等式根与系数关系方程组（解析版）-2026届高三数学一轮复习

等式、根与系数关系、方程组

等式的性质

1.等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立.

2.等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立.

用符号语言和量词表示上述等式的性质：

如果a=b,则对任意c,都有a+c=b+c；

如果a=6,则对任意不为零的c,都有a-c=b,c.

3、等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为减去、除以，结论仍成立.

二.恒等式

1.恒等式的含义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任何实数时等式都成立，则称其为恒等式,

也称等式两边恒等.

【注意】恒等式是代数变形的依据之一.

2.常见的代数恒等式

(1)(a+Z?)2=a2+2ab+b2,(a-Z))2=a1-2ab+b2

(2)a2-b2+

(3)a2+b3=(a+b\a2-ab+b2^,a3-b3=(a-^)(o2+ab+b~^

(4)(x+a)(x+b)=x?+(a+6)x+ab,(ax+Z))(cx+(7)=acx2+(^ad+bc^x+bd

3.十字相乘法

给定式子V+Cx+D，如果能找到。和6,使得。=ab且C=a+6,则/+Cx+。=(x+a)(x+b)

为了方便记忆，己知C和。，寻找满足条件的。和6的过程，常用图来表示：]Q

其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加等于C,

正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”./\

4.利用恒等式化简的步骤：1b

(1)先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式；

(2)提公因式后，看多项式的项数

①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解；

②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解；

③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法.

(3)若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行.

1

三.方程的解集

一般地，把一个方程所有解(或根)组成的集合，称为这个方程的解集.

利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集.

考点一等式的性质与应用

【例1】1.已知3x=7y(yw0),则下列比例式成立的是()

x3x7

卜冷B.冷C.-=-D.

N73y

【答案】B

Y7

【解析】因为3x=7y(ywO),则XHO,则彳=三，-=故B选项正确，ACD选项错误.故选：B.

73y3

【训练1】1.下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是()

A.如果〃=6,那么6—cB.如果〃=6。，那么a=6

ah

C.如果Q=b,那么巴=9D.如果3=2,那么“=6

cccc

【答案】D

【解析】选项A,当cwO时，显然不成立；选项B,如果/=6〃，那么。=6或。=0,显然不成立;

选项c,当c=o时，q=2无意义,不成立；选项D,如果巴=2,则cwO,故巴xc=2xc,

cccccc

即a=6,成立，故选：D

2.下列变形错误的是()

A.如果x=y,则工_5=了-5B.如果(%+l)x=%+l,则R=1

C.如果(〃+i)x=5,贝=D.如果a=6,则。加=6机

【答案】B

【解析】A、x=y,两边都加-5,得x-5=y-5,故A正确；B、加+1=0时，两边都除以0无意义，故B

错误；C、因为/+1>0,方程+1卜=5两边同除以/+1，得x=,“，故C正确；D、两边都乘以

m,故D正确；故选：B.

考点二恒等式的化简

【例2】1.已知多项式2/+反+。分解因式为2(X-3)(X+1),则6,c的值为()

A.6=3,c=T；B.b--6,c-2；C.6=-6,c=-4；D.b--A,c--6

【答案】D

【解析】展开2(x-3)(x+l)=2(x2+x-3x-3)=2x2-4x-6

2x2-4x-6-2x2+bx+c>解得：b=-A,c=-6.故选：D

2

【训练2】1.下列各式运算正确的是()

A./+4a+5—(a+1)(。+5)B.2a?+4ab+9b?—(2Q+3b)?

C.a3+b3=(a+b)(a1^ab+b1^D.a-b3-{a-b)(a1-ab+b1^

【答案】C

【解析】对于A选项，右边=/+6Q+5W左边，故A选项错误.

对于B选项，右边=4/+12^+9/w左边，故B选项错误.

对于C选项，根据立方和公式可知，C选项正确.

对于D选项，根据立方差公式可知，正确的运算是。3-63=(口一①(1+仍+〃)，故D选项错误.故选C.

考点三一元二次式因式分解

【例3】1.用十字相乘法分解因式：

(1)/+7x+12；(2)3-+7X-6;

【答案】(1)(x+3)(x+4)；(2)(x+3)(3x-2)

【解析】(1)X，+7X+12=(X+3)(X+4)；

(2)3x?+7x-6=(x+3)(3x-2)；

【训练3】1.将下列各式因式分解：

(1)2X2-7X+3;(2)10(X+2)2-29(X+2)+10

【答案】答案见解析.

【解析】⑴2x2-7x+3=(2x-l)(x-3)；

(2)10(x+2)2-29(x+2)+10=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]=(2x-l)(5x+8)

2.求下列方程的解集：

(1)3/+工-2=0;(2)12/3-2=0;

【答案】⑴却⑵｛泊｝

【解析】(1)3X2+X-2=(3X-2)(X+1),原方程化为(3X—2)(X+1)=0,

解得x=g或x=—1,所以原方程的解集为11.

(2)12f—5X-2=(3X-2)(4X+1),原方程化为(3x—2)(4x+l)=0,

解得x=g或x=-4，所以原方程的解集为

3434

3

考点四多元高次式因式分解

【例4】1.用十字相乘法分解因式:

(1)2x2-xy-3y2；(2)x4y4-3x2y2-4.

【答案】(1)(x+J)(2X-3J)；(2)(XJ+2)(XJ-2)(X2/+1).

【解析】(1)2x2-xj-3/=(x+j)(2x-3j)；

(2)x4y4-3x2y2-4=(x2y2-4)(x2y2+l)=(xy+2)(xy-2)(^x2y2+l^.

【训练4】1.把下列各式因式分解：

(1)6m2-5mn—6n2；

(2)2炉+1少2―3方；

(3)6(x+y)+7jz(x+y)+2z(x>0/>0,z〉0).

【答案】(1)(3加+2〃)(2加一3〃)；(2)(%+歹)(%—丁)(2工2+3")；(3)

(3“+y+2A/Zj(2jx+y+4).

【解析】(1)6m2-5mn-6n2=(3m+2n)(2m-3w)；

(2)2x4+x2y2-3j/=(/—j?)(2—+3/)=(%+^)(了一夕)(2/+3/)；

(3)6(x+9)+7jz(x+y)+2z=(3jx+y+26乂2,%+歹+正).

2.把下列各式分解因式：

(1)x2-4mx-Smn-4n2;

(2)%2-y2+4x+6y—5；

(3)x3-4xy2-2x2y+8j/3.

【答案】⑴(x+2n)(x-2n-4m)；(2)(x+yT)(x-y+5)(3)(x+2y)(x-2y)2

【解析】(1)原式=(1-4"2)-4TM(X+2")=(X+2〃)(X—2〃)-4"7(X+2")=(x+2〃)(x—2"—4加).

(2)M^,=(x2+4x+4)-(y2-6y+9)=(x+2)2-(j^-3)2=(x+y-1)(x-y+5).

(3)(方法一)=x3+8y3-2xy(x+2y)=(x+2y)(x2-2xy+4y2^-2xy(x+2y)

=(x+2y)-4肛+4力=(x+2y)(x-2v)2.

(方法二)原式=W-2x2y)+(~4xy2+8j3)=/(x-2y)-4y2(x-2y)

=(x-2^)(x2-4y2)=(x+2y)(x-2y)2.

考点五方程的解

【例5】1.一元二次方程(x+3)(x-3)=3(x+3)的解集是()

4

A.{3}B.{6}C.{-3,6}D.{-6,3}

【答案】C

【解析】(x+3)(x—3)—3(x+3)=0,即(x+3)(x-3-3)=0,所以x+3=0或x—3—3=0,

解得X]=-3,X2=6.故选:C.

【训练5】1.己知关于x的方程三=：+1的解集为0,则实数。的值()

A.0B.1C.D.-

32

【答案】C

【解析】由十1+L得仁因为关于x的方程彳=*1的解集为0，

所以《一2=0,得“=：,故选：C

233

2.(多选)方程=2+%解集为单元素集，那么该方程的解集可以是()

x+1X

A.{1}B.{2}C.{3}D.{4}

【答案】ABC

2x+TYl

【解析】由题意可知XH—1且XW0,则原方程可化为》=■------得/—2x—加=0，

X

若A=4+4m=0,解得小=一1,故原方程为X2—2X+1=0,解得X=l；

若此方程有一根为一1，m=3,此方程解为x=3(舍去x=-l)；

若此方程有一根为0,m=0,此方程解为x=2(舍去x=0)选：ABC.

3.用因式分解法求下列方程的解集.

(1)6x(x+l)=5(x+1)；

(2)(2x—I)2—(x+1)2=0；

【答案】(1)(2){0,2}；

【解析】(1)分解因式，得(6%—5)(%+1)=0,所以6工一5=0或x+l=0,所以刈=*,x2=—l.

6

所以方程的解集为。-1}.

(2)分解因式，得[(2x—l)+(x+l)][(2x—1)—(x+l)]=0,

所以3x(x—2)=0,所以々=0,无2=2.所以方程的解集为{0,2}.

5

一元二次方程的解集及其根与系数的关系

一.一元二次方程

1.定义：形如。必+乐+。=0的方程称为一元二次方程，其中a,b,c是常数，且awO.

2.一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解；

(2)配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数,

则可以直接开平方求解；

—b+J—

(3)公式法：将一元二次方程中的系数a,b,c的值代入式子x=——--------中求解；

2a

(4)因式分解法：通过移项将等式右边变成0,再因式分解，令每个因式为0即可求解.

3.一元二次方程根的判别式与解集

式子廿-4碇叫做一元二次方程以2+区+。=0(。70)根的判别式，通常用A表示，即A=廿-4ac

(1)当A>0时，一元二次方程以2+江+。=0(°70)有两个不相等的实数根；

此时，方程的解集为：卜+扬-4aq,一J/4”,

2a2a

(2)当A=0时，一元二次方程ax2+6x+c=0(aH0)有两个相等的实数根；此时，方程的解集为：

(3)当AO时，一元二次方程。必+为+。=0(°70)没有实数根；此时，方程的解集为0

一元一次方程根与系数的关系(韦达定理)

1.一元二次方程根与系数的关系：

b0

如果a/+bx+c=0(。。0)的两根玉、x2,那么西+/二——，x^x2=—

aa

2.应用一元二次方程根与系数的关系时，常有一下变形：

(1)X；+X：=(%+/丁-2匹12；

6

11_%/

(2)---1-----------

为

x2XjX2

(3)=X1X2(X1+12)；

(4).2I%］二(％1+%2)—2,9

再X2XyX2

(5)(/+左)(%2+左)=匹％2+左(%1+12)+左2

11_%；+*_(再+%)2—2m工2

v0J---1-----------------------------

X；X；x；x；x；x；

(7)(占一％2)2=(玉+%2)2-4%1%2

(8)"_%|二J(X「X2)2=加］+/)2_4X/2

考点一一元二次方程的解集

【例1】1.方程4(1-尤)2=1的解集是()

【答案】C

【解析】由方程4（1-X）2=1,可得方程（x-1）2=；,解得工一1=；或%一1=一;，所以x=T或x=；,

即方程的解集为故选：C.

【训练1】1.集合{x|2/-3x+2=0,xeR}=.

【答案】0

【解析】因为2/—3x+2=0的A<0,所以方程无实数解，所以A=0.

2.方程，+x）2+X2+x=42的解集为.

【答案】{一3,2}.

【解析】令x2+x=f,则"Y+x4x+gr=，原方程化为「+"42=0,解得a=-7（舍）或

244

%2=6,

即r+x=6,得X2+X-6=0,解得网=-3或％=2.即方程(/+乃2+/+》=42的解集为{-3,2}.

3.求下列方程的解集:

(1)(J_l)—4(x2—xj—12=0；

7

(2)x2+x+A/X2+x+7=5•

【答案】(1){-2,3}；(2){-2,1}

【解析】(1)令——原方程化为4/12=0,解得"-2或％=6.

当£=一2时，x2-x=-2,即工2_1+2=0,A=(-1)2-4x2=-7<0,此方程无解.

当”6时，X2-X=6,BPX2-X-6=0,解得％=-2或X=3.所以原方程的解集为{-2,3}.

(2)令Ji+x+7=(/>0)方程化为++7-12=0,解得，=3或(舍).

由，=3得，工2+'+7=3,BPx2+x-2=0解得％=-2或x=l,

经检验，x=-2,x=l是原方程的解.所以原方程的解集为{-2,1}.

4.方程――+口=12的实数根是

x'+lx23x

1X

.•・3〃-10/+3=0,/=3或=彳，由^^=3可得3/-尤+3=0,方程3/一x+3=0无实数解，

3x+1

由仁=:可得/一3》+1=0,方程X2-3X+1=0的解为

X+132

考点二一元二次方程根的分布

【例2】1.关于x的一元二次方程/+8》+«=0有两个不相等的实数根，则的取值范围是()

A.q>16B.”16C.q<4D.q>4

【答案】B

【解析】；/+如+«=0有两个不相等的实数根.♦.△=82-曲>0W<16

【训练2】1.已知关于x的一元二次方程*一26》+左=0没有实数根，则左的取值范围是.

【答案】k>3

【解析】由题意得：A=(-2A/3)2-4A：<0=>^>3.

2.方程/-2如+4=0的两根均大于1,则实数。的取值范围是.

【答案】［2,j)

a>\

【解析】•.•/-2姓+4=0的两个根者口大于1；」5—2。>0,

A=4/-1620

解得2Wa<g可求得实数”的取值范围为［2,3

3.已知一元二次方程加/-2工+切+3=0有两个正实根，则实数机的取值范围是.

8

V13-3

【答案】0〈机w

-2~

加w0

A=4—4m(m+3)>0

2n,屈-3

【解析】设两个正实数根分别为4%,《x+x=—>0,n°<加"

12m2

加+3八

—>U

.m

4.若关于x的方程/一履+2=。的一根大于1,另一根小于1,则实数后的取值范围为.

【答案】（3,+s）

【解析】由题意，关于x的方程X?-代+2=0的一根大于1,另一根小于1,设/（力=》2+2,

根据二次函数的性质，可得/（1）=-左+3<0,解得左>3,所以实数人的取值范围为（3,+8）.

考点三根与系数的关系

【例3】1.若关于x的方程f一6x+2=0的两根分别是与当，则3+±=（）

X]x2

A.6B.7C.8D.9

【答案】c

【解析】因为可,马是方程x2-6x+2=0的两根，所以不+迎=6,再毛=2

所以4+4=4^=5±父尸i=阻心=8,故选：C

演x2再x2x24

【训练3】1.若须、马是方程2x2+6x+3=0的两个根，则£+/=（）

1

A.——B.2C.4D.8

2

【答案】C

3

【解析】因为西、马是方程2/+6x+3=0的两个根，所以由根与系数之间的关系，西+/=-3,

故选+五=Xj+x??=（网+%）22&%=4.故选:C.

x1x2XxX2XxX2

2.若相，力满足加?_3m-1=0,“2—3”-1=0,且加w”，则—I—的值为（）

mn

A.-11B.-9C.9D.11

【答案】A

【解析】依题可得，m,〃为方程--3x-l=0的两个不等实根，所以m+〃=3,mn=-l,

所以？+'="2+加2=（加+〃）2-2加=32-2><（-1）=_]],故选：人.

mnmnmn-1

9

3.已知一元二次方程2/+3x-4=0的两根为X］、x2,则婷-可为

【答案】±12叵

8

3

【解析】结合韦达定理可知玉+々=-］，

所以多一%2=土咚，且X：-年=（再一£乂X：+个2+=），由⑴知X；+W=（芭+工2丫-2中2=亨,

+1历

所以xj-超3

8

4.已知方程-3/+5方+3=0的两根为玉、马，分别计算下列各式的值:

（1）龙田+再2工2；（2）IXJXJ-X,xi；（3）—~"2%；

2(4)无

11

一一再_2X2

【答案】（1）-j；（2）；（3）I"；（4）.

3333

5

__x+X-）——

【解析】；X1,X2是方程一3/+5x+3=0的两根，.1y3；

AX2=-!

⑴谒+工包』2（为+小一年=等

（2）卜芯-X；%2|二|七%2（x2一玉）|=|七'2I.'（再+'2）2-4%1%2=+4=；

X；-再尤2-2考_（再一2%）（再+%）__5

（3）Z---------------------------------------------一项十I2—~.

xx-2X2X1-2X23

（4）X］（x；-1）=&（x；+XjX2）=X1X2（x2+%］）=-1x=-1-;

考点四利用根与系数的关系求参数

【例4】1.已知为凡是关于x的一元二次方程/+2"+/+a=0的两个实数根，则x；+x；=12,贝心的值

是（）

A.a=3B.a——2C.a=3或a=—2D.a=—3或a=2

【答案】B

ccfXi+=—2a

【解析】由题意得A=（2a）-4（。+。）20且｛2，解得QKO,

［再入2=Q+Q

又X；=（石+%2?一2再工2=（-2〃）2-2（/+。）=12,解得。=一2或a=3（舍）.故选：B

【训练4】1.已知方程/+31+2=0的两个实数根是。和万，若|。-刈=5,求实数夕.

【答案】-4

10

【解析】••・方程/+3x+p=0的两个根是a和夕，由韦达定理得,a+4=-3，矽=p,

又|a_0=、（a-外|=、（a+外_轨/=、（一3）2-4p|=5,即9—42=25,得，解得°=一4

2.若6为实数，关于无的方程办2+.队+6=0的解集为{-1,3},则a+b=.

【答案】、4

2

【解析】由关于x的方程&++b=0的解集为{-1,3},即-1,3是方程ax+abx+b=0的两个实数根,

［一1+3=一或

?4

所以八°n,解得。=；,6=-2,所以。+6=-二.

,b33

-1x3o=—

、a

3.已知关于x的方程x?-2（加+l）x+加之一3=0有两个不等实根.

（1）求实数加的取值范围；

（2）设方程的两个实根为%,%2，且（2+工2）2-（再+、2）-12=0,求实数加的值；

【答案】（1）（-2,+00）；（2）1

【解析】（1）由题意，关于、的方程r-2（加+1）、+/_3=0有两个不等实根

则A=4（加+1）2-4（m2-3）＞0,即8加+16＞0,解得加＞一2,即实数相的取值范围为（-2,+8）.

2

（2）由方程一—2（加+l）x+加2—3=0的两个实根为石，可得A=4（加+1）2-4（m-3）＞0,

解得相＞一2且再+x2=2（m+1）,因为区+9）2-（再+X2）-12=0,可得4（加+1）2-2（m+l）-12=0,

解得〃?=1或相（舍去），所以实数〃?的值为1.

4.己知否,三是关于x的一元二次方程4履2一4履+左+1=0的两个实根.

（1）若其-马卜;，求实数上的值；

（2）是否存在实数左，使（2再-9）（国-2x2）=-］成立？若存在，求出上的值，若不存在，说明理由;

（3）若土+生—2eZ,求整数上的值.

x2再

【答案】（1）左=—16；（2）不存在，详见解析；（3）左=—2或—3或-5.

【解析】（1）因为不、%是关于x的一元二次方程4船2-4fct+《+1=0的两个实根，

左w0左+1-4k1

所以〈/彳7\2/,77,八八，解得左＜0，/入2=.77-，玉+、2=----~77~-1»因为国一司二二，

（—44）-4x4^x（A：+l）＞04k4k114

\21Rn/\2.11dk+\1左+115

所以（$—4）=77，即（玉+4）-4x^2=—^l-4x-T7-=77J~T~=72,k=-16.

10104/10K10

（2）由（1）易知左＜0,=A］，西+x2=1，若存在实数左，使（2国一工2）（国-2々）=一3成立，

11

则（2%一%）（七一2%）=2（占+%）2-9¥2=2-乎?。=一|,解得左=|,因为左＜0,所以不存在实数上使

（2再—x2）（x1—2X2）=一］成立.

左+1

（3）由（1）易知左＜0,xx=——,再+%2=1,贝U

124k

%|X22_（再+%y必__4_^

x2xiXjX2x1x2左+1左+1

因为±+±-2eZ,所以一717cz,因为人为整数，所以后+1=±1、±2、±4,因为左＜0,所以左=—2或

%x,k+\

一3或-5.

方程组的解集

-.方程组的解集与表示

1.方程组的解集：一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中，由每个方程解集得到的交集称

为这个方程组的解集.

2.二元一（二）次方程组的解集表示方法为：{（x4）|（a,A）,…},其中。，6为确定的实数.

三元一次方程组解集的表示方法为：{（x,y,z）|（a,仇c）,…},其中a,b,c为确定的实数.

二.二元一次方程组

1.定义：方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样

的方程组叫做二元一次方程组.

2.二元一次方程组的解法：

（1）代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程

中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简

称代入法.

（2）加减法：对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，得到一个一元

一次方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法.

三、二元二次方程组

1.定义：含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，称为二元二次方程，由一个二

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元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方程组，称二元二次方程组.

2.解二元二次方程组的思路：消元和降次.

四、三元一次方程组

1、定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程，像这样

的方程组叫做三元一次方程组。

2.三元一次方程组的解法：

(1)先观察三个方程中各未知数系数及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，

再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的.

(2)当“三元一次方程组”只含有两个方程时，我们将其中一个未知数看成已知数，

此时，方程组即二元一次方程组，利用消元法思想即可求解.

3.解三元一次方程组时要特别注意：

(1)三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；

(2)解三元一次方程组时，每个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确.

考点一解一元二次方程组

【例1】1.方程组尸+'=1的解集是()

A.{x=O,y=l}B.{0,1}C.{(0,1)}D.{x=0或y=l}

【答案】C

【解析】由［D导：尸］\方程组的解集为{(0,1)}.故选:C.

Ix—y—_1Iy_1Ix—y—_1

,、，一■f2x+y=0

【训I练1】L(多选)有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组二八的解集的是()

A.{(")忖=-1或y=2}B.

C.{x=-l,y=2}D.{(-1,2))

【答案】BD

(2x+y=0fx=-1f.［x=-11

【解析】由jx_j，+3=o,得。=2，解集用集合表示为：⑶叫尸2］或{(T2%故选：BD.

2.若关于x,了的方程组］:的解集为{(L2)},贝I］机-〃=(.)

A.4B.-4C.6D.-6

【答案】D

fmx+4y=7zz、、［加+4x2=7［m=-1

【解析】••・关于X,y的方程组，’的解集为1,2,,解得，<,=

［3x-my=n\3—mx2=n［n=j

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ax-3y=6

3.关于x,y的方程组々/力的解集，不正确的说法是（）

3x-2j=4

A.可能是空集B.必定不是空集C.可能是单元素集合D.可能是无限集

【答案】A

9oax-二3y==6解集是

［解析］当〃=5时，=6与3x—2y=4重合,3x4无限集，则D正确;

9ax-3y=6_

当”5时,3一尸4有单元素集合,则B，0正确；故选：A

ax+by=2,

4.若(3,-2)e(")|,贝!1。+6的值为

bx+ay=-3

【答案】-1

ax+by=2,3。—26=2

【解析】•••（3,-2）e36-2-3,两式相加可得:a+b=-\,故答案为：

bx+ay=-3

考点二解二元二次方程组

x+y=1

【例2】1.方程组22°的解集是()

x-y=-9

A.(4,5)B.(5,-4)C.{(5,-4)}D.{(-4,5)}

【答案】D

x+y=1x=-4x+y=l

【解析】由-4解得尸5,所以方程组22。的解集是{(-4,5)},故选：D

x-y=-9

(x-3)2+y2=9

【训练2】1.解方程组:

x+2y=0

24

x=——

x=0

【答案】5或

12-乂V=0

°12

【解析】依题意％=—2歹，贝|J(一2＞—3)+y2=9,5y2+12y=0,解得＞=。或＞=一~—

24

X=——

x=0

所以方程组的解为:1或

y=0

尸-不

\则丁-孙+艮之值为（）

2.若相异两实数x,y满足2

y+x-2=0

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

14

【解析】两式作差消元得：（x7）（x+y-l）=Onx+y=l（xwy）,反代回去得：x2-x-l=0,

同理可得：y-y-\=Q,由同构及韦达定理有：《丫+_］继而有：x-2xy+y^x（2-y）+2+y（2-x）

（x+y

=2（x+y）-2盯+2=2+2+2=6.故选：D

42_Q2-15

3.求方程组r7V一的解集.

2、一3歹=5

【答案】｛（2,-；）｝

【解析】由题设，4x2=9y2+15=（3y+5）2,整理有”+1=0,可得了=一；，代入2x-3y=5,可得x=2,

・••方程组的解集为｛（2,-g）｝.

考点三解三元一次方程组

x+2y+z=0,

【例3】1.方程组2x-y-z=l,的解集的是（）

3x—y—z=2

A.{(1,-2,3)}B.{(1,0,1)}C.{(0,-1,0)}D.{(0,1,-2)}

【答案】A

x+2y+z=0,

【解析】由题意＜2x-y-z=l,将第一个式子分别与第二、第三个式子相加得：

3x—y—z=2

f3x+y=1[x=1

,」.代入第一个式子，可得Z=3故方程组的解集为：{(1,-2,3)},故选：A

[4x+y=2[y=-2

■f3x+y-2z=0

【训练3】1.已知。々。,则x：V：z=()

[2x-y+3z=0

A.(-1):13:5B.1:(-17):(-5)C.1:5:13D.1:17:5

【答案】A

[3x+y-2z=0

【解析】因为、Q八，两式相加得5x+z=0,则z=—5x,则＞=-13x,

[2x-y+3z=0

所以:z=x:(-13x):(-5x)=1(-5)=(-1):13:5.

2.方程组的解集为

[2x+y+3z=12

【答案】{(x,y,z)|x=5-z/=2-z,zeR}

x-2y-z=]fx-2y=1+zx=5-zx-2y-z=1

【解析】由,联立求解得,故方程组的解集为

2x+y+3z=12\2x+y=12—3zy=2—z2x+y+3z=12

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{(x,y,z)|x=5-z,y=2-z,ze7?}故答案为：{(x,y,z)|x=5-z,y=2-z,ze7?}

考点四方程组在实际问题中的应用

【例4】1.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组