角与弧度-2023学年高一数学课后培优分级练（苏教版）

第19练角与弧度

羔课后培优练

培优第一阶——基础过关练

一、单选题

i.下列说法中，正确的是（）

A.第二象限的角是钝角B.第二象限的角必大于第一象限的角

C.-150。是第二象限的角D.-252。16',467。44',1187。44'是终边相同的角

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解

【详解】对于A：当角为510。是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；

对于B：分别取第一象限的角为730。，第二象限角510。，

此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；

对于C：-150。是第三象限的角，故C错误；

对于D：因为467°44'=—252°16'+2x360°/187°44'=—252°16'+4x360°,

所以-252°16,467°44j187°44'是终边相同的角，故D正确；

故选：D

2.已知点夕=130。，则角a的终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据象限角概念求解即可.

【详解】因为90°<130。<180°,所以a的终边在第二象限.

故选：B

3.下列各角中与225。角终边相同的是（）

A.585B.315

C.135°D.45°

【答案】A

【解析】

【分析】

所有与角a终边相同的角连同角a在内，可构成一个集合S=｛为叙a+/360。，kGZ｝=｛川芹a+2ht,kH],根

据这一概念可得到结果.

【详解】

所有与角a终边相同的角连同角a在内，可构成一个集合S=｛川夕=a+A-360。，kdZ｝=｛川后a+2航，匕Z｝.

因为585°-225°=360',所以585。与225。终边相同.

故选：A.

4.弧度等于（）

6

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据lrad=F|^|,即可求出结果.

【详解】

因为lrad=[啕，所以/融等=30°.

故选：B.

)

【答案】B

【解析】

【分析】

令人=0,由此判断出正确选项.

【详解】

IT7T

令k=0,则;故B选项符合.

故选：B

6.已知扇形的周长为10,扇形圆心角的弧度数是3,则扇形的面积为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

根据弧长公式以及周长得出半径，再由公式得出面积.

【详解】

设扇形的半径为广，弧长为/=3r,因为扇形的周长为10,所以2r+3r=10,即r=2,故扇形的面积为

、3X22=6.故选：C

2

7.若角a与角口的终边关于y轴对称，则必有（）

A.«+/?=90°B.a+/3=k-360°+90°{keZ）

C.a+/?=h360°（%eZ）D.c+/=（2左+1）•180°（左eZ）

【答案】D

【分析】

根据角a与角尸的终边关于y轴对称，有e-（90,360?Q90野360?k2？Z,即可得解.

【详解】

角a与角口的终边关于y轴对称，

所以a-（90埒360?匕）90,360?鱼£，Ka?Z,

&+尸=90埒360?鱼90埒360?43607用+&）+180,

即々+£=360鞍？左180=（2左+1）?180°,左？Z,

故选：D

8.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，

设扇形的面积为殴，圆面中剩余部分的面积为邑，当与邑的比值为史二！时，扇面看上去形状较为美

2

观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）

A.（3-后兀B.（君-1）%C.（拓+1）%D.（拓-2）%

【答案】A

【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆

心角.

【详解】S।与邑所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，

设S］与邑所在扇形圆心角分别为

则2二1,又a+/=2/，解得a=（3-石）/

P2

故选:A

二、多选题

9.在-360。〜360。范围内，与-410。角终边相同的角是（）

A.-50°B.-40°C.310°D.320°

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用终边相同的角的定义求解.

【详解】

因为-50°=70。+360°,310。=T10。+2x360°,

所以与-410°角终边相同的角是-50°和310°,

故选：AC.

10.下列转化结果正确的有（）

A.60。化成弧度是三B.-化成度是-600°

_7n一

C.-150。化成弧度是-二4D.石化成度是75。

612

【答案】AB

【解析】

【分析】

直接根据角度与弧度的互化即可得到.

【详解】

60°=-,A对；

-^^-=-600°,B对；

JT5

-150°=-150x——=__/，C错；

1806

吉=15。，D错.

故选AB.

11.已知扇形的周长是12,面积是8,则扇形的中心角的弧度数可能是（）

A.1B.4C.2D.2或4

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据弧长公式和面积公式即可求解.

【详解】

设扇形的半径为广，弧长为I,则/+2r=12,S=：/r=8,

解得r=2,/=8或r=4,/=4,则。=,=4或1.

r

故选：AB.

12.如图，A,8是单位圆上的两个质点，点B的坐标为（1,0）,ZBOA=60°,质点A以1rad/s的角速度

按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（）

JT

A.经过Is后，N80A的弧度数为§+3

B.经过专s后，扇形AOB的弧长为法

C.经过［s后，扇形AOB的面积为£

63

57r

D.经过后，A,B在单位圆上第一次相遇

【答案】ABD

【分析】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.

JT

【详解】经过1s后，质点A运动Irad,质点2运动2rad,此时/2。4的弧度数为§+3,故A正确;

经过*s后，ZAOB=V+?+2xV=言，故扇形A02的弧长为号乂1=葛，故B正确；

1.乙乙J1.乙L乙JL41乙

经过1s后，/AO8=2+W+2X9=¥，故扇形A02的面积为S=1X¥X12=当，故C不正确；

663662612

冗

设经过ts后，A,8在单位圆上第一次相遇，则41+2)+1TT=2%，解得好S三(s),故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.在区间［0,2兀)内与-♦的终边相同的角为.

O

■1171

【答案】—

O

【解析】

【分析】

根据终边相同角的表示即可求解.

【详解】

n7T

-7的终边相同的角为：2k7i—7，keZ,

66

当上=1时，与的终边相同的角为当，

66

、1

故答案为：——.

6

14.如图，用弧度制表示终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合：.

【答案】2ht--^<a<2kR+^,keZ

【分析】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即可.

【详解】因为75°=75'三=磐，-30°=-5,

180126

71Sjr

结合图像可看作-7=范围内的角，结合任意角的概念可表示为

_612_

，a2kn--<a<2kn.+—,kZ>.

I612J

故答案为2kK--<a<2kn+—,k&z\.

15.已知6为小于360。的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么。=

【答案】72°或144。或216。或288°.

【分析】

由角4。与角。终边关于x轴对称，可知角4。与角一。终边相同，从而可得到46=-。+k360。/GZ),结合

6为小于360。的正角，可得到答案.

【详解】

依题意，可知角40与角一6终边相同，故46=—6+4SGO。伏GZ),故6=k72。/GZ).

又0°<0<360°,故令k=1,2,3,4.

得6=72°或144°或216°或288°.

16.在直角坐标系xOv中，x轴在正半轴上一点加依逆时针方向作匀速圆周运动，若点加一分钟转过角

«(0<«<^),2分钟到达第三象限，7分钟回到原来位置，则&=.

47r

【答案】y

【分析】根据7分钟回到原来位置和0<£<万可知角速度可能为二、岁和雪，根据2分钟到达第三象限

777

可确定角速度为万，由此可得a.

【详解】由题意知：点加的角速度为等,eN*),又0〈与<乃，.•"=：!或2或3；

当％=1时，角速度为子27r，则2分钟到达?的位置，不在第三象限，不合题意；

77

当左=2时，角速度为47?r，则2分钟到达8营4的位置，位于第三象限，符合题意；

77

当左=3时，角速度为雪，则2分钟到达学的位置，位于第四象限，不合题意；

77

4乃"田田、r41

。二」".故答案为：~­•

77

四、解答题

17.已知集合同。=公90°+45°,左eZ}.

(D该集合中有几种终边不相同的角？

(2)该集合中有几个在-360。~360。范围内的角？

(3)写出该集合中的第三象限角.

【答案】⑴四种

⑵8个

⑶{川力=左,360。+225°#eZ)

【解析】

【分析】

(1)分左=4〃,4〃+l,4〃+2,4〃+3(〃eZ)可知，有4种终边不同的角；(2)列出不等式组，解出左的取值范

围，找到对应的角；(3)用集合表达出第三象限角即可.

(1)

由左=4〃,4〃+l,4〃+2,4〃+35eZ),知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.

⑵

97

4-360°<^-90°+45°<360°,得-二MkM：.又kwZ,故左=T，-3,-2,—1,0,1,2,3.所以在给定的角的集合中，

22

在-360。~360。范围内的角共有8个.

(3)

给定的角的集合中，第三象限角为{划£=*360。+225。/eZ}.

18.写出终边在图中阴影区域(包括边界)内的角的集合.

(1)(2)(3)

【答案】⑴同45°+公360。4&490。+入360。或180。+妇360。<。<225°+4-360。,keZ｝；

(2)｛a|^-90o<«<45o+^-90°,^GZ｝；

(3)｛a|-120°+-360°<«<150°+^-360°,无ez｝.

【分析】

写出终边在边界上的角，结合图象，利用不等式表示终边在阴影内的角.

【详解】

(1)•终边在边界上的角为夕=45。+匕18(T代eZ,/7=9O°+hl8O。,左eZ,

•••终边在阴影部分的角满足：45。+h180。4a490。+h180。水eZ,

所求角的集合为｛«|45°+^-180°<a<90°+^-180%eZ)

(2)•终边落在边界上的角为夕=45。+上90。，keZ,终边落在坐标轴上的角勿=h90。，keZ,

,终边落在阴影区域内的角为h90。<[445。+公9(F/eZ,

故所求角的集合为｛。|公90。Ve445。+公90。#eZ｝,

(3),•,终边落在边界上的角为a=—120。+h360。，keZ,尸=150。+入360。,4eZ,

•••终边在阴影部分的角满足：一120。+k-360°<«<150°+k-3600#eZ,

故所求角的集合为｛«|-120°+k-3600<«<150°+)t-360o,k^z]

.27r

19.已知扇形AOB的圆心角为7，AB=26.

B

（1）求扇形A03的弧长;

（2）求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）（2）。一6

【解析】

【分析】

根据图象，作于。，则=后再由扇形的圆心角为三

jr2447r

得出ZAOD=1,则OA=2,有弧长公式可得2xy=§.

（2）由（1）可得，扇形A03的半径为r=2,弧长为/=望47r,利用扇形面积公式求出扇形面积,再求出AAO8的

面积,相减即得阴影部分的面积.

【详解】

解：（1）如图，作于。，则==

因为扇形A03的圆心角为看，

TT

所以440。=1.则04=2,

故扇形A08的弧长2*半27r=壬47r.

（2）由（1）可得，扇形A03的半径为r=2,

弧长为/=芋4yr,则扇形AOB的面积为2x2年乃=4芋万

AAOB的面积为gx2括x1=右，

故图中阴影部分的面积为与-道-

20.已知扇形的圆心角是a,半径为R,弧长为/.

(1)若a=60。，7?=10cm,求扇形的弧长/.

(2)若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

7T

(3)若H=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.

【答案】(1)等cm(2)a=2时，S最大为25(3)(1一cm2

【解析】

【详解】

【分析】

试题分析：(1)由弧长公式可求得弧长(2)将扇形面积转化为关于半径A的函数式，结合函数性质可求

得面积的最值及对应的圆心角；(3)将扇形面积减去等腰三角形面积可得到弓形的面积

TTJT1

试题解析：(1)a=60°=—rad,/=10x—=-----cm.

333

(2)由已知得，l+2R=20,

所以S=《/R=g(20-27?)R=10R—R2=—(R—5)2+25.

所以当R=5时，S取得最大值25,

此时1=10,a=2.

(3)设弓形面积为S/由题知/=告cm.

s3=S房庐一s三义寻x2—Jx22xsing=(与一指)cm2.

培优第二阶一一拓展培优练

一、单选题

1.下面关于弧度的说法，错误的是()

A.弧长与半径的比值是圆心角的弧度数

B.一个角的角度数为〃，弧度数为a,则总=4.

18071

C.长度等于半径的6倍的弦所对的圆心角的弧度数为2等7r

D.航海罗盘半径为10cm,将圆周32等分，每一份的弧长为9cm.

16

【答案】D

【分析】根据弧度制与角度制的定义，以及转化关系，即可判断选项.

【详解】A.根据弧度数定义可知A正确；

B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确;

C.根据三角形关系可知，长度等于半径的。倍的弦所对的圆心角为120。，即弧度数为年，故c正确;

54

D.圆周长为2;zT=207rcm,32等分后，每一份弧长为丁cm,故D错误.

8

故选：D

2.若a是第一象限角，则(是(

A.第一象限角B.第一、四象限角

C.第二象限角D.第二、四象限角

【答案】D

【分析】

根据题意求出-言Of的范围即可判断.

【详解】

由题意知，^-360°<tz<A:-360o+90o,k&Z,

则％J80°<q<hl80°+45°,所以-hl80°-45°<-@<-hl80°,kcZ.

22

Of(y

当人为偶数时，-万为第四象限角；当火为奇数时，-万为第二象限角.

所以一c羡t是第二或第四象限角.

故选：D.

3.930°表示成a+2左兀(keZ)的形式，则的最小值为()

57r2471

A.B.c.

~6T7

【答案】A

【分析】

由于930°=210°+720"=-150°+1080°,故可得出1。1的最小值.

【详解】

STT

因为930°=210°+720°=-150°+1080°，所以Ial=150°=—.

mmo

故选：A.

4.设集合4=同。=45。+左J80。,左€2}3«10=135。+匕180。,h2},集合3={用尸=45。+左-90。,左wZ},

贝I（）

A.AIB=0B.ABC.BAD.A=B

【答案】D

【分析】

考虑A中角的终边的位置，再考虑B中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.

【详解】

.a=45°+k-180°,keZ表示终边在直线y=x上的角，

«=135°+^-18O0,/:eZ表示终边在直线>=-％上的角，

而分=45。+公9（F/eZ表示终边在四条射线上的角，

四条射■线分另U是射■线y=x,x>0-,y=-x,x<0-,y=x,x<0;y=-x,x>0,

它们构成直线y=x、直线y=-x,故A=B.

故选：D.

5.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几

何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而

一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是

A.—B.—C.—D.120

1584

【答案】C

【分析】由题意，根据给出计算方法：扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,再由扇形的弧长公式列出方

程，即可求解.

【详解】由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,

再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角"='="=?（弧度），故选C.

r84

6.已知扇形周长为40,当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（）

35

A.—B.—C.3D.2

22

【答案】D

【分析】设出扇形半径并表示出弧长后，由扇形面积公式求出取到面积最大时半径的长度，代入圆心角弧

度公式即可得解.

【详解】设扇形半径为L易得0（r<20,则由已知该扇形弧长为40-2几

t己扇形面积为S，则s=gr（40-2r）=r（20-r）<（.+2：—）=100,

当且仅当r=20-r，即r=10时取到最大值，此时记扇形的圆心角为。，则。=4"0=.2=r22=02

r10

故选：D

7.若扇形周长为20,当其面积最大时，其内切圆的半径一为（）

Au1-13-5sinl0匚5

A.5—；—B.--------1—C.----------D.5H-----；—

sinlsinl21+sin11+sin1

【答案】c

【分析】

先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆

半径「的等式，由此求解出r的值.

【详解】

设扇形的半径为R,圆心角为。，面积为S,因为2R+（zR=20,

2

所以S=gaR2=(10-7?)2?<10—尺十尺I=25,取等号时10—R=R,即R=5,

2

所以面积取最大值时R=5,a=2,

如下图所示:

设内切圆圆心为。，扇形过点。的半径为AP,B为圆与半径的切点,

因为AO+OP=R=5,所以厂+=5'所以―1=5,

sinZBPO

由1、15sinl

所以厂=;——

1+sin1

故选：c.

8.已知圆。与直线/相切于点A,点P,。同时从点A出发，尸沿直线/匀速向右、。沿圆周按逆时针方向

以相同的速率运动，当点0运动到如图所示的位置时，点P也停止运动，连接。。，0P,则阴影部分的面

积S-S?的大小关系是（）

A.S1>S2B.S,<S2

C.S,=s2D.先岳<$2，再凡=邑，最后S|>S?

【答案】C

【分析】

根据给定条件求出扇形A。。与AQ4P面积，再由面积的关系即可判断作答.

【详解】

因圆。与直线/相切，则于是得AAO尸面积凡。"=（044尸，

令弧A。的弧长为/,扇形AOQ面积S=。4,

依题意/=AP,即S=S“加，，令扇形AOB面积为S',则有5'+5]=5'+邑，即，=邑,

所以阴影部分的面积3，邑的大小关系是岳=邑.

故选：C

二、多选题

9.扇形周长为6cm,面积为2cm\则其圆心角的弧度数可能是（）

A.1B.2

C.4D.5

【答案】AC

【分析】

设扇形的半径为rcm,圆心角为夕（0<1<2万），根据已知条件可得出关于c、r的方程组，即可求得结果.

【详解】

（2+o）r=6

r=1r=2

设扇形的半径为rem,圆心角为。（0<£<2万）,则12c，解得a=4或

—ar=2a=l

12

故选：AC.

10.已知角a的终边在第一象限，那么角?的终边可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】ABC

【解析】

【分析】

先写出角a的终边在第一象限角的集合，再通过运算进行求解判断即可.

【详解】

因为角a的终边在第一象限，

所以左•3600<a<A>360°+90°,k&Z,

（y

BP^-120o<y<）t-120o+30o,keZ.

（7

当上=0时，0°<y<30o,则终边在第一象限；

当左=1时，120°<|<150°,则终边在第二象限；

当％=2时，240°<-|<270°,则终边在第三象限；

Of

当左=3时，360°<y<390°,则终边在第一象限.

故选：ABC.

11.下列结论中不正确的是（）

A.终边经过点（a,-a）（aw0）的角的集合是，aa=+

B.将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是三

C.若。是第一象限角，则券是第一象限角，2«为第一或第二象限角

D.M={无,=45。+入90°,左eZ},N={y|y=9（F+公45°,4eZ},则M=N

【答案】BC

【分析】根据角的终边位置判断A,根据角的定义判断B,利用特殊值判断C,根据集合间的包含关系判断

D.

【详解】对于选项A：终边经过点。）（。"0）的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是

，值=一（+七?■，左eZ1,正确；

对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是

，错误；

对于选项C：若“400。？|200。，券不是第一象限角，错误；

对于选项D：M={x\x=45°+k-90°,k^z}={x|x=（2A:+l）x45o,左eZ},而（2左+1）x45°,左eZ表示45°的奇

数倍，

N={y|y=9（r+后X45。，％eZ}={y|y=（%+2）x45°,左eZ},而（l+2）x45°,左eZ表示45。的整数倍，所以

M=N,正确.

故选：BC

12.已知扇形的半径为,，弧长为/,若其周长为4,则下列说法正确的是（）

A.若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为1

B.该扇形面积的最大值为1

C.当该扇形面积最大时，其圆心角为2

D.二+；的最小值为3

rI

【答案】ABC

【分析】对于A：直接利用扇形的面积公式即可求得；

对于B：表示出扇形的面积，利用基本不等式求出最值；

对于C：直接求出面积最大时的圆心角；

对于D.利用基本不等式中“1”的妙用，求出最小值，即可判断.

【详解】对于A：因为片1,周长为/+2片4,所以/=42片2,所以扇形的面积为S=*=gx2xl=l,故A正确；

对于B：由已知/+2片4,所以/=42〃又扇形的面积为S=gx（4-2r）xrW

m2=1,

（当且仅当2-r=r,即尸=1时取得最大值）.故B正确；

对于C：当扇形面积为最大时，由对上面选项B分析可知r=1且/=4-2〃=2时，面积最大,圆心角

1?

。=一=；=2.故C正确；

r1

对于D・因为MI，所以白£1，

2121142厂、5c

所以；二!xl=----111N—F2,当且仅当小学即修时等号成

4r444/4

立）.故D错误.

故选：ABC

三、填空题

13.一个扇形的弧长为6兀，面积为27兀，则此扇形的圆心角为__________度.

【答案】120

【分析】设扇形的半径为小圆心角为废，根据弧长与扇形面积公式得到方程组，解得即可.

n7tr,

旃=6万

【详解】解：设扇形的半径为,，圆心角为〃°,依题意可得，，

故答案为：120

14.若。角的终边落在第三象限，则券的终边落在第象限；

【答案】二或四

【分析】根据已知条件写出a的范围，求得券的范围，再判断其所处象限即可.

【详解】因为a角的终边落在第三象限，故可得2人万-乃<a<2Z万-1,AeZ,

则左万一£<|<左万一其表示第二或第四象限的角度.

故答案为：二或四.

15.若两个角的差为1弧度，和为1。，则这两个角的弧度数分别为

711711

【答案】----1--

3602360~2

a-/3=1

【分析】设这两个角的弧度数分别为a，夕，先将1。化为弧度，然后由条件可得方程。万，解出

a+B=——

180

方程可得到答案.

jr

【详解】设这两个角的弧度数分别为B,a>B，因为1。=rad,

711

a-=1

则360:,即这两个角的弧度数分别为叁711

所以+1

c71360~2

a+B=---n7iL3602

p=-------------

180〔3602

711711

故答案为:----1--

3602360~2

16.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2）,在半圆。（半径为20cm）中作出两个扇形0LB和OCE）,

用扇环形ABOC（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为航，扇形。山的面积为$2,

当卷=4土时，扇形的现状较为美观，则此时扇形℃£>的半径为

cm

图2

【答案】10（拓-1）

【分析】根据已知条件和扇形的面积公式可求得答案.

【详解】设NAO3=a,半圆。的半径为r,扇形的半径为。

4=勺，所以/六昉二”,即与=叵土

邑22r2

2

所以1=±11=91\1=（与1）2,所以a=与1,又r=20cm,,所以彳=10（6一1）皿,

故答案为：10（如-1）.

四、解答题

17.已知角夕的终边在第四象限.

（1）试分别判断多、2。是哪个象限的角；

（2）求。的范围.

【答案】（1）|Of•是第二或第四象限的角，2a是第三或第四象限或y轴的非正半轴的角；（2）

(keZ).

【分析】

(1)先写出。的范围，再求出羡和2。的范围，即可求解；

(2)由写出a的范围，再求出|■的范围，再判断即可.

【详解】

Qa是第四象限的角，

37r

/.2k?i+—<a<2k兀+2〃■(左GZ),

/.kji+今〈三<k兀+7i(keZ),

当左=2n(n?Z)时，

.371aA/“、

LYin+—<—<2n7i+兀(neZ)

此时I■是第二象限；

当左=2〃+l(〃£Z)时，

_77ra__z

2n7i+<—<2n7i+2ji｛nGZ)

此时I•是第四象限；

37r

又,/2左"+—<a<21k兀+2»(左GZ)

,4k兀+3%v2cr<4上左+4兀(kGZ)

此时2a是第三象限或第四象限或>轴的非正半轴；

37r

(2),/2k7r+—<a<2k7i+eZ)

2kn7ia2k兀2TI,“、

-------F—<—<-----+——(ZkeZ)

32333

37r7T

18.已知4=-570。，a2=750°,[3X=—rad,P2=--rad.

(1)将%,%用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；

(2)将4，用用角度制表示出来，并在｛划-720。〈/?〈-180。｝内找出与它们终边相同的所有角.

【答案】

5777T

(1)%=—4万+9,第二象限；%=4%+工，第一象限

66

(2)A=108°,-612。和-252°；P2=-60°,-420°

【分析】

(1)直接将角度转化成弧度表示即可；通过周期公式化简，可求出终边对应象限；

(2)将弧度转化成角度即可；通过任意角概念给上赋值，求出在［-720。,-180。］内对应角即可.

(1)

由题意，根据角度制与弧度制的互化公式，可得

=-570°=-570x—,

11806

«=750°=750x—=.

~1806

又由%=-?=-4万+生，所以内与角挈的终边相同，所以以终边位于第二象限；

OOo

%=等=4万+J,所以%与角］的终边相同，所以％终边位于第一象限；

666

(2)

根据角度制与弧度制的互化公式，可得4=费=108。，A=-|=-60°.

根据终边相同角的表示，可得与4终边相同的角为q=kx360°+108°,keZ,当左=-1时，

4=-360°+108°=-252°；当％=-2时，=-2x360°+108°=-612°.

与为终边相同的角为82=h360°-60°,ZeZ,

当上=一1时，%=-360°-60°=-420°.

因此，在卜720。,-180。］内，与从终边相同的角是-612。和-252。，与色终边相同的角是-420。.

19.已知一扇形的圆心角为a,半径为R,弧长为1.

(1)若a=60。，R=10cm,求扇形的弧长1；

(2)已知扇形的周长为10cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角；

(3)若扇形周长为20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

【答案】(1);(2)；；(3)Z=10,cr=2

3/

【分析】

(1)根据扇形的弧长公式进行计算即可.

(2)根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解

(3)根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可.

【详解】

JIn10Ji

(l)a=60°=—rad,：.l=aR=—x10=——(cm).

**3R

(2J?+Jfa=10,户4,

⑵由题意得h也解得一L1(舍去)」1

故扇形圆心角为:

(3)由已知得,—20.

所以S=JR=3(20—2R)R=10R—R2=一(R—5产+25,所以当R=5时，S取得最大值25,

此时1—10,a—2.

【点睛】

本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本

题的关键.

20.如图，已知一个长为6而I,宽为1办?的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小

木板挡住，使木块底面与桌面成30。的角.求点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积.

BCA2D

【答案】路程的长为为等万(如)，走过的弧度所对的扇形的总面积为寻(而

【分析】

确定每段弧所对的圆心角和半径，利用扇形的弧长公式以及面积求得每段弧长以及扇形的面积，相加可得

出结果.

【详解】

A4所在圆弧的半径是2曲，圆心角为万；

A4所在圆弧的半径是1力九，圆心角为I；

4A3所在圆弧的半径是百，加，圆心角为

所以走过的路程是3段圆弧之和，即2><工+卜工+有义工=归2叵万(加)，

2236

3段圆弧所对的扇形的总面积是达"+抬力+：手⑼子（加”

培优第三阶——高考沙场点兵

一、单选题

1.（2022•全国.高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长

度的“会圆术”，如图，AB是以。为圆心，。4为半径的圆弧，C是A8的中点，。在A8上，CDLAB."会

2

圆术”给出A5的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+^CD~.当。4=2,NAQB=60。时，s=（）

OA

人11—3^/3D11—4\/3c9—3^/3C9—4^/3

2222

【答案】B

【分析】连接OC,分别求出AB