第5章 分式 单元测试-浙教版七年级数学下册考点复习

第5章分式单元测试

总分：120分

考生姓名：

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：第5章（分式）。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

1.下列代数式是分式的是（）

X1x-2

A.B.C.2xyD.

3X4

【答案】B

【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义逐项判断即可,熟练掌握分式的定义是解题的关键.

【详解】解：A、g是整式，不符合题意；

B、工是分式，符合题意；

X

C、2呼是整式，不符合题意；

D、二是整式，不符合题意.

4

故选：B.

2.下列分式中，属于最简分式的是（）

【答案】B

【分析】根据最简分式的定义对各选项进行判断.本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有

公因式时，叫最简分式.

【详解】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式2,不属于最简分式，故A选项不符合题意;

B、该分式的分子、分母中不含有公因数，则该分式是最简分式，故B选项符合题意；

C、该分式的分子、分母中含有公因式则该分式不是最简分式，故C选项不符合题意;

D、该分式的分子、分母中含有公因式。-可，则该分式不是最简分式，故D选项不符合题意;

故选：B.

3xx+1

3.计算:()

2x—l2x-l

2%

，27^1B.C.1D.x

A2x-l

【答案】C

【分析】本题考查分式化简.根据题意利用分数计算直接作差即可.

3xx+\3x-x-12x-\

【详解】解:=1,

2x-\2x-l2x-l2x-l

故选：C.

2x

4.如果把分式——中的x与y的值都扩大2倍，那么分式的值（

工一〉

A.不变B.扩大2倍C.缩小为原来的一半D.扩大4倍

【答案】A

【分析】本题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小〃倍，就将原来的数乘以〃或除以力.

解答此题时，可将分式中的x,用2x,2y代替，然后计算即可得出结论.

2x2犬2x2x2x

【详解】解：依题意得：三二不^"；,

2x、.

・・・把分式——中的％与y都扩大2倍，那么分式的值不变,

工一丁

故选：A.

5.下列各式一定成立的是（)

,aa—1b_^_

A.—=---B.

bb-1aab

2

nn(a+1nn+a

C./2D.

mm\a+imm+a

【答案】C

【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，特别要注意同乘或

同除的数或整式是否为0.

根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的值不变，即可

得出答案.

【详解】解：选项A、D是分子、分母同加或同减，不符合分式的基本性质，故选项A、D错误；

隋可能为0,故选项B错误；

分式的分子和分母同乘/+1,且/+1/0,符合分式的基本性质，故选项C正确.

故选C.

6.小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒.设第一次购

买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（）

300300300_300.

A.=2B.-2

Xx+5Xx+5

300300300300

C.=2D.-2

x-5Xx-5X

【答案】C

【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），根据“第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒”这一等

量关系可列方程.

【详解】解：设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程

300300c

x-5x

故答案为：C.

„_,心11c_^5a+3ab+5b、

7.已知一+不=3,求————=（）

aba—2ab+b

A.-9B.12C.-15D.18

【答案】D

【分析】本题考查分式化简求值；准确化简分式并掌握整体代入法是解题的关键；

首先对化简工+:=3变形为a+>=3",然后化简原式，再整体代入即可解答.

ab

【详解】V-+7=3

ab

.3=3

ab

:.a+b=3ab

.5a+3ab+5b

a-lab+b

_5(Q+/?)+3ab

(Q+Z?)—2ab

_5x3ab+3ab

3ab—2ab

_18ab

ab

=18.

故选：D.

8.如果关于x的分式方程1=4有增根，那么人的值为()

x-22-x

A.-10B.-8C.-6D.-4

【答案】B

【分析】本题主要考查了分式方程的增根，

先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1,当最简公分母为0时产生增根，可得解.

【详解】解：去分母，得4x-(x-2)=T,

去括号，得4元一x+2=-左，

移项，合并同类项，得3x=—2—左,

系数化为1,得x=

•••原方程有增根，

%—2=0,

解得人=-8.

故选：B.

9.已知“+3=5,则/■—的值是()

A.27B.25C.23D.21

【答案】C

【分析】此题考查了分式的化简求值，以及完全平方公式，把已知等式左右两边平方，利用完全平方

公式化简，计算即可.

【详解】解：

cr+\=[a+^\-2iz--=52-2=23,

aka)a

故选：c.

10.已知。为整数，且丝1一金一/;6a+9为正整数,则所有符合条件的。的值的和为

a—3a+2a—4

()

A.12B.10C.6D.4

【答案】B

【分析】本题考查了分式的混合运算和化简，乘法公式等知识点，解题的关键是熟练掌握公式法因式

分解和分式的约分.

利用分式混合运算法则对原式进行化简，根据要求知道分子是分母的正整数倍，得出符合题意的。的

值.

a+1a—3a2—6a+9

【详解】解：__________!---------

a—3a+24—4

_a+1a-3+-2)

a—3a+2("3)2

47+1a—2

U-—3Q—3

6Z+1-〃+2

。-3

3

〃-3

•・,一3三为正整数，且。为整数，

a-3

a-3=3或。—3=1,

的取值为6,4,

则所有符合条件的。的值的和为6+4=10,

故选：B.

第n卷

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.

11.若分式三有意义，则x的取值范围是__________.

X-]

【答案】

【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：x-l^o,

••Xw1;

故答案为：XH1.

12.若2=3,则世2的值是

aa

【答案】4

【分析】本题考查了分式的性质，分式的化简求值，掌握分式的性质是关键.

根据题意得到6=3°,代入计算即可.

b

【详解】解：•••2=3,

a

b=3a,

.a+ba+3a

..------=--------=4A,

aa

故答案为：4.

%+1x—3

13-分式(x-2)(l)与(x+6)J)的最简公分母是—­

【答案】(》-1心-2加+6)

【分析】本题考查了最简公分母的计算，掌握最简公分母的计算方法是关键.

最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幕的积作为公分母，这样的公分

母叫做最简公分母，由此即可求解.

【详解】解：分式(x_2)(x_1)与卜+6)(》.1)的最简公分母为(》—1)(工—2))+6),

故答案为：(x-l)(x-2)(x+6).

14.已知分式加=二+言,若%=4,孙=2则嫡值为——

【答案】y

))

【分析】根据xy'x(y-3+y(x-3,化简后代入计算即可.

x-3y-3——

本题考查了分式的通分，求分式的值，熟练掌握通分是解题的关键.

【详解】解：**+弋=V-3；+73广=2^3(*),

x-3y-3xy-3x-3y+9xy-3^x+y)+9

当田7=4,孙二-2时，

-4-1216

M=

-2-12+95

故答案为：.

15.已矢口“60=1,贝!J———+———+—-—=_____.

ab+a+1bc+b+1ac+c+1

【答案】5

【分析】本题考查了分式的化简求值，关键是条件/c=l的灵活运用.由向c=l,代入所求分式进行

化简即可得出答案.

【详解】解：：abc=1,

.5。5b5c

••--------1---------1--------

ab+a+\bc+b+1ac+c+1

5a5bxa5cxab

---------F------------F------------

ab+a+1(be+Z?+l)x〃(ac+c+l)x〃Z?

5a5ab5abc

--------1-----------1--2----------

ab+a+1abc+ab+aabe+abc+ab

5a5ab5

--------1---------1--------

ab+a+\\+ab+aa+l+ab

5a+Sab+5

ab+a+1

=5.

故答案为：5.

16.若一个四位自然数/千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称/为“和数”，

那么最小的“和数”为.已知一个四位自然数8=10004+1006+10。+3d（其中a,b,c,d均为

整数，14a,649且14CW8,4VdW6）是“和数”，且能被6整除，将加勺千位数字的2倍与百位数

字的差记为。（切，个位数字的2倍与十位数字的和记为尸（0,则满足条件的然的最大值为

【答案】1002—

【分析】本题考查了整式加减的应用，分式的化简求值，新定义，正确理解定义是解题的关键.

根据和数”的定义确定即可；根据题意得出自然数庞勺千位数字为a,百位数字是6,十位数字是（c+1）,

个位数字是（3d-10）,瑞=:；[]9'再根据“和数”的定义以及该“和数”能被6整除得出

d=4或1=6,再分类讨论解答即可.

【详解】解：根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为2的正

整数倍，

•••百位、十位、个位上的数字之和为2,该自然数千位上的数字为1,

，最小的“和数”为1002,

根据题意可得自然数加勺千位数字为a,百位数字是6,

V4<<7<6,

12<3rZ<18,

2<3t7-10<8,

十位数字是（c+1）,个位数字是（3d-10）,

:.Q⑻为（2a-b）,P（8）为（6〃+c-19）,

Q（B）2a-b

一P（B）-c+6d-19'

根据“和数”定义得2a=b+c+l+3d-10,

・•,该“和数”能被6整除，

•••该“和数”为偶数且各位上的数字之和为3的倍数，

v4<J<6,（3d-10）为偶数，

."=4或6,

①当d=4时，2a=Z?+c+3,BP2a—b=c+3,

Q（3）_2a-b_c+3_c+3

-P（B）—c+6d-19~c+24-19-7+5'

令r=c+5,则64Y13,原式=（c+5）-2=「,

c+5t

当/=13时，原式取到最大值为《；

r2a-bc+9c+9

②当d=6时t，2a=b+c+9，—zx===f

c+6a-19c+36-19c+17

令，=c+17,则18WM25,

原式二（"17）-8=］上

c+17t

当t=25时，原式取到最大值为力，

（）

综上所述，露2的B最大值为已11，

故答案为：1002；—.

三、解答题：本题共8小题，共72分.

17.解方程:

1X—1

⑴

x-2x-2

2r5

2%+55x-2

【答案】（1）无解

7

⑵x=W

【分析】（1）方程两边乘最简公分母（x-2）,把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到主

的值，经检验即可得到分式方程的解;

（2）方程两边乘最简公分母（2》+5乂5》-2）,把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x

的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】（1）解：方程两边乘最简公分母（x-2）得,

l=x—l,

解得：x=2,

检验：当尢=2时，％—2=2—2=0,

・・・x=2是分式方程的增根，

・・・原分式方程无解；

（2）方程两边乘最简公分母（2%+5）（5%-2）得,

2x（5x-2）+5（2x+5）=（2x+5）（5x-2）,

7

解得：l=

,712《+5卜泊

检验：当％=§时,（2x+5）（5x-2）=*0,

=:7是分式方程的解，

7

•••原分式方程的解为x=（.

【点睛】本题考查解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.掌握解分式方程的步骤

是解题的关键.

18.先化间，再求值：［二+w其中。=子

【答案】1

a5

【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键.利用分式的运算法

则化简，再代值计算即可求解.

a2+,a

【详解】解:

a-1(〃+l)(6z—1)

1+

a-\+

]_

a

代入，=：,原式一上一5.

22

19.某市正在修建地铁线路，该项工程使用我国自主研发的“春城一号”盾构机进行挖掘.在挖掘某

段长240米的特殊路段时，盾构机的工作效率仅能达到挖掘正常路段的80%,打通这段路比打通相同长

度的正常路段多用了5天.若挖掘正常路段，盾构机每天能掘进多少米？

【答案】12米

【分析】本题考查了分式方程的应用，根据设挖掘正常路段，盾构机每天能掘进1米，则挖掘特殊路

段，盾构机每天能掘进0.8犬米，结合“在挖掘某段长240米的特殊路段时，打通这段路比打通相同长度

的正常路段多用了5天”，进行列分式方程，再解得％=12,最后验根，即可作答.

【详解】解：设挖掘正常路段，盾构机每天能掘进1米，

则挖掘特殊路段，盾构机每天能掘进0.8、米.

上日衿―240240U

由寇思得777；---------=5,

0.8xx

皿240240匚

贝IJ--------------=5,

0.8%x

得羲费=5,

即急3

x=12.

经检验，x=12是原分式方程的解，且符合题目要求.

答：挖掘正常路段，盾构机每天能掘进12米.

bc

20.已知非零头数b,c,m,〃满足机+及=一一,mn=—.

aa

(1)若6=1,c=2,求工+工的值；

mn

⑵嘉淇说：“在满足题干的基础上，廿一4公的结果一定是正数.”请你通过计算判断嘉淇的说法是

否正确.

【答案】(1)-3

(2)嘉琪的说法不正确

【分析】本小题考查完全平方公式、分式的加法运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键.

(1)根据分式的加法运算即可求解；

(2)根据题意得出廿_4℃=(“机-助)20,根据非负数的性质，即可求解.

■、"ATI■/«、，r，ITl+〃b

【详解】(1)解AT：原式=----=一一.

mnc

当。=1,。=2时，原式=一；；

(2)嘉琪的说法不正确，理由如下：

bc

m+n=——,mn=—,

aa

:.b——a(jn+n),c=anm

b1-4ac=[-a(m+a)]2_4a2mn=-2a2mn+«2n2=^am-anf

・.・Q,m,〃是非零实数，

/.^am—an^>0,

.•方—4〃c的结果是非负数，

，离淇的说法不正确.

21.阅读下列解题过程，并回答问题.

已知龙H—=3,求/H--,

XX

解：x2+-^=(x+^-]-2=9-2=7.

X\X)

仿照上述解法求解：已知尤2-5X+1=0,求x」的值.

【答案】土收1

【分析】本题考查了完全平方公式，分式的化简求值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键.

先根据已知条件得到x+：=5,再把(x-g：仿照题干的方法化为(x+jj-4,代入数值即可求解

J的值.

X

【详解】解：vX2-5X+1=0,

x—5H—=0,即xH—=5,

XX

***x—=±，21,

X

22.观察下列方程的特征及其解的特点：

2

①犬H—=—3的解为x=-1,x=—2；

Xx2

②xH—=—5的解为玉=-2,X=—3；

X2

12

③x+—=-7的解为％=-3,々=一4.

x

解答下列问题.

(1)请你写出一个符合上述特征的第4个方程」其解为

(2)根据这类方程特征，第册方程为」其解为

20F?2M

［答案］(1)%+——=-9,再=一4,x=-5；(2)X+-----=-2n-l,x=-n,x=-n-l

x2xx2

【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，根据方程和方程解的特征找到规律是解题的关键.

(1)根据上述3个方程及其解的规律，可知(-4)x(-5)=20,(—4)+(-5)=-9,然后写出即可；

(2)根据这类方程特征可知，(一次)(一〃-1)="+〃，(一九)+(-〃-1)=一2〃一1,然后写出即可.

【详解】解：(1)由题意得：

(T)x(—5)=20,(—4)+(—5)=-9,

20

所以：第四个方程为：%+—=-9,其解为：须=-4,X=-5,

x2

故答案为：xH=—9,再=-4,x=—5；

X2

(2)由题意得：

(一〃)(f-1)=n2+n,(-n)+(-〃-1)=-In-1,

2

+n

所以：第〃个方程为：x+--In-1,其解为：x1=-nfx2=-n-l,

x

2

故答案为：x+n+H=-2ra-l,X|=-w,^2=-«-1.

X

23.阅读下列材料

在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分

2

式.例如，分式一1二，年2r」是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分

x+2r-5x

式.例如，分式》尤+]，工丫2是假分式.一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例如，

X-1x-1

x+1(x-1)+22

X—1X—1X—1

(1)下列式子中，属于真分式的是一(填序号)；

G1-X+1业.④x2+2

①一；②丁2

x2x+l'D

(2)将假分式生二化为一个整式与一个真分式的和；

X+1

⑶已知整数X使分式2始+5.—20的值为整数,则满足条件的整数x=.

x-3-

【答案】(1)①③；

(2)2X-1=2(X+1)-3=2_^；

x+1x+\x+1

⑶2或4或-10或16.

【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

(1)根据真分式的定义即可求解；

(2)根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；

(2)根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出

x的值.

1VJ-14丫~1~2

【详解】(1)解：根据真分式的定义可知：①L是真分式；②干是整式；③岁T真分式；④

x2x2+l

元2

"是+2假分式；

故选：①③；

2x+13*7

(2)解：g£zl=()-=2--？-；

x+1x+lX+1

(3)解：2/+5“-20

x-3

_2犬—6工+1卜