若ABFG的周长为4,则菱形4BCD的面积为一.

【变式3］（22-23八年级下•山西忻州•期中）如图，菱形ABCD的对角线"、BD相交于点O,过点A作4”1BC

于点H,连接。若。B=4.5,S菱形ABCD=36,则OH的长为.

AD

考点6：菱形的判定

典例6：（23-24八年级下.全国.随堂练习）如图，在四边形4BCD中，AB||CD,4C平分AB=2CD,E

为4B的中点，连接CE.

⑵若乙。=120。，DC=1,求△ABC的面积.

【变式1】（2024•云南昭通・模拟预测）如图，在平行四边形4BCD中，BE平分“BC交4D于点E,点/在BC

上，AB=BF,连接4F交8E于点O,连接EF.

（1）求证：四边形4BFE是菱形；

（2）若£、尸分别为2。、8C的中点，CF=5,4尸=8,求点。至必8的距离.

【变式2］（2024.山西晋城.二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务.

利用尺规在锐角三角形纸片上作菱形在数学兴趣课上，老师提出一个问题：利用尺规在锐角三角形纸片ABC

上作菱形4EDF,且点O,E,尸分别在BC,AB,AC边上，同学们以小组为单位展开了讨论.

勤学小组展示了他们的作法：如图1,以点A为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交4B,4C边于点G,

H-,分别以点G,H为圆心，大于的长为半径画弧，在△ABC内部交于点L；连接4L并延长，交BC边

于点。；以点8为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交ZB,BC边于点M,N；以点。为圆心，BN长为

半径画弧，交BC边于点尸；以点P为圆心，MN长为半径画弧，交前弧于点Q连接。Q并延长，交AC边于

点F；以点A为圆心，4F长为半径画弧，交4B边于点E；连接DE,DF.则四边形4EDF为菱形.

勤学小组进行了以下证明：

证明：根据尺规作图，得AD平分ABAC,乙FDC=LB,AE=AF.

：.ABAD=/.CAD,FD\\AB.

：.^ADF=^BAD.

：.^ADF=/.CAD.

：.AF=DF.(依据1)

：.AE=DF.

四边形AEDF是平行四边形.(依据2)

5L'：AE=AF,

四边形4EDF是菱形.

善思小组也展示了他们的作法：如图2,以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交48,4C边于点R,S；

分别以点R,S为圆心，大于之RS的长为半径画弧，两弧交于点T；连接4T并延长，交BC边于点D；分别以

点4,。为圆心，大于之人。的长为半径画弧，两弧分别交于点W,V；连接WU,分别交AB,AD,4c于点E,

O,F；连接DE,DF.则四边形4EDF为菱形.

任务:

(1)填出证明过程中的依据.

依据1：;

依据2：.

(2)请根据善思小组的作法，求证：四边形4EDF是菱形.

(3)如图3,请你在锐角三角形纸片ABC上用尺规再设计一种不同的方法作菱形AE。k(要求：不写作法,

保留作图痕迹，标明字母)

A

【变式3】（23-24八年级下•江苏南通・阶段练习）如图，在四边形4BCD中，AD||BC,对角线BD的垂直平

分线与边4。、8C分别相交于点M、N.

（1）求证：四边形BNDM是菱形；

（2）若80=24,MN=10,求菱形2NDM的周长.

考点7：正方形的性质

典例3：（23-24八年级下•山东聊城•阶段练习）如图，以正方形4BCD的边CD为边在正方形外作等边三角形

CDE,连接8E交正方形的对角线4C于点F,连接DF,则乙4FO等于.

【变式1］（2023・四川成都•模拟预测）如图，在正方形28CD中，AB=4,£是CD的中点，按以下步骤作

图.分别以点A和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点G,作直线GH交4。于点尺则

FD的长为.

【变式2】（23-24八年级下•河北廊坊•阶段练习）如图，在边长为2的正方形ABCD的外侧，作ADCREC=

ED=W.若G为边BC上的一点，当△EDC的面积是AACG面积的百倍时，BG=（结果保留根号）.

【变式3】（2023•山东青岛•三模）如图，正方形4BCD的边长为4,点E在边CD上，且CE=1,连结AE,点

F在边4。上，连结BF,把4ABF沿BF翻折，点4恰好落在4E上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=2DF；

®^W^DFHE=6；④GE=0.2,其中正确结论的是.（填序号）

【变式4]（23-24九年级上•陕西西安•阶段练习）如图，点P是正方形4BCD内位于对角线AC下方的一点,

zl=Z2,求NBPC的度数.

【变式5]（23-24九年级上•甘肃陇南•阶段练习）已知：如图，正方形4BCD,连接AC,E是8c延长线上一

点，AC=EC,连接4E交CD于点?

（1）求NE的度数；

（2）若。尸=2,求点尸到4C的距离.

【变式6】（23-24九年级上•山东枣庄•阶段练习）如图，正方形4BCD的对角线4C和BD相交于点。，。又是

正方形为B1G。的一个顶点，。4交4B于点E,0cl交BC于点尺

AD

Cl

⑴求证：AXOF三2BOF；

(2)如果两个正方形的边长都为4,求四边形。E8F的面积.

【变式7](2023•广西防城港•模拟预测)(1)【操作发现】如图15,将正方形纸片ABCD沿过点A的直线

折叠，使点3落在正方形内部的点M处，折痕为4E,再将纸片沿过点A的直线折叠，使4。与4M重合，折

痕为4F,请直接写出NE4F的度数；

(2)【拓展探究】如图16,继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕4E上的点N处，

连接NF交4M于点P.若AB=g,求线段PM的长；

(3)【迁移应用】如图17,在矩形中，点E,P分别在边BC,上，将矩形4BCD沿4E,”折叠,

点8落在点M处，点。落在点G处，点A,M,G恰好在同一直线上，若点尸为CD的三等分点，AB=3,

AD=5,求线段BE的长.

图15图16图17

考点8：正方形的判定

典例8：(23-24八年级下•江苏南京•阶段练习)如图，四边形4ECF是菱形，对角线AC、EF交于点。，点D、B

是对角线EF所在直线上两点，且=连接4。、AB.CD、CB,/.ADO=45°.

(1)求证：四边形4BCD是正方形;

⑵若正方形4BCD的面积为32,BF=1,求点尸到线段2E的距离.

.,•四边形48C。是正方形.

(2)

【变式1](23-24八年级下•全国•随堂练习)如图，在AaBC中，Z.BAC=90°,N84C的平分线交BC于点

DE||AB,DF||AC.

(1)求证：四边形4FDE为正方形;

(2)若=求四边形4FDE的面积.

【变式2】(2024•云南昆明.一模)如图，点E为正方形28CD内一点，Z.BEC=90°,将△BEC绕点B逆时针

方向旋转90。得到凡4(点E的对应点为点尸)，延长CE交4F于点G.

(1)试判断四边形BEGF的形状，并说明理由;

(2)若2B=5,AG=1,求CE的长.

【变式3】(23-24九年级上.江西南昌.期末)如图，在正方形4BC0中，点E是对角线4C上一动点，连接。E,

作EF1DE交BC于点F,以ED和EF为邻边作矩形EFGD.

(1)猜想：AE,CG的位置关系是二

⑵求证：^DAE=ADCG.

考点9：中点四边形

典例9：（23-24八年级下•山东聊城•阶段练习）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任

务.

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1,在四边形4BCD中，点E,F,G,"分