苏科版八年级数学上册 第3章《勾股定理》综合测试卷（含答案）

第3章《勾股定理》综合测试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.下列三条线段能组成直角三角形的是（）

A.a==15,c=16B.a=9,b=12,c=15

C.tz=9,/?=40,c=42D.a:b:c=2:3:4

2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B都是格点，则线段AB

的长度为（）

A.5B.6

3.下列说法正确的是（）

A.若a,b,。是ABC的三边，则/+廿=°2

B.若。，b,。是如ABC的三边，则/+/=c2

C.若。，b,c是RfABC的三边,ZA=90°,则

D.若。，b,c是HABC的三边，ZC=90°,则片+斤=02

4.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3,高是4,上底面中心有一个小圆孔，则一条长

10cm的直吸管露在罐外部分。的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）

A.5<a<6B.3<a<4D.l<a<2

5.一艘轮船从A港向南偏西48。方向航行100km到达B岛，再从B岛沿8M方向航行125km到

达C岛，A港到航线期的最短距离是60km.若轮船速度为25km/h,轮船从C岛沿C4返回A

港所需的时间是（）

6.如图，直线上有三个正方形，面积分别为Si,S2,S3,已知H=5,S3=7,则面积为邑的正方

形的边长为（）.

7.设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为2加及11,则a,b,h的数量关系是（）

A.a-b^hB.affC.：+/='D.=:

8.如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的.以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该

正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制

作了一面“赵爽弦图锣"，其中NAEB=90。，AB=13cm,BE=5cm,则阴影部分的面积是（）

A.169cm2B.25cm2C.49cm2D.64cm2

9.如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD,把^ABD沿着直线AD翻折，

得到aAED,DE交AC于点G,连接BE交AD于点F.若DG=EG,AF=4,AB=5,AAEG

的面积为（则应）2的值为（）

A

A.13B.12D.10

10.中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾

股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数''对于以下结论：

①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正

整数；④若m=aj+bi2,n=a22+b22,,且m,n,ai,a2,bi,b2均为正整数，则m与n

bib2

之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数

与这两个连续正整数是一组“勾股数其中结论正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

11.直角三角形的两直角边均扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的倍.

12.已知一个直角三角形的两条直角边分别为7cm、24cm,那么这个直角三角形斜边上的高为

cm.

13.如图，ZC=90°,将直角AABC沿着射线BC方向平移5cm,得△ABC,若BC=3cm,

AC=4cm,则阴影部分的周长为.

14.把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF,若

AB=3cm,BF=5cm,则重叠部分ADEF的面积是cm2.

A'

15.如图，已知等腰及ABC的直角边长为1,以它的斜边AC为直角边画第二个等腰及入4。。，

再以斜边AD为直角边画第三个等腰放△ADE,…，依此类推，AC长为0,AD长为2,第3个

等腰直角三角形斜边AE长为,第4个等腰三角形斜边AF长为,则第〃

个等腰直角三角形斜边长为.

16.如图，已知ABC中，ZACB=90°,D是的中点，AE_LCD于点E；连接BE,则下列结

论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

@ZADC^2Z.CAE-②当E为8中点时，BC=y/3AC；

③若Zfi£E>=60。，则BE=4DE；④若AB=4,则zMBE面积的最大值为2.

三、解答题（本大题共10题，共68分）

17.（6分）如图，已知等腰三角形ABC底边上的高AD为4,ABC的周长为16,求三角形

ABC的面积.

BDC

18.（6分）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过

10km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检

测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽

车超速了吗？（参考数据转换：lm/s=3.66〃/h）

小汽车小汽车

B"：-----------QC

检测仪

19.（6分）如图，在，ABC中，ZACB=90°,CO为AB边上的高，CE为48边上的中线，AD=3,

CE=6,求CO的长.

20.（6分）一个四边形零件的形状如图，工人师傅量得NA=90。，AD=3,AB=4,BC=13,

DC=12,请你求出零件中的NBDC的度数.

21.(6分)如图，在AfiC中，AZX3E分别为边3C、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E.

(1)若CD=4,CE=3,AB=10,求证：ZC=90°；

⑵若NC=90。，AD=6,BE=8,求A3的长.

22.(6分)如图：AACB和ECD都等腰直角三角形，ZECD=ZACB=90°,AC=CB,CE=CD,

△ACB的顶点A在一ECD的斜边DE上，

(1)求证：AE=BD;

(2)试探究线段AC、AD、AE三条线段之间的数量关系，证明你的结论.

23.(6分)在等腰直角AABC中，NACB=90。，P是线段BC上一动点(与点B,C不重合),

连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作.QH上AP于点H,交AB于点M.

(1)若NPAC=a,则NAMQ=(用含有a的式子表示)；

(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.

24.(6分)如图，是等腰直角三角形，ZACB=90。，AC=BC=6,。在线段BC上，E是

线段5上的一点，连接CE,将线段CE以C为旋转中心顺时针旋转90。得到线段CF,连接

⑴如图1,猜想AE和"的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)如图2,若/BAD=15。，连接所、DF,当E运动到使得NACE=30。时，求.QEF的面积.

25.（10分）【情景呈现】画403=90。,并画ZAOB的平分线OC.

（1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点尸上，使三角尺的两条直角边分别与402的两边

OA,02垂直，垂足为E,F,（如图1）.则PEPF.（选填：“<”、">”或“="）（2）把

三角尺绕点尸旋转（如图2）,猜想PE,尸尸的大小关系，并说明理由.

【理解应用】

⑶在（2）的条件下，过点尸作直线GHLOC,分别交0L,于点G,如图3猜想GE,FH,

E尸之间的关系为.

【拓展延伸】

(4)如图4,画ZAOB=60。，并画ZAOB的平分线0C,在OC上任取一点P,作NEP尸=120。，ZEPF

的两边分别与。8相交于E,尸两点，PE与PF相等吗？请说明理由.

26.(10分)如图1,4ABC和4ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE.

图3

(1)发现

①NDCE的度数是

②线段CA、CE、CD之间的数量关系是

(2)探究

如图2,4ABC和AADE均为等腰直角三角形,ZBAC=ZDAE=90°,点D在BC边上，连

接CE.请判断NDCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由.

(3)拓展应用:

如图3,4ABC和AADE均为等腰直角三角形,NBAC=NDAE=90。，点D在BC的延长线

上，连接CE,若AB=AC=&,CD=1,求线段DE的长.

答案

一、选择题

1.B

【解析】解:A.V82+152#162,

.•.以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意;

B,V92+122=152,

・,.以a、b、c为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；

C.,.•92+402于422,

.•.以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意;

D.设a=2k,b=3k,c=4k,

V(2k)2+(3k)"(4k)2,

・,.以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意;

故选：B.

2.A

【解析】解：如图所示：

AB=YIAC2+BC2=5.

故选：A.

3.D

【解析】解：A、当ASC是直角三角形且NC=90。时，a2+b2=c2,故此选项不符合题意;

B、若“，b,c是及ABC的三边，ZC=90°,则/+/=°2,故此选项不符合题意；

C、若“，b,。是及ABC的三边，ZA=90°,则62+02="，故此选项不符合题意；

D、若b,c是改ABC的三边,ZC=90°,则/+廿"?，故此选项符合题意.

故选：D.

4.A

【解析】当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示，

22

则OA=3,AB=4,由勾股定理得：OB=\IOA+AB=A/32+42=5»

a=10-5=5；

当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4,则a=10-4=6；

综上，直吸管露在罐外部分a的长度范围为5WaW6.

故选：A.

5.D

【解析】解：由题意，得：AD=60km,

在RtZkABD中，AB=100km,AD=60km,

BD=7AB2-AD2=A/1002-602=80(km).

/.CD=BC-BD=125-80=45(km).

在RtAACD中，AC=y/cD2+AD2=7452+602=75(km).

75+25=3(h).

答：从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h.

故选：D.

6.B

由题意可知，AC=EC,ZABC=ZCDE=90°,

ZACB+ZECD=ZACB+ZBAC=90°,

：.NBAC=NECD.

ABAC=NECD

在，ASC和△CDE中，，NABC=NCDE,

AC=EC

：.ABC^CDE(AAS),

/.BC=DE.

*.*S]=5,S3=7,

即AB?=5,DE2=BC2=7.

在RtAABC中，AB2+BC-=AC-,

2

AC=12,AC=Ji2=2^39

即面积为S?的正方形的边长为2G.

故选：B.

7.C

【解析】解：设高为a对应的直角边的长为x,高为b对应的直角边的长为y,斜边为z,

・.・—1ax=1—,by=1—cz,

222

/.ax=by=hz,

.hzhz

.・x=—,y=-y

ab

x2+y2=z2,

22

.llZ色22

,,Khz'

-11_1

••h瓦-/

故选c.

8.C

【解析】解：在中，

AE=^AB2-BE2=7132-52=12，

4个直角三角形是全等的，

.\AH=BE=5,

小正方形的边长=短-M=12-5=7,

,阴影部分的面积=72=49^4),

故选：C.

9.A

【解析】解：由折叠得，AB=AE,ZBAF=ZEAF,

在aBAF和^EAF中，

AB=AE

<ZBAF=ZEAF,

AF=AF

：.ABAF^AEAF(SAS),

ABF=EF,

/.AF±BE,

又：AF=4,AB=5,

BF=yjAB2-AF2=3,

在AADE中，EF±AD,DG=EG,设DE边上的高线长为h,

・•・S^E=^ADEF=^DGh+^EGh,

即^AADG+S"£G=A。,EF,

..19

•§AAEG=5，GE,/?=—,^AADG=S/XAEG,

._99_

•,^AADG+^/\AEG-~，

：.9=-AD3,

2

AD=6,

/.FD=AD-AF=6-4=2,

在RtZkBDF中，BF=3,FD=2,

/.BD2=BF2+FD2=32+22=13,

故选：A.

10.C

【解析】解：①•••20=（同『=2?+不

...20是“整弦数”，符合题意；

②如5,2是“整弦数”，

；2+5=7不是“整弦数”,

两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；

③若c=5,则C2=25,25=9+16=3?+42,C?为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意;

222

@Vm=ar+b],n=a2+b2,千丰%且m,n,ai,a2,bi,b?均为正整数,

q4

,mn=（%?+b；）（生？+b]）

=+^2a2+a；b；+b；b；

2

二（%出+4仇J+（4打-a2bt）

・・・m与n之积为“整弦数”，符合题意；

⑤设一个正奇数(除1外)为2n+l(n为正整数)，

V(2n+l)2=4n2+4n+l且等于两个连续正整数的和,

・•.较小的正整数为2n2+2n,较小的正整数为2声+211+1,

*.*(2n+l)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n)2+4n2+4n+l=(2n2+2n)2+2(2n2+2n)+1=(2n2+2n+l)

29

这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意.

故选：C.

二、填空题

11.3

【解析】解：设直角三角形直角边为a、b,斜边为c,则a?+b2=c2；

扩大3倍后，直角三角形直角边为3a、3b,则根据勾股定理知斜边为

购三丽=3向瓦=3c.即直角三角形两直角边都扩大到原来的3倍，

则斜边扩大到原来的3倍.

故答案为3.

12咽

25

【解析】解：设这个直角三角形斜边上的高为xcm,

由勾股定理得，直角三角形斜边长=，7?+242=25,

由三角形的面积公式得，|x7x24=|x25xx,

解得，户等，

故答案为：詈.

13.16cm

【解析】解：在RtAACB中，AB=7AC2+BC2=742+32=5(cm)

VAA-BB,=5cm,

.\CB,=BB,-BC=5-3=2(cm),

・•・阴影部分的周K=AC+CB，+AB+AA，=4+2+5+5=16(cm).

故答案为：16cm.

15

14.

2

【解析】解：*.,AB=3cm,BF=5cm,

由折叠的性质可得，BF=FD,A!D=AB=3cm,

在RtACDF中，由勾股定理得：

FC2^BF2-CD1

：.FC=4,BC=9,

设DE=x,则AE=AE=(9-x)cm,

在R么EOF中，由勾股定理得：

A!E2+A!D2=ED2,

：.(9-x)2+9=x2,

解得：x=5,

DE=5(cm),

.'.△DEF的面积是：［x5x3=1(cm2).

乙2

15.204(V2)"

【解析】解：在直角三角形中由勾股定理可以得出：

第一个等腰三角形斜边长为：AC=#7F=72=(72),,

222

第二个等腰三角形斜边长为：AD=^(V2)+(V2)=2=(V2),

第三个等腰三角形斜边长为：AE3S=2叵=网,

第四个等腰三角形斜边长为：.=他可+卜可=4=(&7,

……依此类推，

第〃个等腰三角形斜边长为：

故答案为：2夜；4;(忘了.

16.①②③④

【解析】解：z\ABC中，ZACB=90°,D是AB的中点，

，CD=BD=AD,

/.ZDCB=ZDBC,

/.ZADC=2ZDCB,

VAEXCD于点E,

/.ZACE+ZCAE=90°,

VZACE+ZDCB=90°,

/.ZCAE=ZDCB,

/.ZADC=2ZCAE,故①正确；

当E为CD中点时，VAEXCD,

.\AC=AD,

AACD是等边三角形，

/.ZBAC=60°,

；.BC=6AC,故②正确；

作BMLCD,交CD的延长线于点M,则AE〃:BM,

/.ZDAE=ZDBM,

VZADE=ZBDM,AD=BD,

.,.△ADE^ABDM(AAS),

，DE=DM,

若NBED=60。，则BE=2EM=4DE,故③正确；

VAADE^ABDM,

/.AE=BM,DE=DM,

SAABE=SABEM=y«BM»EM=1•AE・2DE=AE・DE,

若AB=4,则AD=2,

在RtAADE中，AD2=AE2+DE2,

AE2+DE2>2AEXDE

：.-AE-ED<-(AE2+DE2)=-AD2^I

24、74

即SADE的最大值值为1,

.1△ABE面积的最大值为2,故④正确；

故答案为：①②③④.

三、解答题

17.解：•「AD是底边BC上的高，

/.BD=-BC,

2

设BD=x,

「△ABC的周长为16,

AB+BD=8,AB=8—x,

在RtAABD中,ZADB=90°,

/.X2+42=(8-X)2,

解得：x=3,

.*.BC=2BD=6,

.,.5MBC=|BCxAD=1x6x4=12.

18.解：根据题意ACLBC,AC=30m,AB=50m,

:.在RtABC中，

22

BC=y/AB-AC=,5()2-302=4o(m),

40

.••小汽车的速度为v=3=20(，"/s)=72(k"/h),

72^m/h>70Am/h,

...这辆小汽车超速行驶.

19.解：VZACB=90°,CE为A2边上的中线

/.AB=2CE=U,AE=EB=CE

/.AE^-AB=6

2

'：AD=3

，DE=AE—AD=3

：.在Rt/\CDE中

CD=qCE'_DE，=后-32=3A/3.

20.解：VZA=90°,AD=3,AB=4,

**.BD=732+42=5.

VBC=13,DC=12,52+122=132,

BD2+DC2=BC2,

.,.△BDC是直角三角形,ZBDC=90°.

21.(1)证明：VAD,BE分别为边BC、AC的中线，CD=4,CE=3.

/.AC=6,BC=8.

AS=10.

/.AB2=AC2+BC2.

AABC是直角三角形.

/.ZC=90°.

(2)解：VZC=90°,AD=6,BE=8,

AC2+CD2=AD2,BC2+CE-=BE-.

•.•AD、BE分别为边BC、AC的中线.

/.CD=-BC,CE=-AC.

22

/.AC2+(-BC)2=36,BC2+(-AC)2=64.

22

5,5,

/.-AC2+-BC2=IOO.

44

/.AC2+BC2=80.

•*-AB=y/AC2+BC~=4A/5•

22.(1)VAC=CB,CE=CD

：.ZACB=NDCE=90。

：.ZACE=ZBCD

/.△ACE^ABCD(SAS)

AE=BD

(2)线段AC,AD,AE三条线段的数量关系是AE2+AZ)2=2AC2

,.•△ECD是等腰直角三角形，

/.ZE=ZEDC=45

由(1)知：/E=/CDB=45。

：.NBDE=90。

即AB2=AD2+BD2=AD1+AE1,

又Rt^ACB为等腰直角三角形，且AC=BC,

2AC2=AB2,

即AE-+AD2=23.

23.(1)VZPAC=a,z\ACB是等腰直角三角形,

/.ZBAC=ZB=45O,ZPAB=45°-a,

VQH±AP,

/.ZAHM=90°,

/.ZAMQ=180°-ZAHM-ZPAB=45°+a；

故答案为：ZAMQ=45°+a

(2)PQ=V2MB；理由如下：

VAC±QP,CQ=CP,

/.ZQAC=ZPAC=a,

/.ZQAM=45°+a=ZAMQ,

AAP=AQ=QM,

在AAPC和AQME中，

ZMQE=ZPAC

<ZACP=ZQEM,

AP=QM

/.△APC^AQME(AAS),

/.PC=ME,

•••AMEB是等腰直角三角形，

,-.|PQ=^MB.即PQ=y/2MB.

24.(1)AE=BF,AELBF,

证明：如图1,延长AD交郎于点M,

图1

,/将线段CE以C为旋转中心顺时针旋转90°得到线段CV,

/.ZECF=90°,CE=CF,

"：ZACB=90°,

/.ZACE+/ECD=Z.BCF+NECD=90°,

/.ZACE=ZBCF,

AC^BC,

/.ACE^BCF(SAS),

：.AE=BF,NCAE=NCBF,

"：ZADC=ZBDM,

：.ZAMBZACD9Q0,

：.AM±BF,即AE1防.

(2)如图2,作FaJLBC于点H,EG_L3C于点G,

A

•・•在等腰直角二ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC,

：.ZC4B=45°.

•「NBA。=15。，

/.NC4E=30。，

ZACE=30°,

：.AE=EC9

•:△ACEmABCF,

：.BF=AE9CF=CE,

：.CF=BF,ZFCB=ZCBF=30°,

VFC=FB,FH1BC,

：.CH=BH=3,

在吊CHF中，CF=2HF,

：.CF2-HF2=CH2,gp4HF2-HF2=9,

:・HF=6,CF=20

ZCED=ACAE+AACE=60°,ZECD=90°-30°=60°,

・・・ECO是等边三角形，

/.EC=CF=CD=2百,

■:EGLCD,即ZEGC=90。，

NCEG=30。，

・•・CG=6EG=3,

••S^EDF=S&ECD+S公CDF-S/^ECF

=-xCDxEG+-xCDxHF--xCExCF

222

=-X2^X3+-X2V3XV3--X273X2^

222

=3A/3-3

25.(1)解：2OC平分NAOB,

...ZAOC=ZBOC,

VPE±OA,

/.ZOEP=90°,

VZAOB=90°,ZEPF=90°

/.ZOFP=360°-ZAOB-ZPEO-ZEPF=90°,

/.ZOEP=ZOFP

XVZAOC=ZBOC,OP=OP

.,.△OEP^AOFP(AAS),

，PE=PF,

故答案为：=;

(2)解：PE=PF,理由如下：如图2,过点P作PMLOA,PNXOB,垂足是M,N,

VPMXOA,PN±OB,ZAOB=90°,

：.ZAOB=ZPME=ZPNF=90°,

/.ZMPN=90°,

与(1)同理可证PM=PN,

ZEPF=90°,

/.ZMPE=ZFPN,

在z\PEM和APFN中，

ZPME=NPNF

<PM=PN,

NMPE=ZNPF

.,.△PEM^APFN(ASA),

/.PE=PF；

(3)解:GE2+FH2=EF2,理由如下:

VOC平分NAOB,

/.ZAOC=ZBOC=45°,

VGH±OC,

/.ZOGH=ZOHG=45°,

.\OP=PG=PH,

VZGPO=90°,ZEPF=90°,

AZGPE=ZOPF,