上海市桃浦中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷（原卷版）

桃浦中学2023学年度第二学期高三数学3月月考试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为______.2.不等式解集为___________.3.现有一组数1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，则该组数的第25百分位数为______．4.已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________.5.函数的定义域为______．6.已知，则的最小值为_______.7.将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则的坐标为______.8.圆的半径的最大值为______.9.记为等比数列的前n项和，若，，则______．10.若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为______11.已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_____________．12.已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（）A. B.C.最小 D.最小14.设a，b表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：（1）若且，则（2）若且，则（3）若且，则（4）若且，则其中不正确的个数是（）A.1 B.2个 C.3个 D.4个15.对于全集R的子集A，定义函数为A的特征函数．设A，B为全集R的子集，下列结论中错误的是（）A若，则 B.C. D.16.如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架（、、、按照逆时针排布），若，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是（）A. B. C.2 D.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知各项均为正数的数列{}满足（正整数（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列{}的前n项和.18.为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史展现坚定信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题．（1）在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；（2）在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是．请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由．19.如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20.已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．（1）求双曲线渐近线方程；（2）若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.（3）若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2