2024-2025学年湖南省长沙市望城一中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市望城一中高二（下）期中数学试卷一、单选题1.设集合A={−1,0,1,2}，B={y|y=x}，则A∩B=A.{0} B.{0,1,2} C.{0,1} D.{0,2}2.已知复数z=1−i，则z−+1zA.32−12i B.323.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为第一象限内一点，∠AOC=π4，且|OC|=2.若OC=λOA+μOBA.22 B.2 C.24.已知函数f(x)=cos(2ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为πA.2 B.3 C.1 D.−15.小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为(

)A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.216.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，关于原点对称的两点A、BA.2 B.2 C.1027.在正三棱锥P−ABC中，O为△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为(

)A.49π B.36π C.32π D.28π8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且SA.an<an+1 B.Sn>二、多选题9.给出以下四个说法，其中正确的说法是(

)A.残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小

B.在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好

C.在回归直线方程y=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y​平均增加0.2个单位

D.对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k10.已知抛物线C1：x2=4y.现将抛物线C1绕原点顺时针旋转90°，得到新抛物线C2.记C2的焦点为F.过点F的直线交抛物线C2于M，NA.焦点F(1,0) B.|MN|=6

C.准线方程为x=−1 D.△MON的面积为211.已知a>0，m(x)=ex−2−e2−x，f(x)=am(x)−sinπx，若A.m(x)在

R上递增

B.m(x)图象关于点(

2，0)中心对称

C.任取不相等的实数x1，x2∈R均有三、填空题12.已知离散型随机变量X～B(10,14)，Y=2X−1，则E(Y)=13.某班元旦晚会准备了8个节目，其中歌曲节目有3个，舞蹈节目有2个，小品、相声、魔术节目各1个，要求小品、相声、魔术这3个节目不安排在第一个表演，这3个节目中最多有2个节目连续表演，且魔术在小品后面表演，则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有

种.(用数字作答)14.1675年，卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知点F1(−2,0)，F2(2,0)，动点P满足|PF四、解答题15.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=bcosC−33bsinC．

(1)求B的大小；

(2)若△ABC的面积为33，且BC16.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥平面AA1B1B，∠ABB1=π3，AB=1，AC=AA1=2，D为棱BB1的中点．

(1)求证：AD⊥平面17.(本小题17分)

已知点A，B是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右顶点，椭圆E的短轴长为2，离心率为32．

(1)求椭圆E的方程；

(2)点O是坐标原点，直线l经过点P(−2,2)，并且与椭圆E交于点M，N，直线BM与直线OP交于点T，设直线AT18.(本小题17分)

已知函数f(x)=aln(x+1)+cosx．

(1)若a=1，求f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)∀x∈[0,π]，f(x)≤2ex−1，求a参考答案1.B

2.D

3.A

4.C

5.A

6.D

7.A

8.D

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.4

13.10800

14.3

15.解：(1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R(R为三角形外接圆半径)，可得α=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

因为a=bcosC−33bsinC，

则2RsinA=2RsinBcosC−332RsinBsinC，

即sinA=sinBcosC−33sinBsinC，

又因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC−33sinBsinC，

所以cosBsinC=−33sinBsinC，

因为sinC>0，

所以cosB=−33sinB，即tanB=−3，

所以B=2π3；

(2)因为△ABC的面积为33，即12acsinB=33，

所以12acsin2π3=33，16.解：(1)证明：∵AC⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，

∴AC⊥AD，

∵AC//A1C1，

∴AD⊥A1C1

由已知得AB=BD=1，∠ABD=π3，

∴∠ADB=π3，同理可得∠A1DB1=π6，

∴∠ADA1=π−(∠ADB+∠A1DB1)=π2，即AD⊥A1D，

又A1D∩A1C1=A1，A1D，A1C1⊂平面A1C1D，

∴AD⊥平面A1C1D，

(2)连接AB1，∵∠ABB1=π3，AB=1，BB1=2，

∴AB1⊥AB，17.解：(1)由题意可得2b=2，e=ca=1−b2a2=32，

可得a=2，b=1，

所以椭圆的方程为：x24+y2=1；

(2)证明：由(1)可得A(−2,0)，B(2,0)，

显然直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN的方程为y=kx+m，由题意2=−2k+m，即m=2+2k，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立y=kx+mx2+4y2=4，整理可得：(1+4k2)x2+8kmx+418.解：(1)因为a=1，所以f(x)=ln(x+1)+cosx,f′(x)=1x+1−sinx，

则f(0)=1，f′(0)=1，

故所求切线方程为y−1=x−0，即x−y+1=0；

(2)由题意，对∀x∈[0,π]，f(x)≤2ex−1，

等价于aln(x+1)+cosx−2ex+1≤0在[0,π]上恒成立，

令g(x)=aln(x+1)+cosx−2ex+1，则g′(x)=ax+1−sinx−2ex，

若a≤0，则g′(x)<0，即g(x)在[0,π]上单调递减，

故g(x)≤g(0)=0，符合题意；

若a>0，令ℎ(x)=ax+1−sinx−2ex，

则ℎ′(x)=−a(x+1)2