专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 （原卷版）

专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性【考点预测】1.函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数的定义域为，区间：如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．=1\*GB3①属于定义域内某个区间上；=2\*GB3②任意两个自变量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间=1\*GB3①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．=2\*GB3②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3．函数的对称性(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．(3)若，则函数关于对称．(4)若，则函数关于点对称．4.函数的周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.【方法技巧与总结】1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数．注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数．偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．④常数函数3.周期性技巧4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.5.对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用题型二：复合函数单调性的判断题型三：利用函数单调性求函数最值题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九：已知奇函数+M题型十：函数的对称性与周期性题型十一：类周期函数题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性题型十三：函数性质的综合【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（

）A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（

）．A． B． C． D．例3．（2022·全国·高三专题练习）的单调增区间为（

）A． B． C． D．例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于的不等式.例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．例7．（2022·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（

）A． B． C． D．例8．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．【方法技巧与总结】讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1．若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；2．若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．题型三：利用函数单调性求函数最值例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I内单调递增且有界的函数，即，，．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①；②；③；④．例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，且．（1）求的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明；（3）求函数在上的最大值与最小值．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.（1）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若，求时函数的值域.例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知，函数的定义域为I，若存在，使得在上的值域为，我们就说是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（

）①；②；③；④.A．①② B．②④ C．②③ D．③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1．如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．2．如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．3．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．4．若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．5．若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．题型四：利用函数单调性求参数的范围例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“”是“函数是在上的单调函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（

）A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（

）A． B． C． D．例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值不可能是（

）A． B． C． D．例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.例19．（2022·全国·高三专题练习）如果，则的取值范围是___________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，当时，，且.（1）求的值，并判断的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．1.若在上恒成立在上的最大值．2.若在上恒成立在上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在上单调递减的是（

）A． B．C． D．例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是且为增函数的是A． B． C． D．例23．（2022·全国·高三专题练习）已知是奇函数，且对任意且都成立，设，，，则（

）A． B． C． D．例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（

）．A． B． C． D．【方法技巧与总结】1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数，则（

）A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A． B． C． D．例27．（2022·广东·二模）存在函数使得对于都有，则函数可能为（

）A． B． C． D．例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝＋；（2）f(x)＝(x＋1)；（3）f(x)＝.（4）f(x)＝例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.题型七：已知函数的奇偶性求参数例30．（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（

）A． B．C． D．例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数是偶函数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（

）A．1 B．2 C． D．例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数为偶函数，则的值为_________.例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数为奇函数，则______．例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数为偶函数，则______．例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数为R上的偶函数，则实数___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设为奇函数，且时，，则___________.例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为(

)A．1 B．8 C． D．例40．（2022·江西·模拟预测（理））分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（

）A． B．在上单调递减C．关于直线对称 D．的最小值为1例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式.题型九：已知奇函数+M例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知（a，b为实数），，则______．例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数，且，则（

）A．2 B．3 C．－2 D．－3例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的对称中心不可能是_______A． B． C． D．例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（）．A． B． C． D．例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（）A． B． C． D．例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___.【方法技巧与总结】已知奇函数+M，，则（1）（2）题型十：函数的对称性与周期性例52．（2022·天津三中二模）设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（

）A．2022 B．4043 C．4044 D．8086例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（

）A．是偶函数 B．的图象关于直线对称C．是奇函数 D．的图象关于点对称例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（

）A．2021 B． C．2022 D．例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是（

）A． B．C． D．例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且则（

）A． B． C． D．例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（

）A． B． C． D．例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（

）A． B． C． D．6例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数满足：对，都有，则函数的最小值为（

）A．-20 B．-16 C．-15 D．0例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数满足，且函数与的图象的交点为，，，，则（

）A．－4π B．－2π C．2π D．4π【方法技巧与总结】（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.题型十一：类周期函数例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是()A． B． C． D．例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【方法技巧与总结】1.类周期函数若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．注意当时，构成一系列平行的分段函数，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66．（2022·山东聊城·二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（

）A．8 B．7 C．6 D．5例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，满足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判断并证明函数的奇偶性.例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②当x∈(－1，0)时，有f(x)>0．求证：．【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若，则(正比例函数)(2)若，则(指数函数)(3)若，则(对数函数)(4)若，则(幂函数)(5)若，则(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.题型十三：函数性质的综合例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数，则关于t的不等式的解集为（

）A． B． C． D．例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的最小值是（）A． B．1 C． D．2例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若有解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数(e为自然对数的底数)，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．[1，+∞) C． D．【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】一、单选题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A． B． C． D．2．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，且，则（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（

）A． B．C． D．4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R上的奇函数在时满足，且在有解，则实数m的最大值为（

）A． B．2 C． D．45．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于(

)A．0 B．10 C． D．6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知为奇函数，且当时，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数的图象关于原点对称，且，当时，，则（

）A．-11 B．-8 C． D．8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数的性质，说法正确的是（

）A．的定义域