动态平衡及临界与极值问题（解析版）-2026届高考物理一轮复习讲义

第二章相互作用——力

动态平衡及临界与极值问题

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核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点

考点1动态平衡问题★★★☆☆

考点2平衡中的临界与极值问题★★★☆☆

（星级越高，重要程度越高）

W真题挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯

【考情分析・探规律】

知识点年份试卷及题号

20242024•重庆

动态平衡及临界与极值问题

2023山东卷T2

20222022•河北、2022•湖南、2022•浙江

2021广东卷T11

【知识梳理】

考点一动态平衡问题

1.动态平衡

动态平衡就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，但变化过程中的每一个状态均可视为

平衡状态，所以叫作动态平衡.

2.常用方法

图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法.

【考法归纳】动态平衡问题的处理方法

特征及方法解题思路图示

八\

根据平衡条件得到因变量与自变量的函

解析法数表达式，根据自变量的变化确定因变量

的变化1

F=G

一力恒定，另一

J

力方向不变

图解法恒力反向、定力平移、变力旋转L

4

力的矢量三角形与几何三角形相似，进而1

相似三

由力的矢量三角形与几何三角形对应边

角形法

成比例，判断未知力的大小和方向

一力恒定，另两

力均变化

画出力的矢量三角形的外接圆，以不变的

辅助圆法力为弦，用“同弦所对的圆周角相等”的

/

规律判断移动过程中各力的变化情况

、、、______-，

移动两杆：

一力恒定，另两晾衣绳,近:d1,1不变f6I,T1

1远:dt,1不变f，t,Tt

/1Sin0"/,siin6\

力方向均变化模型b

纵:d不变"不变-0不变，T不变

口诀：近小远大纵不变Lud杆2

考点二平衡中的临界与极值问题

1.临界问题

当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不

出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等.临界问题常见种类：

(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力.

(2)绳子恰好绷紧，拉力尸=0.

⑶刚好离开接触面，支持力FN=0.

2.极值问题

平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.

【考法归纳】临界极值问题的处理方法

首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；

极限法临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而

要把某个物理量推向极端，即极大和极小

通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（画出

数学

函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数

分析法

极值）

物理根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程分析，利用平行

分析法四边形进行动态分析，确定最大值与最小值

【真题挑战】

一、单选题

1.（2025・河北・高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面

内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对

其施加拉力凡小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则尸的最大

值为（）

C.GD.V2G

【答案】B

【详解】分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力尸最大，根据平衡条件有2fmeos45。=G

解得公亨

故选B。

2.（2025・陕西西安•三模）如图所示，要使物块静止在斜面上必须在物体上施加一平行于斜面向上的拉力F,

已知尸的最大值为。，最小值为b,则物块所受的最大静摩擦力为（）

【答案】A

【详解】根据题意，当尸最大时，^Fmix=mgsm0+fm=a

当产最小时，有工^+广4+九二4空也。

联立可得£=寸

故选A„

3.（2025・山东日照•二模）如图所示，一根轻质细绳两端分别固定在等高的A、8两点，一灯笼用轻质光滑

挂钩挂在细绳上，挂钩与细绳接触的点为。。下列判断正确的是（）

A.无风时，将8点缓慢竖直向上移动的过程中，细绳上的弹力逐渐增大

B.无风时，将B点缓慢竖直向上移动的过程中，NAOB逐渐减小

C.若灯笼受到水平向右的恒定风力，灯笼静止时，/AO8比无风时小

D.若灯笼受到水平向右的恒定风力，灯笼静止时，A。段的拉力大于3。段的拉力

【答案】C

【详解】AB.设绳长为3两点之间的距离为％根据几何关系可得sin乌丝

无风时，根据平衡条件可得2Fcos、一=mg

^

解得F=一。ZAOB

2cos---------

2

将8点缓慢竖直向上移动的过程中，NAOB不变，细绳上的弹力不变，故AB错误;

C.受到水平向右的恒定风力时，灯笼受力增加一个风力，四力平衡，两个绳子的拉力的合力与重力、风

力的合力相平衡，如图所示的状态

设有风时绳子夹角的一半为a,由几何关系有4+4=Lsintz

由上述分析可知无风时，由几何关系有"=Lsin4等

因为d>Lj+4

联立可知2a>ZAOB

故C正确；

D.由于不计绳子的质量和绳与衣架挂钩间的摩擦，因此。点为活结，活结两端的拉力总是大小相等，故

D错误；

故选C。

4.（2025•江西赣州•二模）如图为某科普博主带领同学们做实验的情景，有顶角。不同的圆锥放在桌面上,

现让同学们挑战按图示那样用手压紧圆锥表面将其拿起。若手与圆锥体间的动摩擦因数为0.5,最大静摩

擦力可认为等于滑动摩擦力。则以下不同顶角圆锥，有可能被拿起的是（）

A.90°B.74°C.60°D.45°

【答案】D

【详解】设左右手对接触面弹力均为尸，则对于圆锥整体，若拿的起来时，有Z"FcoS'N机g+2月sin,

整理得〃cos--sin—>>0

22IF

Q

故〃=0.52tan万

计算发现只有。=45。满足条件，故D选项符合题意。

故选D。

5.（2025•安徽•三模）在抗震救灾中，常常要把压在被困人员身上的建筑物抬起，以便施救。某次在山坡

灾害救援中，为防止坡道上的石块下滑对下方被困人员造成二次伤害，救援人员采取适当的办法以防止石

块下滑，可以简化如图，物体置于倾角为a的粗糙斜面上，斜面体放在粗糙的水平地面上，用水平力尸推

物体，物体及斜面体均保持静止，尸适当减小时，物体、斜面体仍保持静止，则下列说法一定正确的是（）

A.物体所受的合力减小

B.斜面体对物体的支持力减小

C.物体所受摩擦力减小

D.地面对斜面体的支持力减小

【答案】B

【详解】A.因为物体始终保持静止，故物体所受合力始终为零，所以物体所受合力不变，故A错误；

B.对物体进行受力分析，物体受到重力以？、水平力尸、斜面体的支持力N和摩擦力九将重力沿斜面

和垂直斜面方向分解，垂直斜面方向有N=7"gcosar+尸sina

所以当尸减小时斜面体对物体的支持力减小，故B正确；

C.摩擦力的方向需要分情况讨论

若Feosa>mgsina,贝I］摩擦力f=Feosa—mgsina

月减小时，摩擦力减小

若Feosa<mgsina,则摩擦力f=mgsma-Feosa

厂减小时，摩擦力增大，所以物体所受摩擦力不一定减小，故C错误；

D.对物体和斜面体整体进行受力分析，整体受到重力（M+加）g、地面的支持力N地、水平力下和摩擦力,

在竖直方向上有N地=（M+m）g

与尸无关，所以地面对斜面体的支持力不变，故D错误。

故选B。

6.（2025•河北邯郸•模拟预测）我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中

运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为15。，

方形矿石与斜面间的动摩擦因数为在，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为根的矿石沿斜面匀速上滑,

3

所需的拉力最小值为（）

A.gmgB.%gC.9mgD.

【答案】A

将稣与不合成,设其合力方向与然成。夹角，易知tana系邛，得一。。

分别作出稣、用与工合力的反向延长线，可知重力与丹的反向延长线夹角与斜面倾角相等，即4=15。,

由几何关系得，过重力的下端点作既与耳合力反向延长线的垂线，即为所需的拉力最小值，

&>=mgsin（a+月），得&“=日机g。

故选Ao

7.（2025・陕西•三模）在一个倾角为，=37。的足够长粗糙斜面上，放置一个质量为机=2kg的物块，物块与

斜面间的动摩擦因数〃=0.5。现对物块施加一个大小和方向都可以改变的外力/，使物块在斜面上以恒定

速度v=2m/s沿斜面向上运动。已知重力加速度g=10m/s2,sin37°«0.6,cos37°«0.8,则外力F的最小值

为（）

A.4V5NB.8A/5NC.12ND.16N

【答案】B

【详解】设外力与尸与斜面的夹角为凡物块在斜面上以恒定速度沿斜面向上运动

由垂直于斜面方向平衡得FN+FsinO=mgcos37

由平行于斜面方向平衡得/cos6-mgsin37-耳=。

又耳=〃/

.14

设sin"=丁一cosa=

Q1+42

mgsin37+/jmgcos37

整理得尸=

Jl+金sin(a+0)

当夕+"9。时，夕卜力，有最小值/=一.3gg8s37=84N

故选B。

8.（2025•山东泰安・模拟预测）如图甲所示，我国古建屋顶多采用蝴蝶瓦方式铺设。图乙是两片底瓦和一

片盖瓦的铺设示意图，三根相同且平行的椽子所在平面与水平面夹角为37。图丙为截面示意图，圆弧形

底瓦放置在两根相邻的椽子正中间，盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触。已知相邻两椽子与底瓦接触点

间的距离为底瓦半径的四倍，盖瓦和底瓦形状相同，厚度不计，质量相同、最大静摩擦力等于滑动摩擦

力，重力加速度大小g取lOm/sz,在无扰动的情况下，底瓦与盖瓦均保持静止。若仅铺设这三片瓦进行研

究，则底瓦与椽子间的动摩擦因数至少为（）

友「3/

A

-T416

【答案】D

【详解】题意知相邻两椽子与底瓦接触点间的距离为底瓦半径的垃倍，设椽子与底瓦接触点间的弹力外

方向与竖直方向成a角，底瓦半径为R,根据几何关系可知.TV2

sma=———=——

R2

可知。=45。

以两片底瓦和盖瓦整体为研究对象，垂直椽子所在平面方向上整体处于平衡状态，可知

3mgcos37°=4综cosa

在无外界干扰的情况下，为使底瓦与盖瓦不下滑，应使3mgsin37。44〃心

联立解得还4〃

8

可知底瓦与椽子间的动摩擦因数至少为述o

故选D。

9.（2025・贵州贵阳•模拟预测）倾角为。的斜面固定在水平面上，在斜面上放一个质量为加的物块A,物

块A和斜面之间的动摩擦因数为〃，且〃〉tan。，现用一沿斜面向上的力/作用于A上，使其与斜面保

持静止，则（）

__________________________

A.物块A一定不受摩擦力的作用

B.当厂＞〃2gsin。时，物块A所受摩擦力一定沿斜面向下

C.当尸cmgsin。时，物块A所受摩擦力摩擦力一定沿斜面向下

D.当尸＜mgsin6的情况下逐渐增大时，物块A所受摩擦力一定沿斜面向下

【答案】B

【详解】A.根据平衡条件可知，只有当尸=〃名$苗9时，物块A才不受摩擦力的作用，故A错误；

B.当产〉Mgsin。时，由沿斜面方向受力平衡可知，物块A所受摩擦力沿斜面向下，故B正确；

CD.当尸＜〃2gsin。时，由沿斜面方向受力平衡可知，物块A所受摩擦力摩擦力沿斜面向上，故CD错误。

故选B。

10.（2025•浙江湖州•三模）如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A,另一端通过光滑

滑轮连接重物B,此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力尸作用在滑块A上，使A向右移动。已知A、B

的质量分别为相和2如滑块A与细杆间的动摩擦因数为且。则（）

3

A.若A做匀速运动，则B也做匀速运动

B.若B做匀速运动，则A做加速运动

C.若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为30。时，拉力尸有最小值

D.若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为30。时，拉力/一直在增大

【答案】D

由几何关系有%=VAcos。

若A做匀速运动，。逐渐减小，cos夕逐渐增大，则B的速度逐渐增大；若B做匀速运动，夕逐渐减小，cos，

逐渐增大，则A的速度逐渐减小，故AB错误；

CD.对滑块B有T=2相g

对滑块A有进行受力分析如图所示

由于滑块A从图示（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至。=30过程中30<6><90

可知7sin6=2mgsin0>mg

则在竖直方向上有Tsin8=Mg+N

则在水平方向有尸=〃N+TCOS6

八〃

联立角军得F=2mgcos6+2pimgsin0-jumg=2mgyll+廿,1cos6/+sin•6A-jumg

iJwJ

1V3

假设sina=cosa=

J+〃22J1+"2

解得a=60

则可求得F=2mg，l+/J?sin（60+0^-jumg

滑块A从图示虚线位置开始缓慢向右移动过程中，。减小，可知产逐渐增大，当6=30时

解得拉力厂有最大值%.=6用

故C错误，D正确。

故选D。

二、多选题

11.（2025•山西吕梁•三模）如图所示，将一光滑轻杆固定在水平地面上，杆与地面间的夹角为6,一光滑

轻环套在杆上，一个大小和质量都不计的滑轮用轻绳O尸悬挂在天花板上，用另一轻绳绕过滑轮系在轻环

上，轻绳另一端系一质量为小的小物块，用手扶住小物块使。尸恰好在竖直方向。现用手扶着小物块使其

缓慢向下运动，到达某位置时松手，小物块恰好可以保持静止，此时（已知重力加速度大小为g,小物块

未碰杆或地面）（）

A.绳尸。与水平方向的夹角为90。-6

B.绳PQ的张力大小为

C.绳0尸与水平方向的夹角为90。-6

Q

D.绳OP的张力大小为2相gcosj

【答案】ABD

【详解】A.再次平衡时，以轻环为对象，根据平衡条件可知，绳尸。与杆垂直，所以绳尸。与水平方向的

夹角为90。-0,故A正确；

B.系统处于平衡状态，以小物块为对象，根据受力平衡可知，绳P。的张力大小为，烟，故B正确；

C.绳O尸在P。绳和系小物块的绳夹角的角平分线上，所以绳。尸与水平方向的夹角为90。-1，故C错误;

D.根据平衡条件可得绳OP的张力大小为TOP=2。2cos万=2Wgcos-

故D正确。

故选ABDo

12.（2025•云南玉溪•三模）如图所示，倾角为30。的斜面和半径为R的半圆弧连接，圆心。在斜面的延长

线上，连接点M处有一轻质定滑轮，N为圆弧最低点且NMON=60。，斜面的底端固定一挡板P。物块B、

C间由一轻质弹簧拴接置于斜面上（弹簧平行于斜面），其中C紧靠在挡板P处，B用跨过滑轮的不可伸

长的轻绳与小球A相连，开始时将小球A锁定在M处，此时轻绳与斜面平行，且恰好伸直但无张力，B、

C处于静止状态。某时刻解锁小球A,当小球A沿圆弧运动到最低点N时（物块B未到达M点），物块C

对挡板的作用力恰好为0。已知小球A的质量为5加，物块B、C的质量均为2m，重力加速度为g,小球

与物块均可视为质点，不计一切摩擦，弹簧始终处于弹性限度内，则（）

A.小球A从M点运动到N点的过程中，物块B的机械能守恒

B.弹簧的劲度系数％=2箸

C.小球A到达N点时，小球A的速度大小巧

D.小球A到达N点时，物块B的速度大小v2=，警

【答案】BC

【详解】A.小球人从/点运动到N点的过程中，物块B除重力以外还有弹簧弹力、绳子拉力做功，所

以物块B的机械能不守恒，故A错误；

B.未解锁小球A之前，弹簧处于压缩状态，对物块B受力分析有2mgsin30。=心

小球A到达N点时，物块C对挡板的作用力恰好为0,此时弹簧处于伸长状态，对物块C进行分析有

2mgsin30°=kx2

根据几何关系有玉+%=R

联立解得人=笔

故B正确；

CD.小球A到达N点过程，小球A、物块B、弹簧组成的系统机械能守恒，又芯=%

可知弹簧弹性势能始末相等，则由机械能守恒可得5mgR（l-cos60。）=ImgRsin300+1x5mvf+1x

根据关联速度分解可得v2=匕sin60?

联立解得『解’%=膘

故C正确，D错误。

故选BCo

三、实验题

13.（2025•黑吉辽蒙卷・高考真题）某兴趣小组设计了一个可以测量质量的装置。如图（a）,细绳1、2和

橡皮筋相连于一点，绳1上端固定在A点，绳2下端与水杯相连，橡皮筋的另一端与绳套相连。

为确定杯中物体质量机与橡皮筋长度尤的关系，该小组逐次加入等质量的水，拉动绳套，使