空间直线平面的平行与垂直-2023年高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

专题07立体几何初步

第24练空间直线、平面的平行与垂直

馋练基础

1.（2022•浙江浙江•二模）已知直线/〃平面a,点P©平面a,且P不在/上，那么过点尸且平行于直线/

的直线（）

A.有无数条，仅有一条在平面a内B.只有一条，且不在平面a内

C.有无数条，均不在平面夕内D.只有一条，且在平面a内

【答案】D

【解析】过直线/与点尸的平面有且只有一个，记该平面为〃.

又因直线/〃平面a,点Pe平面a

所以过点尸且平行于直线/的直线只有一条，且这条线为平面。与平面夕的相交线.

故选：D.

2.（2022•浙江杭州•二模）设名夕为两个不同的平面，则a〃△的充要条件是（）

A.a内有无数条直线与月平行B.。，/垂直于同一平面

C.a,£平行于同一条直线D.a内的任何直线都与夕平行

【答案】D

【解析】A选项，C内有无数条直线与夕平行，。与夕可能相交，A选项错误.

B选项，。，方垂直于同一平面，a与4可能相交，B选项错误.

C选项，4分平行于同一条直线，a与尸可能相交，C选项错误.

D选项，。内的任何直线都与月平行，则a〃£,D选项正确.

故选：D

3.（2022•广东•模拟）在正方体ABCD-ABCR中，〃是正方形A8CD的中心，则直线与直线片加所

成角大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【解析】设正方体的棱长为2a,连接耳C,MC,MB,

因为4C7/A。，故NC瓦M或其补角为直线AQ与直线片M所成角.

22

而4c=2A/^Q,MC=y/2aJ=^B[B+BM=J4〃2+2/=,

222

i^B.C=B1M+CM,所以Mg_LCM,

所以cosNCB'M=当匕=斑,因为NC4M为锐角，故NC印W=30。,

2缶2

故选：A.

4.（2022•山西•一模（文））如图,正方体ABC。-A,4GA中，若E,F,G分别是棱AD,QC,的

中点，则下列结论中正确的是（）

A.BE1平面。尸GB.4月〃平面DFG

C.CE//平面DFGD.平面4E8〃平面WG

【答案】C

【解析】由A8CD-A4CQ为正方体，且b，G分别是棱CC，4G的中点，贝l]FG〃A。，则平面DFG即

为平面AOFG,

A选项，如图连接2G,由正方体可知2G//BE,又，G_LAG不成立，所以BELAQ不成立，即A选项

错误；

B选项，由4EI平面AD尸G=A，故AE与平面ADFG不平行，B选项错误；

C选项，连接CE,则CE〃AG,又AGu平面AD尸G,CEaADFG,所以CE〃平面ADPG,C选项正确;

D选项，平面AEB与平面AOFG有公共点A，故D选项错误；

故选：C.

5.（2022•广东•深圳市光明区高级中学模拟）如图所示，ABC。一A/B/C/Q是棱长为a的正方体，M,N分

别是下底面的棱的中点，尸是上底面的棱A。上的一点，AP=|,过P,M,N的平面交上底面

于尸0,。在CD上，则尸0=.

DQ

\一一i--

M8

【答案］组

【解析】ABCD,平面PAfAQC平面ABCD=P。，MNu平面PQNM,

2

：.MNIIPQ,易知。尸=。。=§〃，

故尸。=y/PD2+DQ2=立PD=jV2fl.

2屈a

故答案为:

3

6.（2022•河南•宝丰县第一高级中学模拟（文））在矩形ABCD中，AB=24）=4,点E为C。的中点（如

图1）,沿4£将^ADE折起到△APE处，使得平面PAEL平面ABCE（如图2）,则直线PC与平面A8CE

所成角的正切值为.

图2

【解析】取AE的中点/，连接CP,PF,

：上4=尸£1且E为8的中点，/.PF±AE.

又：平面平面ABCE,平面PAE'平面ABCE=AE,尸产u平面巴4E,

Pb_L平面ABCE,

则直线PC与平面ABCE所成角为/PCF

AE=VA£>2+DE2=272>PF=EF=6

CF2=EF2+CE2-2EFCE-cosZCEF=10iPCF=J10,

所以tan/尸—落.

1.（2022•湖北省仙桃中学模拟）已知平面a,夕，/,直线。，b,c,下列说法正确的是（）

A.若a//a,blip,a//b,则a//月

B.若a_La,aY13,则a〃〃

C.若“，a,blip,a!Ip,则；

D.若TC/=a,°y=b,a/lb,则a〃/?

【答案】C

【解析】若a//。，blip,a!lb,则a与月平行或相交，故A错误；

若。_La,aV/3,则a///?或au£,故B错误；

若a_La,blip,all/3,由面面平行与线面垂直的性质定理可得，：_L力，故C正确;

若ac/=a,（3y=b,allb,则a与/平行或相交，故D错误.

故选：C.

2.（2022•广东•普宁市华侨中学二模）如图，在四面体A8CD中，若截面PQMN是正方形且尸。〃AC,则

在下列说法中，错误的为（）

A.ACLBDB.AC〃截面PQMN

C.AC=BDD.异面直线与2。所成的角为45。

【答案】C

【解析】A：由题设，易知QMUBD,又PQLQM,PQ//AC,即有ACMD,正确;

B：由PQ//4C,尸Qu截面PQMN,47（/截面「。阿，则AC〃截面PQMN,正确;

C：仅当尸,。为中点时AC=B。，故错误；

TT

D：由A知：异面直线与8。所成的角为/PMQ=：,正确.

故选：C

3.（2022•浙江湖州•模拟）如图，已知四边形A3CD,△BCD是以8。为斜边的等腰直角三角形，AABD为

等边三角形，BD=2,将△ABD沿对角线3。翻折到△PBD在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（）

A.BDLPCB.£>尸与2C可能垂直

C.直线DP与平面BCD所成角的最大值是45°D.四面体PBCD的体积的最大是必

3

【答案】C

【解析】如图所示，取的中点连接

△BCD是以为斜边的等腰直角三角形,.•.即，

△ABD为等边三角形,BD工PM

.•.£0_1_面2河。,BD±PC，故A正确

对于B,假设DPLBC,又BCLCD

:.BC1^PCD,BCLPC,

又尸B=2,BC=^.PC=0e[^T5^+l],故与BC可能垂直，故B正确

当面PBD1面3CD时，此时孙/_1面8。。，NPDB即为直线DP与平面BCD所成角

此时NP£>8=60°,故C错误

当面PB£>_1_面3c。时，此时四面体PBCD的体积最大，此时的体积为：

^=-5Br„.PM=-x(lxA/2xV2)x^=—，故D正确

3BCD323

故选：C

4.(2022•山东师范大学附中模拟)足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系

外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上

2

有四个点RA仇C,满足PA=1,PA，面ABC,ACVBC,^VP_ABC=-9则该“鞠”的体积的最小值为（）

竺99

BC--

A.6JI2D.8

【解析】取中点为。，过。作QD/AR4,且。，因为以，平面A3C,所以。DJ_平面A3c.由于

人。，3。,故94=。5=。。,进而可知。4=05=0。=0?,所以。是球心,。4为球的半径.

11?

由YP-ABC=-x-ACCBPA=-^ACCBM，又AB2=AC2+BC2>2AC-3c=8,当且仅当AC=5C=2,等

号成立，故此时AB=2应，所以球半径R=OA=JOD2+^AB）＞相+（可=+故体积最小值

为371H3-—Ti3

33I=r

故选:c

5.（2022•江苏淮安•模拟）周总理纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若该组合体

接于半径R的球。（即所有顶点都在球上）,记正四棱锥侧面尸与G与正方体底面A4GR所成二面角为。,

贝“tan3=__________

【答案】6-1

【解析】由正方体的性质可知该组合体的外接球的球心为正方体的中心,

设正方体底面44GA的中心为a，BC的中点为E,连接尸0,0卢，尸E,

则PE_LB]C1，O1E_LB]G，

则NPEa=6,设正方体的棱长为。，则尸0==

tan（9=^-=V3-l

O、E-

故答案为：V3-1.

6.（2022•海南•模拟）如图，在长方体A8Cr>-45Ca中，AB=3cm,AD=2cm,M=lcm）则点5到

平面AB?的距离为cm.

【答案】平

【解析】在长方体A3C。-A4G2中，ABJ_平面A£>£>I4,则有A8_LAZ）i，

又AB=3cm,AD=2cm,=1cm,于是有曲=百，s=-AB-AD,=,

1ARn2i2

13

而，平面AB4,s

设点Bi到平面ABD,的距离为h,由VB「ABD,=匕…期/守*3sABDI，-3sABB、^1'

即述/,=3.2,解得八拽，

225

所以点用到平面ABD,的距离为手.

故答案为：平

7.（2022•江西省丰城中学模拟（文））在二棱锥A-BCD中，底面BCD为直角二角形，且BCLCD,斜边

3。上的高为1,三棱锥A-BCD的外接球的直径为A2.若该外接球的表面积为16巩则当三棱锥A-BCD的

体积最大时，ABCD的外接圆半径为.

【答案】V2

【解析】设AD=x,过C作CELBD交3。于E,则CE=1.

因为外接球的表面积为16肛故外接球的半径为2,故AS=4.

因为AB为球的直径，故NAr>8,/BC4均为直角，故BCLAC,

而8C，CD,ACcCD=C,故3CL平面ACO,

而ADu平面ACO,故BC1.AD,而BDcBC=B,

故AD_L平面BCD,故GBCD=gxADxSBCD，

又SBCD=|xlxV16-x2,故%_BCD=gxxxgjl6_x2《d，

当且仅当尤=2JI时等号成立，止匕时3。=2后即ABCD的外接圆半径点.

故答案为：A/2.

8.(2022•广西桂林•二模(理))在三棱锥A8C£)中，对棱48=CO="AD=BC=5,AC=BD=y/lO,

当平面a与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面a所截得的截面面积最大值为

【答案】3

【解析】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABC。放入长方体中，设长宽高分别为工,»z,则

Jx?+y2=底&+Z?=如,"/M=岳,则x=l,y=2,z=3.

当平面a与三棱锥A3CZ)的对棱AB,CD均平行时，截而为四边形EASH,ABHFGHEH,CD//EF//HG,

Appp

设三贝==)=/，同理E"=Q—DAB,NTffiF(或其补角)是异面直线A民CO

ACCDAC

所成的角，

SEFGH=EFEHsinZHEF=Z(1-t)AB-CDsinZHEF,其中ABCDsinN/ffi1尸为定值，

t(l-t)=-t2+t=-(t-^)2+-,/=:时，MIT)取得最大值，即截面EFGH面积最大，此时E,EG,H是所

242

在棱中点，

由长方体性知最大面积为长方体上下底面面积的一半;个=1,

13

同样地，当平面。与三棱锥ABC。的对棱AC,2。均平行时，截面最大面积为彳立=彳；当平面a与三棱

锥A8CO的对棱ADBC均平行时，截面最大面积为;»=3.

故答案为：3.

3堆练素养

1.（2022•广东广州•三模）一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，E、F分别为PB、PC

的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（）

A.直线AE与直线8尸异面B.直线AE与直线O尸异面

C.直线EFk平面PADD.直线EF平面ABCD

【答案】B

由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接AE,EF,BF,DF,易得EFBC,BCAD,

则£F〃AD,

故£F,A£>共面，则共面，故B错误；又尸e面AEFD,3任面AEFD,F不在直线AE上，则直线

AE与直线8尸异面，A正确；

由砂〃A。，EFO平面PAD,AT>u平面上4D,则直线1平面PAD,C正确；

EbU平面ABCD,AT>u平面ABCD,则直线，平面ABCD,D正确.

故选：B.

2.（2022•北京四中三模）如图，在正方体ABCD-4旦（7/）|中，E是棱C£的中点，尸是侧面BCQ片内的

动点，且4尸与平面AAE的垂线垂直，则下列说法不正确的是（）

A.4歹与RE不可能平行B.A尸与BE是异面直线

C.点/的轨迹是一条线段D.三棱锥尸-A82的体积为定值

【答案】A

【解析】解：设平面2AE与直线2C交于G,连接AG,EG,

则G为3c的中点，分别取用8,4G的中点M,N,

连接4",MN,A\N,

如图，,:'MIRE,A"E平面RAE,REu平面RAE,

/.\MH平面D.AE,同理可得MN//平面DXAE,

又AM、MN是平面AMN内的两条相交直线，

，平面AMN〃平面RAE,而4尸〃平面RAE,人/u平面,

得点尸的轨迹为一条线段，故C正确；

并由此可知，当F与〃重合时，A尸与平行，故A错误；

•.•平面AMN〃平面RAE,8E和平面AAE相交，.・.AZ与BE是异面直线，故B正确；

VMN//EG,则点F到平面QAE的距离为定值，...三棱锥尸-A32的体积为定值，故D正确.

故选：A.

3.（2022•浙江绍兴•模拟）正方体ABC。-中，。为正方体的中心，P为正方体表面上的一个动点,

若直线。尸与平面4稣0、平面ACQ所成的角都是30。，则这样的点尸的个数为（）

A.4B.6无数个

【答案】C

【解析】：明。。为正方形，则

又CD1平面AA.D.D,则AQ1CD

A.DCD=D,则AR_L平面AB®。

/.AD1lBtD

同理可得：AC1BtD,ACTADl=A

二局。，平面ACR

如图，取AR的中点E,连接CE交耳。于点G,若平面EC，（即平面AQ）存在点使得与平面

4片。、平面ACQ所成的角都是30。，连接MG,过M作肱V_LCE,垂足为N,连接ON,则MN〃。也

设正方体的边长为6,则0G=G,/OMG=/AfON=^

6

MO=2y/3,MG=NO=3,MN=y/3,NG=y/6

即在线段CE作NG="确定点N,再过点N作脑V〃AQ,且MN=C,连接加，则直线即为满足

题意的直线OP

根据对称可知满足条件的直线OP共有4条，则这些直线与正方体表面的交点共有8个

故选：C.

%

4.（2022•广东•模拟）在三棱锥P-ABC中，ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2,AR4c为正三角形,

且二面角P-AC-3的平面角为则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（）

O

524-28-32

A.—冗B.一兀C.—7iD.—几

9939

【答案】C

【解析】如图所示，ABC为直角三角形，又AB=AC=2,

所以8c=20，

因为△PAC为正三角形，所以％=PC=AC=2,

连接尸ROE,。为AC的中点，E为BC中点，

则PD±AC,DE±AC,所以ZPDE为二面角尸一AC-3的平面角

所以NPDE=30。.

因为一ABC为直角三角形，E为BC中点，

所以点E为ABC的外接圆的圆心，

设G为△EAC的中心，则G为4c的外接圆圆心.过E作面45c的垂线，过G作面PAC的垂线，设两

垂线交于。.

所以HE=DE-DH=-,OE=HExtan60=-^

i7

R2=CO2=CE2+EO2=2+-=-.

33

所以S=4TTR2

3

故选：C.

5.（2022•山东青岛•二模）已知正方体ABC。-ABIGR,动点尸在线段8。上，则下述正确的是（）

A.PCt//AD,B.PQ1AC

C.尸£，平面ABDD.PC]〃平面A8Q

【答案】BD

【解析】对A,如图，根据正方体的性质有A2〃0G且A8=2G，故平行四边形A8GQ,故

故当且仅当P在6点时才有尸G〃AA，故A错误；

对B,如图，由正方体的性质可得用c，BG，A瓦，平面B4GC,故又用cc4耳，qc，Agu

平面A4CO,故平面ABC。，故BG^AC,同理。G,AC,故AC，平面BCQ,故

故B正确；

对C,当尸在8时，ZC.BA=60,故PG，平面43。不成立，故C错误；

对D,同B有4CL平面故平面BC]。〃平面A4R,故PQ〃平面AqR成立，故D正确；

故选：BD

6.（2022•湖北•模拟）棱长为1的正方体中，P、。分别在棱BC、CQ上，CP=x,CQ=y,

xe[0,l],yw[0,l]且/+尸*0,过A、P、Q三点的平面截正方体ABC。-ABCQ得到截面多边形，则（）

A.x=y时，截面一定为等腰梯形B.尤=1时，截面一定为矩形且面积最大值为0

C.存在X,y使截面为六边形D.存在尤，y使与截面平行

【答案】BD

【解析】对A,x=y=l时，截面为矩形，故A错;

对B,当x=l时，点尸与点8重合，设过A、P、。三点的平面交于则因为平面441nQ〃平面BBCC，

故尸。〃AM,且ABLPQ,此时截面为矩形，当点。与点G重合时面积最大，此时截面积S=1义忘=应，

B正确;

对C,截面只能为四边形、五边形，故C错；

对D,当尤=g，＞=；时，延长gB交QP延长线于N,画出截面如图所示.此时因为的=CP,

BN//CQ,故RNBPN=RtVCPQ,则BN=CQ=g.由面面平行的截面性质可得NADM:NPCQ,

AD=2PC,故MD=2QC=',此时加。=：,故MD、=BNaMD、〃BN,故平行四边形MR8N,故

MN//D.B,根据线面平行的判定可知8。与截面平行，故D正确.

D

tG

故选：BD

7.（2022•福建省厦门集美中学模拟）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是由边数不全相同的正多边

形为面围成的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三

棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为12+46,则关于该半正多面体的下列说法中正确

的是（）

77

A.”与平面28所成的角为工

C.与所成的角是（的棱共有16条D.该半正多面体的外接球的表面积为6万

【答案】AC

【解析】补全该半正多面体得到一正方体,设正方体的棱长为。,

由题意知，该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成.

则由半正多面体的表面积为12+4百，

a=2,

因为平面BCD,44BE为A8与平面的夹角，

7T

因为△国为直角三角形，S.AE=BE,所以4=：

4

TT

所以AB与平面SCO所成的角为=：,故A正确;

AB=\lAE2+BE2=夜，故B错误；

TT

在与AB相交的6条棱中，与42所成的角是§的棱有4条，又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱,

故与A8所成的角是。的棱共有16条，故C正确；

由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体的体

对角线的中点。，点。在平面4近的投影点为。一

则有OO1=1,AQ=1,所以40=Joo；=后,

故该半正多面体的外接球的半径为垃，面积为47rx=8无，故D错误；

故选：AC.

8.（2022•重庆•一模）如图，在棱长为2的正方体A8C。-AAG。中，点“在线段BG（不包含端点）上

运动，则下列结论正确的是.（填序号）

①正方体A3CO-ABG2的外接球表面积为48万；②异面直线AM与AQ所成角的取值范围是③

直线AM//平面ACDt.④三棱锥R-AMC的体积随着点M的运动而变化.

【答案】②③

【解析】正方体对角线长为2石，即这外接球直径，因此球半径为r=g,球表面积为S=4万产=12万，①

错；

正方体中AB与GQ平行且相等，A8G。是平行四边形，ADJ/BC、,94足£是正三角形，与BQ的

夹角（锐角或直角）的范围是因此②正确；

32

由②上知BCi//ADl，而8G①平面ACD,，叫u平面ACD,，所以8G〃平面ACR