江苏省苏州市2025年中考数学试卷（含答案解析）

苏州市2025年初中学业水平考试试卷

皿1、、九

数学

注意事项：

1.本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟；

2.答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答

题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；

3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内

的答案一律无效，不得用其他笔答题；

4.考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上。

1.下列实数中，比2小的数是()

A.5B.4C.3D.-1

2.如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是()

3.据人民网消息2025年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达63252000万元，其中，出品40317000

万元，创历史同期新高，同比增长11.5%.数据40317000用科学记数法可表示为。

A.0.40317xlO8B.4.0317xl07C.40.317xl06D.40317xl03

4.下列运算正确的是()

A.a-a3=a3B.a6a2=a3C.=a~b2D.(/)=a5

5.如图，在A8两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东70。.若A3两地同时开

工，要使公路准确接通，则的度数应为()

八北

八北

A

A.100°B.105°C.110°D.115°

6.一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出

3

一个球，摸到白球的概率为二，则红球的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度Wm/s）与温

度《℃）部分对应数值如下表:

温度M℃）-1001030

声音传播的速度v（m/s）324330336348

研究发现v，7满足公式丫=3+6（々6为常数，且440）.当温度/为15。。时，声音传播的速度v为（）

A.333m/sB.339m/sC.341m/sD.342m/s

8.如图，在正方形ABC。中，E为边AT（的中点，连接BE,将AME沿5E翻折，得到AAZE，连接

AC,AD,则下列结论不亚确的是（）

A.AD//BEB.A'C=y/2A'D

C.△ACD的面积=AAZ>E的面积D.四边形ABED的面积=A43C的面积

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上.

9.因式分解：X2-9=.

10.某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：71,71,65,71,64,66.这组数据的众数为.

11.若y=x+l,则代数式2y-2x-3的值为.

12.过两点画一次函数y=-x+2的图像，已知点A的坐标为（0,2）,则点8的坐标可以为.（填一

个符合要求的点的坐标即可）

13.已知士,工2是关于X的一元二次方程d+2x-机=0的两个实数根，其中占=1,则X?=.

14.“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图

所示.该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心。到的距离为68m,摩天轮匀

速旋转一圈用时30min.某轿厢从点A出发，lOmin后到达点8,此过程中，该轿厢所经过的路径（即

AB）长度为m.（结果保留兀）

15.如图，ZMON=60°,以。为圆心，2为半径画弧，分别交。暇，ON于A3两点，再分别以AB

为圆心，后为半径画弧，两弧在NMON内部相交于点C,作射线OC,连接AC,BC,则

tan/3CO=.（结果保留根号）

16.如图，在VA3C中，AC=3,BC=2,ZC=60°,O是线段BC上一点（不与端点BC重合），连

接AD,以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE,线段DE与线段AC交于点F，则线段C尸长

度的最大值为.

三、解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必

要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.

17.计算：|—5|+3~—y/16.

3x+l>x-3

18.解不等组：，x-1尤

---->_

I23

AA

19.先化简，再求值：［+1Y2>其中x=-2.

yx-l）尤z+2x+l

20.为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同

学们利用周末时间自主观看.现有AB,C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影

观看.

（1）甲同学选择A电影的概率为；

（2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率.（请用画树状图或列表等方法说明理由）

21.如图，C是线段43的中点，ZA=ZECB,CD//BE.

(1)求证：ZXDAC沿ZXECB；

(2)连接DE,若AB=16,求DE的长.

22.随着人工智能的快速发展，初中生使用47大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势.某研

究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用4/大模型辅助学习的时间（用x

表示，单位：min）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图:

抽取的学生一周使用4大模型辅助学习时间频率分布表

组别时间x(min)频率

A20<%<400.16抽取的学生一周使用AI大模型

辅助学习时间频数分布直方图

B40<x<600.24

C60<x<800.30

D80<A:<1000.20

E100<x<1200.10

合计1

根据提供的信息回答问题:

（1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）;

（2）调查所得数据的中位数落在________组（填组别）；

（3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用加大模型辅助

学习的时间不少于60min的学生人数.

k

23.如图，一次函数y=2x+4的图象与％轴，y轴分别交于A,B两点，与反比例函数y=—（左WO,x＞0）

尤

k

的图象交于点C,过点B作无轴的平行线与反比例函数y=—（%70,尤＞0）的图象交于点。，连接CO.

（2）若△38是以8。为底边的等腰三角形，求上的值.

24.综合与实践

小明同学用一副三角板进行自主探究.如图，VABC中，ZACB=90°,CA=CB,ACDE中,

ZDCE=90°,ZE=30°,AB=CE=12cm.

（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB,DE交于点F,求NA/Z＞的度数

和线段AD的长.（结果保留根号）

【探索发现】

（2）在图①的基础上，保持ACDE不动，把VABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落

在边DE上（如图②）.

①求线段AD的长；（结果保留根号）

②判断AB与DE的位置关系，并说明理由.

25.如图，在四边形ABCD中，BD=CD,NC=NBAD.以AB为直径的。。经过点。，且与边C。交

(2)^AB=VlO.sinZAED=—,求班的长.

10

26.两个智能机器人在如图所示的RCABC区域工作，ZABC=90°,AB=40m,BC=30m,直线

为生产流水线，且8。平分VA5C的面积(即。为AC中点).机器人甲从点A出发，沿A-B的方向

以匕(m/min)的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点2出发，沿3fCfD的方向

以%(m/min)的速度匀速运动，其所在位置用点。表示.两个机器人同时出发，设机器人运动的时间

为f(min),记点尸到期的距离(即垂线段尸P的长)为4(m),点。到即的距离(即垂线段Q。'的

长)为4(m).当机器人乙到达终点时,两个机器人立即同时停止运动，止匕时4=7.5m，4与，的部分

对应数值如下表&＜芍)：

4min)0。t25.5

%(m)016160

cC

二

於备用图、

(1)机器人乙运动的路线长为_______

(2)求弓F的值;

(3)当机器人甲、乙到生产流水线3。的距离相等(即4=4)时，求f的值.

27.如图，二次函数y=-V+2x+3的图像与无轴交于AB两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,

作直线3C，河（办乂），N（租+2,%）为二次函数k-炉+2升3图像上两点.

（2）试判断是否存在实数m使得％+2%=1。.若存在，求出根的值；若不存在，请说明理由.

（3）已知尸是二次函数，=一/+2了+3图像上一点（不与点M，N重合），且点尸的横坐标为l-m,作

^MNP.若直线BC与线段MM叱分别交于点。，E,且AMDE与&WNP的面积的比为i：4,请亶

接写出所有满足条件的根的值.

参考答案

1.D

【分析】比较各选项与2的大小关系，选出比2小的数即可。

本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键。

【详解】解：A、5>2,不符合条件；B、4>2,不符合条件；C、3>2,不符合条件；D、-1<2,符

合条件，故选：D。

2.A

【分析】根据几何体形成的基本原理解答即可，本题考查了几何体的生成，熟练掌握原理是解题的关

键。

【详解】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，

故选：A.

3.B

【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握其表示方法是解题的关键.

根据科学记数法的表示方法解题即可.

【详解】解:40317000=4.0317xl07.故选：B.

4.C

【分析】根据基的运算性质，计算判断即可.

本题考查幕的运算性质，包括同底数幕的乘除法、哥的乘方以及积的乘方。需逐一验证各选项是否符

合相关运算法则.

【详解】A.a-a3=aM=a4,但选项A结果为疗，错误.

B.。6+/=产2=/,但选项B结果为错误.

C.（而）2=片匕2,符合积的乘方法则，正确.

D.但选项D结果为错误.

故选：C.

5.C

【分析】此题考查平行线的性质，方位角.根据两直线平行，同旁内角互补列式进行计算即可得解.

【详解】解：如图:

由题意得，a//b,

.\70°+(z=180o,；.a=110。故选：C.

6.B

【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键.

设红球有x个，根据摸到白球的概率公式列方程求解.

【详解】解：设红球有x个，则袋中总球数为(x+3)个，

3

摸到白球的概率为^—,

3+x

根据题意得：33=?3，

3+x5

解得：x=2,

因此，红球的个数为2个.

故选：B.

7.B

【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题

的关键.

根据表格数据，确定一次函数v=S+6中的系数。和常数项6,再代入1=15计算v的值，即可解题.

【详解】解：,•,一f满足公式丫=成+。,

10。+6=336

由表格数据可得

6=330

a=0.6

解得

b=330

即u=06+330,

当温度f为15。（2时，v=0.6xl5+330=339m/s,

故选：B.

8.D

【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等.过点"作月G〃AB,

分别交AD、3C于点/、G,由折叠的性质得NAEB=NA座，求得DE=A，E,推出4ZM=N£4'D,

由ZA£A是AA'ED的外角，可求得ZAEB=N£ZM',即可判断选项A；设AB=3C=CD=ZM=10,

DF=CG=x,贝UEF=5-x,3G=10-x,证明△E4/SAAJBG,利用相似三角形的性质列式求得x=2,

求得DE=CG=2,AN=4,HG=6,再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项.

【详解】解：过点4作PG〃AB,分别交A£＞、8C于点/、G,

由折叠的性质得NA£B=NA£B,AE=AE,

：E为边AD的中点，

/.AE=DE,

：.DE=A!E,

：.ZEDA=ZEA!D,

:/如女是人大切的外角，

ZAEA=ZEDA+ZEAD,

：.ZAEB=ZEDA,

：.AD//BE,故选项A正确，不符合题意；

:正方形ABC£),

AB=BC=CD=DA,ZBAE=ZABC=ZBCD=ZCDE=90°,

i^AB=BC=CD=DA=W,

：E为边AD的中点，

AE=DE=5,

由折叠的性质得NB4E=NBA'E=90。，AE=A'E=5,AB=AB^10,

'：FG//AB,

：.四边形ABGF和DCGF为矩形,

：.FG=AB=W,ZEFA=ZAGB=ZEAB=90°,

^DF=CG=x,贝IjE产=5-x,BG=IO-X,

：.NEA'F=90°-ZGAB=ZABG,

AEA'尸SAABG,

.A'FEFEA'51

"BG~A'G~A'B~10~2,

：.A'尸=326=:(10—元),AG=2EF=2(5-x),

'：AF+A'G=FG=10,

.,.1(10-x)+2(5-x)=10,

解得x=2,

:.DF=CG=2,A歹=4,A'G=6,

•,AC=+2,=2A/10，A'D=V42+22=2#＞，

•*.A'C=-j2A'D，故选项B正确，不符合题意；

'/ZWCD的面积=—xl0x2=10,AADE的面积=1x5x4=10,

22

.•.△AC。的面积=AA;DE的面积，故选项C正确，不符合题意；

•/四边形ABED的面积等于AADE的面积+AA'BF的面积=10+1x5xl0=35,

△A'BC的面积=；x10x6=30,

四边形ABED的面积WAA'BC的面积，故选项D不正确，符合题意；

故选：D.

9.(x+3)(x-3)

【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用6-62=(a+b)(a-6)分解因式即可.

【详解】解：炉-9=(」+3)@-3),

故答案为：(x+3)(x-3)

10.71

【分析】本题考查了众数.一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此即可解答.

【详解】解：数据71,71,65,71,64,66中，71出现的次数最多，所以这组数据的众数为71；

故答案为：71.

11.-1

【分析】本题考查代数式求值，根据y=x+i,得到y-x=i,整体代入法求出代数式的值即可.

【详解】解：：＞=尤+1,

y-x=l,

故答案为：-1.

12.(1,1)(答案不唯一)

【分析】本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数上的点的横纵坐标满足函数解析式,可以令尤=1,

求出函数值，进而得到点B的坐标即可.

【详解】解：•••>=-尤+2,

.,.当x=i时，y=-1+2=1,

...点3的坐标可以为(1,1)；

故答案为:(1,1)(答案不唯一)

13.-3

【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到%+%=-2,结合再=1,进行求解即可，

熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键.

【详解】解：•••西，尤2是关于x的一元二次方程无2+2尤-根=0的两个实数根，

芭+%2=-2,

,**%=1,

**•^2——3;

故答案为：-3.

14.4071

【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键.先求出摩天轮半径，再求出

ZAOB=120°,最后根据弧长公式求出结果即可.

【详解】解：・.•最高点离水面平台的距离为128m,圆心。到MN的距离为68m,

摩天轮的半径为128-68=60(m),

:摩天轮匀速旋转一圈用时30min,轿厢从点4出发，lOmin后到达点B,

，ZAOB=—x360°=120°,

30

...该轿厢所经过的路径长度为：

理迎=40p(m).

180v7

故答案为：40兀.

15.昱

5

【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等

知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键.连接交OC于点。，先得出OC垂直平分再

证出VAOB是等边三角形，则可得应）=1,然后利用勾股定理可得CQ=«,最后根据角的正切的定义

求解即可得.

【详解】解：如图，连接AB，交0c于点。，

由题意得：OA=OB=2,AC=BC=巫,

：.OC垂直平分

OC.LAB,BD=-AB

2f

・.,ZMON=60°,

・・.VA05是等边三角形，

AB=OA=2,

JBD=1,

：・CD=1BC2-Blf=非,

・••在RtABCD中，tanZBCO=—==—,

CDy[55

故答案为：好.

5

3

16.-##0.75

4

【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，

过点A作AHL3c于H,解RtAABC得到A”=述，证明可得人尸=4匕=丝，

2AC3

根据B=AC-AF可知当AF有最小值时，C/有最大值，当AO13C时，AD有最小值，即AF有最小

值，此时点。与点〃重合，可求出”的最小值为：9，则CT的最大值为4-Q：=3：.

444

【详解】解：如图所示，过点A作于H,

A

AC=3,

/.AH=AC-sinC=--,

2

•・,VAPE是等边三角形,

：.ZADE=600=ZC,

又丁ZDAC=ZFAD,

：.ADAC^AFAD，

AFAD

••茄一就'

AD2AD2

・•・AF

AC3

9：CF=AC-AF,

・••当AF有最小值时，C/有最大值,

・••当AD有最小值时，AF有最小值,

...当AD上8C时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点。与点H重合,

•••AD的最小值为逑，

2

.丫

AF的最小值为29，

3~4

•••。/的最大值为4-19==3,

44

3

故答案为：-y.

4

17.10

【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键.先去绝对值，进行乘方

和开方运算，再进行加减运算即可.

【详解】解：原式=5+9—4=10.

18.x>3

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小

取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)“求出不等式组的解集即可.

3%+1>九一3

【详解】解：％—1x

---->—

I23

解不等式3%+1>%-3,得%>—2.

解不等式得x>3.

・・.不等式组的解集是x>3.

19.上，2

X+1

【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键.

根据分式的运算法则进行化简，再代入求值.

2+x—1x(x-l)

【详解】解:原式=

x-1。+1)2

x+1x(x-l)

x-1X+1)2

X

x+1'

当犬二一2时，原式=J=2.

-2+1

20.(1)-

3

⑵t

【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，

适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情

况数与总情况数之比.

(1)直接根据概率公式求解即可；

(2)首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合

条件的结果数，再根据概率公式计算可得.

【详解】(1)•.,现有AB,C共3部电影，

甲同学选择A部电影的概率是g.

故答案为：—;

(2)用树状图或利用表格列出所有等可能的结果:

开始

甲ABC

/4\/T\/N

乙ABCABCABC

乙同学选择电影

甲同学选择电影

ABC

AA4ABAC

BBABBBC

CCACBCC

那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，

:.P(甲、乙2位同学选择不同电影)=|=|.

21.(1)详见解析

(2)8

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性

质，是解题的关键：

(1)中点得到AC=3C,平行线的性质，得到NACD=NB,利用ASA证明△ZMC且△ECB即可；

(2)根据丝△ECB,得至=进而得到四边形CB£E>为平行四边形，进而得到。E=3C,

即可得出结果.

【详解】(1)证明：是线段AB的中点，

,AC=CB=-AB.

2

-CD//BE,

:.ZDCA=ZB.

在△DAC和AECB中，

ZA=ZECB,

<AC=CB,

ZDCA=ZB,

/.△DAC^AECB(ASA).

(2)vAB=16,

・•・.•.BC=-AB=8.

2

•・•△DACdECB,

CD=BE.

又\：CD〃BE,

四边形BCDE是平行四边形，

.-.DE=BC=8.

22.(1)图见解析

(2)C

(3)该校九年级学生一周使用4/大模型辅助学习的时间不少于60min的学生人数约为450人

【分析】本题考查频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提，解题的关

键是正确的从表中读出有关的信息.

(1)根据频数、频率、总数之间的关系可求出总人数，进而求出。组人数，

(2)50个人的中位数是第25和26人的平均数；

(3)由这所学校共有学生人数乘以一周使用加大模型辅助学习的时间不少于60min的学生的频率即

可.

【详解】(1)解：^|=50.

。组人数：50-8-12-15-5=10A.

从统计图，可知，A组8人，B组12人，C组15人，那么第25人和26人的数据落在C组，

故答案为：C；

(3)解；0.3+0.2+0.1=06,

750x0.6=450(人).

答：该校九年级学生一周使用A/大模型辅助学习的时间不少于60min的学生人数约为450人.

23.(1)A(-2,0),8(0,4)

(2)%=16

【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比

例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关

键.

(1)对于一次函数y=2x+4,分别令y=o,和x=o,即可求得答案；

(2)过点C作垂足为E,根据等腰三角形的三线合一性质，可得BE=DE,于是可逐步求

得点。和点C的坐标，再代入y=2x+4,即可求得答案.

【详解】(1)解：令＞=0,则2x+4=0,

解得x=-2,

，点A的坐标为(-2,0),

令x=0,贝！|y=4,

.・•点2的坐标为(0,4)；

(2)解：如图，过点C作CE_LBD,垂足为E,

-.-CB=CD,CELBD,

BE-DE,

令y=4,贝i|4」,

X

k

.X——

4

点。的坐标为，^,4)

.・•点C的坐标为(匕8)

•.•点C在一次函数y=2x+4的图象上,

.」上+4=8,

4

(60-4⑹cm；⑵①AD=(6+2⑹cm；②AB_LDE,理由见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的

方法是解题关键.

(1)先根据等腰三角形的性质可得/B4C=NABC=45。，再求出/CDE=60。，然后根据三角形的外

角性质即可得/ATO=15。；最后根据解直角三角形可得AC,CD的长，根据线段的和差即可得；

(2)①过点C作CGJ_DE,垂足为G,先解直角三角形可得CG,OG的长，再利用勾股定理可得AG的

长，然后根据线段的和差即可得；

②根据等腰三角形的性质可得NC4G=NACG=45。，则可得钻=90。，由此即可得.

【详解】解：(1)：VABC中，ZACB=9Q°,CA=CB,

：.ABAC=ZABC=45°,

中，ZDCE=90°,NE=30。，

NCDE=60°,

ZAFD=ZCDE-ZA^60°-45°=15°；

在RtZ^ABC中，AC=

在RtAXDE中，CD=

AZ)=AC-C£>=(6A/2-473)cm.

(2)①如图，过点C作CGLDE,垂足为G,

ZCGD=90°,NCDE=60°,CD=4疯:m,

:.DG=CD-cosNCDE=2百cm,CG=CD-sinZ.CDE=6cm.

ACGA中，ZCGA=90°,CA=60cm,CG=6cm.

•*-AG=VAC2-CG2=6cm，

AO=AG+£>G=(6+2@cm.

②AB工DE,理由如下：

•.•在RMCG4中，ZCGA=90°,AG=CG=6cm,

：.ZCAG=ZACG=45°,

又：ABAC=45°,

・•・ZDAB=NC4G+ABAC=45°+45°=90°,

:.ABIDE.

25.(1)详见解析

(2)BE=^-.

5

【分析】(1)只要证明NCR4=90。，即可证明3c为。。的切线；

(2)过点D作。尸，BC,垂足为尸，在△姒)中，ZADB=90°,AB=M,sinZABD=—,求

10

得AD=1,50=3,在中，/BFD=90°,BD=3,sinZBDF=—,求得2尸=之叵，再根

1010

据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得NCEB=NC,据此求解即可.

【详解】(1)证明：：BD=CD,

：.NC=/DBC,

又；NC=NBAD,

：.NBAD=NDBC,

：AB为0。的直径，

ZADB=90°,

：./BAD+/DBA=90°,

：.ZDBC+/DBA=90°,即NCBA=90°,

ABLBC,

/.BC为0。的切线；

(2)解：如图，过点。作。尸，3C,垂足为凡

ZABD=ZAED,

・•・sinZABD=sinAXED=—

10

•••△AB。中，ZAZ)B=90°,AB=y/w,sinZABD=—

10

/.AD=1,

BD=3,

•:DF_LBC,ABLBC,

:.DF//AB,

：.ZBDF=ZABD,

：.sinZBDF=sinZABD=—，

10

・・・V5Db中，ZBFD=90°,80=3,sin/3Qb=巫，

10

.RF-3M

10

,:BD=CD,DF_LBC,

.3M

••BC—2BF--------f

5

丁四边形ABED内接于O。，

ZZMB+ZB£D=180°,

,:ZC=ZBAD,

：.NCEB=NC,

：.BE=BC=^^~

5

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用.正确引

出辅助线解决问题是解题的关键.

112448

26.(1)55；(2)；(3)%=；^或，=—

61111

【分析】(1)利用勾股定理求解即可;

(2)利用直角三角形斜边中线的性质求得5D=CD=AD=25,得到NABD=44C,NDBC=NC,

34

推出sinNAAD=sinN5AC=y,sinZDBC=sinC=-9分当点。在3C上和点。在CD上时，两种情

况讨论，分别求得。=2,t?=233,据此求解即可；

6

(3)根据题意求得4=24-3%,分当点。在3c上和点。在CO上时两种情况讨论，列式一元一次方

程方程，求解即可.

【详解】(1)解：VZABC=90°,AB=40m,BC=30m,

「・AC=V302+402=50m，

・・・。为AC中点，

CD=-AC=25m,

2

•・•BC+CD=30+25=55m,

・•・机器人乙运动的路线长为55m,

故答案为：55；

⑵解：根据题意，得匕=5|=10，

「VABC中，ZABC=90°,。为AC中点，

:.BD=CD=AD=25,

：.ZABD=ZBACfNDBC=/C,

34

sinZABD=sinABAC=—,sinZDBC=sinC=—,

4

当点。在BC上时，d2=BQ•sinZDBC=10tx-=Stf

/.8^=16,解得4=2,

当点。在CO上时，作AHLBD,垂足为“(如图),

3

则AH=AB-sinZABD=40x-=24.

,:ZCDB=ZADHf

24

sinZCDB=sinNADH=——，

25

2426448

d2=QD^sinZCDB=(55-100x—=-----------1,

2M

■--4-86

552=1

:-2

得

解H

-263

23

：•-y6-

(3)解：当/=5.5时，4=7.5,

此时,sin/ABD

：.AP=AB-BP=40-12.5=27.5,

AP27.5

当点。在上时，由4=4，得24—3%=8,

解得年三24.

26448

当点。在CD上时，由4