分式方程-2023年中考数学一轮复习高频考点

专题11分式方程

一、解分式方程

【高频考点精讲】

1.解分式方程的步骤

(1)去分母。方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。

(2)去括号。系数分别乘以括号里的数。

(3)移项。含有未知数的式子移到方程左边，常数移到方程右边。

(4)合并同类项。

(5)系数化为lo

(6)检验。把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0,这个根就是增根；如果最简公分母不等于0,

这个根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程无解。

2.换元法解分式方程

(1)将原分式方程中含有字母的整体用另一个字母代替，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法。

(2)常见类型

①直接换元。例如(x—1)2—2(x—1)—15=0,设y=x—1。

②配方换元。例如久/+二)—3(x+^)=l,原方程配方，^2(X+-)2-3(X+-)-5=0,设丁=工+工。

XXXXX

③倒数换元。例如X—2—=设'=x工—2^。

xx-2x

1212

④变形换元。例如/——-——=2x-l,可变形为V—2x——-——=—1,设y=/—2x。

X2-2XX-2X

【热点题型精练】

2m

1.(2022•遂宁中考)若关于%的方程-=^~~；无解，则机的值为()

X2x4-1

A.0B.4或6C.6D.0或4

2(2x+l)—mx,

4x+2=mx,

(4-m)x=-2,

・・•方程无解，

.*.4-m=0或2x+l=0,

、12

即4-m=0或x=一不=---,

z4—m

或m=0,

答案：D.

2%+TTI

2.（2022•德阳中考）如果关于％的方程-----=1的解是正数，那么根的取值范围是（）

x-1

A.YYI>-1B.m>-1且mWOC.m<-1D.m<-1且m7-2

解：两边同时乘（x-1）得，

2x+m—x-1,

解得：X--1-"2,

又・・•方程的解是正数，且xWl,

（%W1—m1

解得：[爪<_1,

（771H—2

：.m的取值范围为：机<-1且mW-2.

答案：D.

I2x

3.（2022•毕节中考）小明解分式方程——=——-1的过程如下.

x+13%+3

解：去分母，得3=2x-（3尤+3）.①

去括号，得3=2x-3x+3.②

移项、合并同类项，得-尤=6.③

化系数为1,得x=-6.④

以上步骤中，开始出错的一步是（）

A.①B.②C.③D.©

解：去分母得：3=2x-（3尤+3）①,

去括号得：3=2x-3x-3②，

...开始出错的一步是②，

答案：B.

4.（2022•杭州模拟）若实数x满足/一3%+2=：-当，则x+3勺值为（）

X好X

A.3B.0C.3或0D.±3

解：由题意可得

11

（久+1）2-3（%+0=3

故％+[=3或0（其中0不符合题意，舍去）

答案：A.

771,+12.X

5.（2022•无锡模拟）若关于x的方程一7-「=0有增根，则根的值为（）

x-22-x

A.-5B.0C.1D.2

m+12x

解:

x-22-x

TTI+1+2X=0,

..•方程有增根，

，x=2,

把x=2代入x=-"产中，

om+1

2=一丁

解得：机=-5,

答案：A.

32

6.(2022•济南中考)代数式——与代数式——的值相等，则尤=7.

x+2x-1-----

解：由题意得，

32

x+2x-1'

去分母得，3(x-1)—2(x+2),

去括号得，3x-3=2x+4,

移项得，3x-2x=4+3,

解得尤=7,

经检验x=7是原方程的解，

所以原方程的解为x=7,

答案：7.

7.(2022•齐齐哈尔中考)若关于x的分式方程—-+---=-的解大于L则机的取值范围是m>0且m

x-2x+2X2-4---------

解：—+—=久+2一，

•x-2x+2(%+2)(工-2)'

给分式方程两边同时乘以最简公分母(x+2)(x-2),

得(x+2)+2(x-2)=x+2m,

去括号，得x+2+2x-4=x+2m,

解方程，得％=m+1,

检验：当

1W2,ITI+1W-2,

即加为且mW-3时，x=m+\是原分式方程的解，

根据题意可得，

m+1>1,

.*.m>0且mT^l.

答案：加〉0且znWl.

8.（2022•宁波中考）定义一种新运算：对于任意的非零实数a,b,a所若（x+1）区x=&则x的值

为———.

112%+1

解：根据题意得：+—=----，

x+1XX

化为整式方程得：x+x+l=（2x+l）（x+1）,

解得：x=

1

检验：当x=—2时，x（x+1）/0,

・,•原方程的解为：x=-1.

答案：-今

1

9.（2022•宿迁模拟）若xV2,且—+|x-2|+x-1=0,则x=1.

x-2

八1

解：---+|x-2|+x-1=0,

x-2

Vx<2,

1

；・方程为---+2-x+x-1=0,

X—2

方程两边都乘％-2,得1=-（x-2）,

解得：x=l,

经检验x=l是原方程的解，

答案：1.

2%_x+2x

10.（2022•上海模拟）用换元法解方程一；+——=3时，如果设一=y,那么原方程可化为关于y的整式方程

x+2xx+2'

是2V2-3y+l=0.

解：设丫=笠7，则上=

yx

则原方程可化为：2y2-3y+l=0.

答案：2y2-3y+l=0.

3—%i

11.（2022•贺州中考）解方程：——=——-2.

x-44-%

解：方程两边同时乘以最简公分母（x-4）,

得3-x=-1-2（%-4）,

去括号，得3-尤=-1-2x+8,

解方程，得x=4,

检验：当x=4时，尤-4=0,

，x=4不是原方程的解，原分式方程无解.

43

12.（2022•西宁中考）解方程：———=0.

xz+xx£-x

解：方程两边同乘以尤（x+l）（X-1）得：

4（尤-1）-3（x+1）=0.

去括号得：

4x-4-3%-3=0,

移项，合并同类项得：

x=7.

检验：当x=7时，x（x+1）（x-1）W0,

：.x=7是原方程的根.

；.x=7.

二、由实际问题抽象出分式方程

【高频考点精讲】

1.利用常见数量关系确定等量关系。例如行程问题中的相遇时间、追击时间相等。

2.利用关键词确定等量关系。例如“倍”“多”“少”等。

【热点题型精练】

13.（2022•丽水中考）某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元,

购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程任竺=-—30,则方程中x表示（）

2xx

A.足球的单价B.篮球的单价C.足球的数量D.篮球的数量

解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个.

50004000

根据题意可得:

答案：D.

14.（2022•淄博中考）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具.开展

课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但

采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%.设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（）

2000020000x（1-15%）

X-10

2000020000x(1-15%)

2000020000x(1-15%)

Xx+10

2000020000x(1-15%)

•x+10x

解：由题意可得，

2000020000(1-15%)

x+10x

答案：D.

15.（2022•襄阳中考）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到

900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速

度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（）

900900900900

A.——二2x当B.—=2x陪

x+3X—3%+1

900900900c900

C.------=2x-pyD.—=2x—5-

x-1蒐+3%+1x-3

解：•••规定时间为x天，

慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（尤-3）天,

又•••快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，

.900900

•.-----=2x——T.

x-3x+1

答案：B.

16.（2022•广西中考）《千里江山图》是宋代王希孟的作品,如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为

1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13,且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设

边衬的宽度为尤米，根据题意可列方程（)

1.4-x81.4+%8

A.--------=—B.--------=—

2.4-%132.4+%13

1.4-2%81.4+2%8

c-------=—D.----------=一

・2.4-2%132.4+2%13

解：由题意可得,

1.4+2%8

2.4+2%-13’

答案：D.

17.（2022•鞍山中考）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每

天加工的产品数量的L5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天.设甲车间每天加工x件产品，

»40004200

根据题意可列方程为——---=3.

—x1.5x-----

解：•.•甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍,

.♦.乙车间每天加工1.5x件产品，

又：甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天,

40004200

.......-..........=3.

x1.5%

―40004200

口案：丁—一=3.

18.（2022•青岛中考）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育

节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%,少用

30003000

3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么无满足的分式方程为...-----------二3

x(1+25%)%-

E——30003000

解：依题意有：———=3.

X(1+25%)%

……30003000

答案：丁一(1+25%)「

19.（2022•潍坊模拟）为提升晚高峰车辆的通行速度，某市设置潮汐车道，首条潮汐车道从市政府广场到人民公园,

全程约3千米.该路段实行潮汐车道设置后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提升25%,行

驶时间平均减少2分钟，设实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则可列

方程为—----------=—.

—X（1+25%）%60—

解：由题意可得，

332

X-（l+25%）x—60'

-*—3—-----3----——2

'•X（1+25%）%60

20.（2022•大连模拟）一艘轮船在静水中的最大航速为30bM九它以最大航速沿顺流航行90初z所用时间，与以最

大航速逆流航行606所用时间相等.设江水流速为以物力，则可列方程为曰一=坐一.

—30+v30-v—

解：设江水的流速为vkm/h,

9060

根据题意得:

30+v30-V

9060

答案:

30+v30-V

三、分式方程的应用

【高频考点精讲】

1.工程问题。工作效率=工作总量+工作时间。

2.行程问题。路程=速度X时间。

3.销售问题。总价=单价X数量。

【热点题型精练】

21.（2022•昆明模拟）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粉米三十…”（粟

指带壳的谷子，粉米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粉米…”.问题：有3斗的粟（14=10

升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粉米为（）

A.1.8升B.16升C.18升D.50升

解：根据题意得：3斗=30升,

设可以换得的粉米为尤升,

,5030

则公=7

解得：尤=噌=18（升）,

经检验：x=18是原分式方程的解,

答：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粉米为18升.

答案：C.

22.（2022•合肥模拟）某公司为增加员工收入，提高效益.今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加

10%的前提下，将产品成本降低20%,使产品的利润率（利润率=曾*100%）较去年翻一番，则今年该公司

成本

产品的利润率为（）

A.40%B.80%C.120%D.160%

解：设去年产品出厂价为a,去年产品成本为6,根据题意,

(l+10%)a—(1—20%)ba—b

---------—---------100%==X2X100%,

(l-20%)d-----------b

1.1a—0.8匕

即整理得:=2a-2b,

0.8

解得：a=

8,,

,Qa-b,-b-bo

所以把〃=己人，代入---x2中得-----x2=-px2=120%.

3b匕b

答案：c.

23.（2022•青岛模拟）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比,

今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了

20%.已知去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是元.

解：设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年每千克的批发价为（x+1）元，

今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元,

1200010000

由题意得:=1000,

xX+1

解得：x=4或1=-3（不符合题意，舍去）,

即这种水果今年每千克的平均批发价是4元,

答案：4.

24.（2022•南昌模拟）北京2022年冬奥会开启“坐着高铁看冬奥”新模式.北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车

通行路程均约60公里，已知高铁的平均速度是班车平均速度的3倍，乘高铁用时比乘班车少40分钟，则从北京

赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为20分钟.

解：设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为尤分钟,

6060

由题意得：一=-----x3,

X%+40

解得：尤=20,

经检验，x=20是原方程的解，且符合题意;

即从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为20分钟,

答案：20.

25.（2022•锦州中考）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科

学奥秘的兴趣.某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入48两款物理实验套装,

其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量

多5套.求A、8两款套装的单价分别是多少元.

解：设2款套装