专题8.1 直线与圆综合【九大题型】（讲义）（举一反三）（新高考专用）（解析版）

专题8.11、直线与圆是高考中的重点内容。近年来，直线的方程、点到直线的距离公式、圆的方程等多以选择题、以填空题形式呈现，难度适中；涉及直线与圆的命题时，主要考察直线与圆的位置关系。圆的弦长问题常以选择题或填空题形式出现，有时则作为压轴题考查，此时通常与导数等知识点结合。【知识点1平行：垂直：【知识点21．圆的弦长的求法：设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：【知识点31．自一点引圆的切线的条数：(1)若点在圆外，则过此点可作圆的两条切线；

(2)若点在圆上，则过此点仅能作圆的一条切线，且该点为切点；

(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线。

2．求过圆上一点的圆的切线方程：(1)求法：(2)重要结论：①圆上一点P的切线方程为。

②通过圆上一点P的切线方程为。【知识点4【知识点5(1)利用圆的几何特性求解圆上点到直线的最大距离问题。(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)用参数法、配方法、判别式法等，通过不等式求解最值。对于圆的最值问题，应利用其特殊几何性质，依据式子的几何意义进行求解，这往往是简化运算的最佳方法。【题型1直线方程、故选：故选：故选：由点，可得直线的斜率分别为：故选：【题型2【例2】（2025·广东茂名·一模）已知直线，直线，若故选：故选：【解题步骤】通过分析直线平行的系数关系建立方程求解a，并结合充分条件进行验证。故选：【解题步骤】首先确定两直线垂直的充要条件，然后利用充分条件进行分析。故选：【题型3【例3】（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线上，半径为，且过原点的圆的是故选：由题意知：由勾股定理得：，即，解得：故选：【变式3-2】（2024·吉林·三模）已知曲线C：【解答过程】圆的标准方程为：故选：故选：【题型4故选：故选：故选：故选：【题型5故选：【变式5-1】（2025·湖南·模拟预测）若直线与圆交于、故选：故选：故选：【题型6【例6】（2025·江西·一模）已知点、故选：【解题思路】若点为线段的中点，通过向量加法的几何意义及数量积运算律进行分析。故选：故选：【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为。现有以下四种说法：故选：【题型7故选：【解答过程】如图：故选：故选:又因为两圆的公共弦的方程为，可得故选：【题型8故选：【解答过程】解：故选：故选：【变式8-3】（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆故选：【题型9直线与圆中的定点、故选：故选：【变式9-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知圆分别与、轴正半轴交于、(2)设点为不同于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：①当斜率不存在时，直线的方程为：直线截所得弦长，符合题意：(2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、（ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？由已知可得：，解得：（ⅱ）由已知得：由，消去得：代入（※）得：即，解得：故选：【解题思路】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：【解答过程】法一：故法二：法三：故选：【解题思路】方法一：利用切线的性质计算切线长度，并通过倍角公式进行求解；方法二：利用切线的性质计算切线长度，并通过余弦定理进行求解；方法三：【解答过程】方法一：法二：方法三：故选：故选：故选：故直线恒过，设，圆化为标准方程得：故选：7．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为或或或【解题思路】方法一：【解答过程】[方法一]：故答案为：或或[方法二]：【最佳解】圆的标准方程可通过求得三点中任意两条线段的中垂线交点来确定圆心。设（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，（2）若圆过三点，（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为故答案为：或或8．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程或或【解答过程】[方法一]：[方法二]：[方法三]：故答案为：9．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为故答案为：10．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是【解答过程】解：故答案为：11．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为【解答过程】[方法一]：故答案为：[方法二]：根据题目，M点位于由（3,0）和（0,1）构成的线段的垂直平分线上。y=