1.4全等三角形的性质与应用期末复习专题突破课件-浙教版数学八年级上册

全等三角形的性质与应用思维导图知识要点：1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。2.全等三角形的对应边上的高线、中线以及对应角的平分线相等。3.全等三角形的周长相等，面积相等。

1.全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对

应角和对应边。2.平移、翻折、旋转前后的图形全等，熟悉全等基本模型并能用变换的

眼光找到全等三角形。3.在应用三角形全等的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必

要时添加适当辅助线构造三角形。常见的辅助线作法：①把三角形一边

的中线延长，把分散的条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的常

用方法。②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短

法”。这些问题经常需要用到全等三角形来证明。4.利用全等三角形解决实际问题一般是把实际问题先转化为数学问题，

再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中

的边角关系是关键。

知识点一：全等三角形在生活实际中的应用

小明利用一根长3m的竿子CD来测量垂直于地面的路灯杆AB的高

度，方法如下：如图，在地面上选一点P，使BP=3m，并测得

∠APB=70°，然后把CD在BP的延长线上左右移动，使竿子CD垂直于地

面，且∠CPA=90°，此时测得BD=11.2m。（1）此时∠C的度数为

。（2）路灯杆AB的高度为

m。

（1）根据角之间的数量关系即可求得答案。（2）根据题意

可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB-PB求出即可。

（1）∵∠APB=70°，∠CPA=90°，∴∠CPD=20°。∵∠CDP=90°，∴∠C=90°-∠CPD=70°。故答案为70°。

∵BD=11.2m，BP=3m，∴DP=BD-BP=8.2m，即AB=8.2m。故答案为8.2。

本题考查全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是

解题的关键。

如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造

△ABC与△BCD来测量点A，B间的距离，其中AC=CD，∠ACB=∠BCD，那么量出的BD的长度就是AB的距离。请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由。

知识点二：利用全等三角形的性质解决几何问题

如图，BE，CF分别是△ABC的边AC，AB上的高线，且BP=AC，

CQ=AB。求证：（1）AP=AQ。（2）AP⊥AQ。

（1）首先证明∠FCA=∠ABP，再加上条件BP=AC，AB=CQ可以证明△APB≌△QAC，进而得到AP=AQ。（2）根据△APB≌△QAC可得∠PAB=∠Q，再证明∠Q+∠FAQ=90°可得∠PAB+∠FAQ=90°，即∠PAQ=90°，即可证出AP⊥AQ。

（1）∵BE，CF是△ABC的高线，∴∠BFP=∠CEP=90°。∴∠BAC+∠FCA=90°，∠ABP+∠BAC=90°。∴∠FCA=∠ABP。

（2）∵△APB≌△QAC，∴∠PAB=∠Q。∵AB⊥QC，∴∠QFA=90°。∴∠Q+∠FAQ=90°。∴∠PAB+∠FAQ=90°，即∠PAQ=90°。∴AP⊥AQ。

本题考查全等三角形的判定与性质，关键是证明

△QAC≌△APB，根据三角形全等可证明角和边的相等关系。

已知△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AE与BD交于点F。（1）如图1，当α=90°时，求证：△ACE≌△BCD，AE⊥BD。

（2）如图2，当α=60°时，直接写出∠AFB的度数为

。【答案】（2）同（1）理可证△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE=∠CBD。∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=120°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=120°，即

∠EAB+∠ABD=120°。∴∠AFB=180°-120°=60°。故答案为60°。（3）如图3，直接写出∠AFD的度数为

（用含α的式子表示）。【答案】（3）同（1）理可证△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE=∠CBD。∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=180°-α，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=180°-α，即∠EAB+∠ABD=180°-α。∴∠AFD=∠FAB+∠ABF=180°-α。故答案为180°-α。

如图，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P，设∠A=n°。（1）当n=56时，求∠CPD的度数。（2）求∠BPC的度数。（用含n的代数式表示）（3）当n=60时，求证：BC=CD+BE。

∴∠BPG=∠BPC-∠CPG=60°。∵∠BPE=∠CPD=60°，∴∠BPE=∠BPG。

∴BC=BG+GC=BE+CD。∴BC=BE+CD。

本题考查三角形的内角和、三角形全等的判定、全等三角形

对应角、对应边相等的性质，难点是利用“截长补短”的方法构造全等三

角形来证明两条线段之和等于第三条线段。

1.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的

垂线BF上的点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与点A，C在一条直线上，这时测得DE=4m，CE=5m，BD=6m，则AB的长为

（C）A.6mB.3mC.4mD.5mC2.如图，小雨同学为了测量一幢楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一

点P，测得PC与地面夹角∠DPC=18°，测得PA与地面夹角∠APB=72°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度都是9m，量得旗杆与楼之间的距离DB=36m，则楼高AB为（B）A.36mB.27mC.25mD.18mB3.如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B=65°，则∠ACD的度数为（D）A.20°B.30°C.40°D.50°D4.如图，在△ABC中，∠B=∠C，BF=CD，BD=CE，∠FDE=64°，则∠A的度数为（B）A.42°B.52°C.62°D.51°B5.“三月三，放风筝”，如图所示为小明制作的风筝的示意图，他根据

DE=DF，EH=FH，不用测量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是

⁠（用字母表示）。SSS6.如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为

⁠。25°7.如图，在正方形网格中，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中点A，

B，C，D中的点

⁠。D8.如图，在△ACD中，∠CAD=90°，AC=5，AD=12，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F。若AB=DE，则图中涂色部分的面积为

⁠。309.如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OP，OQ为海岸

线，一轮船从码头开出，计划沿∠POQ的平分线航行，在航行途中的某

时刻测得船所在的位置C与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离

航线？请说明理由。

10.如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知

∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4。（1）求∠CBE的度数。【答案】（1）∵∠ABE=162°，∠DBC=30°，∴∠ABD+∠CBE=132°。∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC=∠DBE。∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE。∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，即∠CBE的度数为66°。（2）求△CDP与△BEP的周长和。【答案】（2）∵△ABC≌△DBE，∴DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4。∴△CDP与△BEP的周长和DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5。

11.如图，在△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠ABC=∠AEF，∠EAB=40°，AB交EF于点D，连结EB。下列结论：①∠FAC=40°；②AF=AC；③∠EFB=40°；④∠EBC=110°。其中正确的是（C）A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④C12.如图，△ABE≌△ADC≌△ABC，若∠1=150°，则∠α的度数为

⁠。【解析】∵△ABE≌△ADC≌△ABC，∴∠BAE=∠1=150°，∠ACD=∠E。∴∠CAE=360°-∠1-∠BAE=360°-150°-150°=60°。∵∠DFE=∠AFC，∴∠α=∠CAE=60°。故答案为60°。60°

②③④

14.如图所示为某小区内小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于

铅垂线BD上，转轴中心B到地面的距离BD=3m。在荡秋千过程中，当秋

千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=2m，点A到地面的距离

AE=1.8m；当从A处摆动到A′处时，有A′B⊥AB。求：（1）点A′到BD的距离。

（2）点A′到地面的距离。【答案】（2）由（1）知△ACB≌△BFA'，∴BF=AC=2m。如图，过点A'作A'H⊥DE，垂足为H。∵A'F∥DE，∴A'H=FD。∴A'H=BD-BF=3-2=1（m），即点A'到地面的距离是1m。15.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F。（1）求证：BE=CG。

（2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。【答案】（2）BE+CF>EF。理由如下：连结FG。∵△BDE≌△CDG，