高考必须掌握的不等式-2026届高考数学一轮复习讲义（解析版）

专题：高考必须掌握的不等式

班知识梳理

一.一元二次不等式、分式不等式、高次不等式的解法

1.解一元二次不等式的一般步骤

(1)解不含参数的一元二次不等式(具体的)

①变形：将不等式化为一端为零且二次项系数为正

ax+bx+c>Q(>0)gicax2+bx+c<Q(<0)

②解对应的一元二次方程(先看能否因式分解，如果不能，再看△,然后求根)

③画图判断解集：画图或直接判断，写出解集

2.一次分式不等式的解法

类型同解不等式

f(x)>0(<0)ff(x)<0(>0)

法一：依据符号分类讨论或

/(X)、

--^>0(<0)g(x)>0[g(x)<0

g⑴

法二：化简成整式不等式f(x)-g(x)>0(<0)

f(x)>0(<0)ff(x)<0(>0)

法一：<或1

,g(x)>0[g(x)<0

fM

(、>0(<0)

g(x)f(x),g(x)>0(<0)

法二：<

,g(x)wo

于(X)仔\

g(x){J先移项，转化为上述两种形式

【注】分式不等式化为整式不等式时，一定要注意所乘分母的符号,以判定不等号是否变方向

3.高次分式不等式一一“穿根法”/“穿针引线法”

解题步骤：

①将不等式化为(X-%)(x-/)…(X-X")〉0(<0))形式，并将各因式工的系数化“+，，；

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点；"奇穿偶不穿"

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"奇穿偶不穿"指当不等式中有因式(x一%)”,n是奇数时，曲线在4处穿过数轴，当n是偶数时,

曲线在％处不穿过数轴。

④大于零看数轴上方的部分,小于零看数轴下方部分的区域;

【注意】不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿x=2点，但x=2满

足“=”的条件，不能漏掉.

B丽剖析

【考点一二次、分式'高次不等式的解法(不含参)】

1.(24山东淄博高一上月考)求下列一元二次不等式的解集

(I)%2-5%+6>0(2)(%+2)(%-3)<0(3)9x2-6%+1>0(4)-%2+2%-3>0

【答案】(1)(—8,2]U[3,+8)

⑵(-2,3)

⑶(-8彳)呜+8)

(4)0

【分析】(1)利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式；

(2)根据一元二次不等式解集的形式，解不等式；

(3)根据实数的性质解不等式；

(4)根据根的判别式的值确定解集的形式.

【详解】(1)%2-5%+6>0n(x—2)(x—3)20nx<2或久N3.

所以所求不等式的解集为：(-8,2]U[3,+8)

(2)(x+2)(%—3)<0=>—2<%<3.

所以所求不等式的解集为：(-2,3)

(3)由9/-6%+1>0n(3x-I)2>0nx

所以所求不等式的解集为：(-8,£)UG，+8)

(4)因为一/+2x-3>0nx2-2x+3<0.

由A=4-4x3<0,

所以所求不等式的解集为：0

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2.（25安徽阜阳高二下月考）解下列不等式:

1—VY—1

⑵。〉L

【答案】⑴卜卜|<xW1}

(2){%|%<-2}

J2黑味,塞。,求解即可;

【分析】（1）由

⑵移项通分得到言>。即可求解.

【详解】（1）原不等式可化为益W。,

.C(x-l)(3x+5)<0,

t3%+5。0,

—5W久W1，5

3「即一三<XW1.

一|,3

故原不等式的解集为1|-1<%<1）.

（2）原不等式可化为言一1>。，二上*>。,

••・言>0,贝股<一2,

故原不等式的解集为{x|x<-2}.

/八1,Y

⑶日<2；⑷1「五X

【答案】（3）（-8,一2）U[1.+°°）（4）%<|或x>4；

【分析】（3）将分式不等式转化为一元二次不等式的求解.

（4）由分式不等式解法可得答案；

【详解】⑶扇<20翳30={（1-g（江浮故x6（一叫—2）咔,+8）.

人T44T4VXI-Z.-T-UL4/

所以不等式的解集为（—8,-2）U卜+8）.

1八

(4)——<1---X-=-----1H----40=-1-X--+-4-X-<,0

x-44-xx-44-xX-4

6-2久v0今2%-5>0=((2%5)(%—4)N0=>X<|或%>4;

X-4—x-4—I%—4。0

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3.(24北京高一上期末)解不等式：

(1)(x+2)(2%-1)(%-l)>0.

【答案】(-2,2)U(l,+8).

【分析】利用穿针引线法，利用数形结合思想得到不等式的解集.

【详解】y=(x+2)(2x-l)(x-1)的零点从左到右依次为一2,I，1,

当x>1时y>0,当|<x<1时y<0,当—2<x<之时y>0，当％<—2时y<0.

所以不等式：Q+2)(2%-1)。-1)>0为(一2彳)U(1,+8).

(2)x(%-1)(3%-2)(%+2尸<0

【答案】⑵(—8,—2)U(—2,0)U(|,1)；

【分析】(2)将不等式转化为不等式组求解.

【详解】

%(%—1)<0(%(%—1)>0

(2)不等式久Q-1)(3%-2)(%+2><0化为:(3%-2)(%+27>0或1(3%-2)(%+2)2<0

%二酒工。，得占浮

即*X<1；

(x(x-l)>0卜<0或x>l

斛i(3x-2)(%+2/<0'传,(［且/#—2即久<0且％H—2,

所以原不等式的解集为(—8,—2)U(-2,0)U(|,1).

4.解下列不等式：

产「<0；2「-52].

'7x2-l'73X2-13X+4

【答案】(1){X|—2wx<—1或1<x<5}

(2)(%||<%<1或4<xW9}

【分析】(1)将分式不等式转化为整式不等式，利用数轴穿根法求解

(2)对于非标准形式的分式不等式，要通过移项、通分的方法将其化为标准形式再求解.

【详解】(1)原不等式可化为(7-3%-10)(%2-1)<0或/-3%-10=0,

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即(%—l)(x+1)(尤+2)(%—5)<0或(x+2)(x—5)=0.

由图可知，原不等式的解集为{泪一2Wx<-1或1〈比W5}.

2%2-3x—52%2—3%—5X2-10X+9

(2)原不等式>1可化为-1>0,即<0,

3X2-13X+43X2-13X+43X2-13X+4

即-10%+9)(3久2-13%+4)<0或/-10%+9=0,

即(比—1)(%—9)(3%—1)(%—4)<0或(x—1)(%—9)=0.

由图可知，原不等式的解集为(%]<%<1或4〈9}.

趣知识梳理

二,绝对值不等式、根式不等式

1.绝对值不等式的解法

(1)单绝对值不等式

①\ax+b\<c(c>Q')<i^-c<ax+b<c

②[ax+@>c(c〉0)=ax+0〉。或ax+o<_c

①|ox+@</(x)=-/(%)<。%+匕</(x)

②\ax+b\>f(x)^ax+b>/(x)或ax+b<-f(x)

【总结】IA|<B4»-B<A<B,、

(B>0)

IA|>BOA<-B或A>B

(2)双绝对值不等式

①无其他项：平方法|/(x)|>|g(x)|<=>"(x)]2>[g(x)]2

②有其他项：零点分段法讨论/(*以刈+。

2.根式不等式的解法yJax+b>A

(1)A的符号确定，①A为负数一恒成立

②A为非负数一平方法，转化为(ax±b)2>A2

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(2)A的符号不确定一分类讨论

Q丽剖析

【考点二绝对值不等式、根式不等式的解法】

5.(24甘肃高一上期中)下列不等式中，与|久-2|<3的解集相同的是()

A.x2-4x-5<0B.昼<0C.(5-%)(%+1)<0D.%2+4%-5<0

【答案】A

【分析】根据绝对值不等式、分式不等式及一元二次不等式解法求解判断即可.

【详解】由|%-2|<3,则一3<%-2<3,解得一l<x<5.

对于A,由小一4久一5<0,则(久一5)(%+1)<0,解得一l<x<5；

对于B,由g<0,则](%+1)]—?4。，解得一l〈x<5；

对于C,由(5-％)(%+1)<0,则(％-5)(%+1)>0,解得％<-1或%>5；

对于D,由％2+4%—5<0,则(％+5)(%—1)<0,解得一5V%<1.

故选：A.

【变式】(25湖南岳阳高三下模拟)设集合4={%|等<o},B={x\\x\>2x+1},则AnB=()

A.B.C.[—2,一刍D.(-2,-i]

【答案】D

【分析】由题知a=卜I—2(久W—[},B={x\x<-^,再求集合交集运算即可.

【详解】<0等价于](效+?(：+RW°,解得：—2<xW—

%+2I%+2W04

所以集合A={%I—2<x<—目，即A=(―2,—

|x|>2x+1,需分情况讨论：

当汽>0时，不等式变为%>2%+1,解得％<-1,此情况无解；

当％V0时，不等式变为-%22%+1,解得工工一点此时，%

综上，集合8={%|%<—1),即8=(―8,—勺.

所以znB=(—2,—J

故选：D.

第6贝夫16贝

6.(24辽宁大连高一上月考)解下列关于x的不等式.

(1)|2%—1|—|x+1|>0；

【答案】

1

(1)%<0或%>-；

【分析】

(1)分类讨论去掉绝对值可解不等式；

【详解】

(1)当久<—1时，|2%—1|—|x+1|=—2%+1+x+1=—X+2>0=>x<2,

结合％<—1,贝V—1；

当一1W%W(时，\2x—1|—|x+1|=—2x+1—x—1=-3%>0=%<0,

结合一则一1<%<0；

当x>［时，|2x—1|-|x+l|=2x—1—x—l=x—2>0=>x>2,

结合%>则久>2.

综上：x<0或%>2；

(2)|x+2|+|x-l|<5

【答案］—3<%<2

【分析】利用分段讨论法来解一元一次不等式组即可.

(2x+l,x>1

【详解】由|x+2|+|%—1|=］3,-2<x<1

(-2.x-1,x4-2

再由题意可得出脑久或｛二含1或｛—：5，

解得1<x<2或一2<x<1或一3<xW-2,

综上可得不等式的解集为：-3<x<2

【变式】(25浙江宁波高二下期中)不等式2|x+2|+|x-l|>5成立的一个必要不充分条件是(

A.比W-1或;c20B.%>0C.xW—：或x20D.x>1

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【答案】A

【分析】应用分类讨论解绝对值不等式，结合充分、必要性的定义判断即可.

【详解】当久W—2时，一2(%+2)—(%—1)>5,则一3%>8,可得X<—

当一2<%<1.时，2(%+2)-(%-1)>5,则％>0,可得0<%<1；

当%>1时，2(%+2)+(%—1)25,则3%之2,可得%>1；

综上，不等式的解为Xg或％之0,

所以A为必要不充分条件，B、D为充分不必要条件，C为充要条件.

故选：A.

7.(24安徽亳州高一上月考)解下列不等式：

(l)|2x-1|<V%2+1

【答案】⑴仁］

【分析】(1)将不等式两侧平方并化简得3%2—4x30,即可求解集，注意根式有意义；

【详解】(1)将两侧平方得(2%-1)2</+1,则3%2-4%<0,可得0<%<方经验证满足题设,

所以，不等式解集为［0,非

(2)V%—1+2%<5.

【答案】⑵［1,2)

【分析】(2)不等式变形为V7=T<5-2式，然后由5-2%>0,根式有意义，再平方后求解.

5—2%>0

【详解】(2)原不等式化为<5—2%,所以%-1>0,解得x<2或x>所以

(%—1<(5—2x)2r4

1<%<2.

所以原不等式的解集为［1,2).

(3)Vx2—x—6<4—x(4)Vx2—3x+2>%4-5

【答案】(3){x|比W—2或3Wx〈彳}

⑷卜氏<-||)

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【分析】(3)将不等式等价变形，求解即可.

(4)将不等式等价变形，求解即可.

【详解】

(3)原不等式等价于不等式组：

(x2—x—6>0f(x—3)(x+2)>0

「2一%一6<(4-x)2,所以17%-22<0

(4—%>0x<4

解不等式(x-3)(%+2)>0得％<一2或x>3,

解不等式7x-22<0得比<y,

所以原不等式的解集为｛x|xW—2或3Wx<y)；

(4)原不等式等价于不等式组：

%2—3%+2>0

或卜2一3%+220

%+5>0tx+5<0

.%2—3%+2>(%+5)2

分别解两个不等式组得一5<%<-,或x<-5,

所以原不等式的解集为｛小<-篙

趣知识梳理

三、指数、对数不等式的解法

根本：化为同底后，利用单调性(图象)进行求解

1.指对互化关系

当<7>0,且存1时.如图所示：

2.两个恒等式——整数的指、对变换

①log。aN=N-1

产.NN指、对底数相同，得余下部分

②a=iy____________________

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3.指数函数的图象与性质

a>l/[0<a<l

”尸“\v=ax'y

指数函数

y=1z/

y=ax(a>0且aw1)-------*-----------y=l\(0,1)

（0,1）

----------------------------»

°X

。J

对数函数r—1

yA

yy=log.*y=iog“工

y=logax(a>0且aw1)zT\

、a，°),

0(1,0)x0

Q丽剖析

【考点三指数、对数不等式的解法】

8.（25河南高三下联考）已知集合4=16可卜1＜蓝＜鱼},则集合A的子集个数是（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【分析】解不等式，化简集合4根据集合中元素个数得解.

【详解】,•,一1〈蓝＜鱼,

1＜x＜2V2,

又xeN,：.A=[0,1,2},

二4的子集有23=8个.

故选：B.

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9.(24江苏常州高二上月考)已知集合a={x|2x-1>0},B={x|x2+2%—3<0},则AClB=()

A.(0,3)B.(0,1)C.(-3,+oo)D.(-l,+oo)

【答案】B

【分析】通过解指数不等式求出集合4通过解一元二次不等式求出集合B,利用交集的定义即可求

出结果.

【详解】由2%一1>0,得x>0,，4=(0,+8)

由r+2尤-3<0得一3<x<l,：.B=(-3,1)

所以2CB=(0,1).

故选：B.

【变式】(24福建泉州高一上期中)设集合4={x|g)X>3),B=[x^<0],则CB&=()

A.[1,3)B.[1,3]C.[-1,3)D.[-1,3]

【答案】A

【分析】首先解指数不等式求出集合4解一元高次不等式求出集合B,最后根据补集的定义计算可

得.

【详解】由()？3,即所以L即4={%()”"}=卬久<一1},

由次二〈0,即(XT)G+I)三o,等价于[O—l)(x+?(x13)W°,解得％<一1或1<%<3,

所以8={%<0j=(-00,-1]u[1,3),

所以蜃/=[1,3).

故选：A

10.(24河南新乡高二下期末)已知集合/={x\x2—5%+6<0},B={x\ex>4],则/n8=()

A.(21n2,3]B.[2,41n2)C.(21n2,5]D.[2,3]

【答案】D

【分析】解一元二次不等式求出集合4解指数不等式求出集合B,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由％2-5%+6<0,即(％—2)(%-3)<0,解得2<%<3,

所以/={x\x2-5%+6<0}={x\2<x<3],

由e、>4,解得X>ln4=21n2,

所以B={x\ex>4}=[x\x>21n2},

第H页共16页

又0<ln2<1,贝1]0<21n2<2,所以AnB=[2,3].

故选：D

【变式】(24黑龙江高一上期中)已知集合A={x||x-2|<1},B={x|e，T>1},则4U(CRB)=(

A.(-1,3]B.[-1,3]C.(-oo,3)D.(-oo,3]

【答案】D

【分析】首先解绝对值不等式求出集合a,解指数不等式求出集合B,再根据集合的补集、并集的定

义计算可得.

【详解】由—即一1<%—2<1,解得14无<3,

所以4={x||x-2|<1]={x|l<x<3},

由e*T21,BPex-1>e°,所以久一120,解得-21,

所以8=(%|ex-1>1]={x\x>1],则CRB={x\x<1},

所以4U(CRB)=(-8,3].

故选:D

11.(25湖南长沙高三下月考)已知集合4={%|-2<In%<2],B={-2,-1,0,1,2,3},则4nB=()

A.{-1,0}B.{1,2}C.{-1,0,1}D.[1,2,3)

【答案】D

【分析】由对数单调性解集合a中不等式，再求集合交集即可.

【详解】由一2<InxW2可得\<xWe?,故4={%[当<xWe?},

又因为B={-2,—1,0,1,2,3},

所以4CB={1,2,3}.

故选：D

X4

12.(24天津高一上月考)已知集合4={%I2-<4},B={x|log3(2x+1)>2},则4nB=.

【答案】{x|4<x<6}

【分析】首先解指数不等式求出集合4解对数不等式求出集合B,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由2工-4<4,即2工-4<22,所以乂一4<2,解得xW6,

即4={x|2久-4<4}=(x]x<6},

由Iog3(2x+1)>2,即log3(2x+1)>logs%所以2x+l>9,解得尤>4,

第12页共16页

所以B={x|log3(2x+1)>2]={x\x>4},

所以2ClB={x|4<x<6].

故答案为：{久|4<%<6}

【变式】(25四川江油高二上月考)记全集U=R,已知集合4={y\y=2x,x<3},B={x\y=ln(x2-

5x—6)},C={x|lg(x-1)<1}

(1)求BUC;(2)求Cu(AnB).

【答案】(1){久|x<—1或x>1]

(2)Cu(4CB)={x\x<6或无>8}

【分析】(1)分别求对数型函数的定义域和解对数不等式求得集合8,C,再由并集定义求解；

(2)根据指数函数的单调性求得集合4,结合(1)的结论，利用交集和补集的定义即可求得.

【详解】(1)对于函数y=ln(/-5久-6)有意义，需使/一5比-6>0,解得％<-1或久>6,故

B=[x\x<-1或%>6],

又由IgQ-1)<1可得0<x-1<10,解得1<x<11,故C={x[l<x<11},

故BUC={x\x<-1或x>1}.

(2)由y=2",xW3,可得0<yW8,即得4={y|0<yW8},

则anB={x|6<x<8},故Cu(4nB)={x\x<6或久>8).

趣矢呼梳理

四、三角不等式的解法

根本：先找特殊值，再根据图象判断解集，注意是否要加上周期

1.常用特殊角的三角函数值

角度。0°30°45。60°90°120°135°150°180°

n717C712万3兀5兀

弧度。071

~6432346

正弦值10V3V3V21

010

sina222222

余弦值出V21_Vf

10-1

cos。~2V2~2

第13页共16页

正切值V3

01V3-V3-10

tan。T/

但丽剖析

【考点四三角不等式的解法】

13.方程V^sin%+cos%=&在[0,2冗]上的解集为.

【答案】8,胃

【分析】首先利用辅助角公式化简，然后利用特殊角的三角函数值确定解集，最后根据题干中给定角

的取值范围即可确定满足条件的角的集合.

【详解】因为V5sin%+cos%=鱼，所以2sin(%+=企，

所以％+-=-+2/nr或％+-=—+2kn,所以％=—+2/cii或％=—+2/cir,

64641212

因为％E[0,2n],所以％=^或％=$

故答案为：居图

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14.(23河南南阳高一下月考)函数/(%)=lg(2sinx-1)+的定义域为

【答案】[2/nr