人教版七年级数学下册 第10章 二元一次方程组 能力提升卷 （含解析）

二元一次方程组能力提升卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.二元一次方程2x-y=l有无数多个解，下列四组值中是该方程的解的是（）

x=0[x=5\x=lx=4

…B.iC.\D.

y=0.5[y=-3[y=—l)=7

JQ+——4

。可得出尤与y之间的关系是（）

{y-3=m

A.x+y=lB.x+y=-lC.x+y=7D.x+y=—l

3.若&+。-5+|3"6+1|=0,则a的负倒数是（）

A.2B.-2C.1D.

2

方程组*的解为x=4

4.,则被遮盖△和W的两个数分别为（）

x+y=3y=口

A.9,-1B.9,1C.7,-1D.5,1

5.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2

个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套.设安排x名工人生产螺钉，,名工人生产螺

母.则下面所列方程组正确的是（）

x+y=26卜+y=26

B.〈

2x1000y=800%[1000y=800x

x+y=26x+y=26

lOOOy=2x800x500y=2x800)

6.如图，直线A5与。。相交于点O,且NAOZ）=150。.NE05比NCOE大90。，设NCOE

=x。，ZEOB=y°,则可得到的方程组为（）

(x=y—90(x=y+90x=y-90x=y+90

[x+y=150[x+y=150%+y=180x+y=180

7.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之：余绳四尺五寸；屈

绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将

绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为1尺，绳子长为y尺，则下

列符合题意的方程组是（）

y=x+4.51+4.5y=4.5-xy=4.5-x

A.《11B.《C.〈I1D.《

［产+l匕尸+l

8.在直角坐标系中，坐标是整数的点称作格点，第一象限的格点玖乂丫）满足2x+3y=7,

则满足条件的点有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

fx+2y=k

9.已知关于无，丫的方程组尤+3:3氏-I，以下结论其中不成立是（）•

A.不论不取什么实数，x+3y的值始终不变

B.存在实数也使得x+y=O

C.当y-x=-l时，k=l

D.当左=0,方程组的解也是方程x-2y=-3的解

10.为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元

钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品

每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

二、填空题（每小题3分，共24分）

解方程组红的思路是：用①*5-②><3消去未知数请你写出一种

用加减消元法消去未知数y的思路：用消去未知数y.

12.若关于x,，的方程组\2。ax川+3y篙=18？（其中…是常数）的解为\x［=3厂则方程组

j2a{x+y)+3(x-y)=18

j(x+y)_56(x_y)=_l7的解为.

13.如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23cH7,小红所搭的“小树”

的高度为22c设每块A型积木的高为尤cm,每块8型积木的高为yCAM,贝1Jx=，

y=,

答案第2页，共18页

44

|^||xcmzl\7~B\

A

A\且

/八「cm_N_

小强小红

2x+y=10

14.三元一次方程组，x-y+z=4的解是

3x-y-z=0

15.对于实数a,b,定义运算“♦”:a.b="26,例如4.3,因为4>3.所以4*3=

ab,a〈b

,-----…心、[4x-y=8

“2+32=5.若x,y?两足方程组1,则x*y=___________.

[x+2y=29

16.小明周末在操场上散步，并用运动软件监测自己的步数，第一次查看，发现自己的步数

是一个两位数，第二次查看，发现步数依然是两位数，但十位与个位上的数字与第一次的正

好互换，第三次查看，发现步数比第一次看到的两位数中间多了个0,且比第二次的步数多

出135,则第一次查看时，步数为.

17.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,

下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程

是多少？小李将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设上坡有xkm,平路有ykm,已

经列出一个方程5+与=普，则另一个方程是_____.

3460

18.《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而

亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得

到乙所有钱的则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的：，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱

z3

多少？设甲持钱数为X钱，乙持钱数为y钱，列出关于X,y的二元一次方程组是.

三、解答题（共66分）

19.（教材母题变式）用加减法解下列方程组：

3x-4（%-2y）=5

（1）

x-2y=\

abI

20.阅读下列解方程组的方法，然后回答问题.

19x+17y=18①

解方程组

I6x+14y=15②

解：由①一②，得3x+3y=3,即x+y=l,③

③X14,得14x+14y=14,④

②—④，得元=,1，从而可得》=；1，

一1

x=—

•••方程组的解是；2

7=2

[2024x+2022y=2023

⑴请你仿上面的解法解方程组晨侦工

[2025尤+2023y=2024

(2)猜测关于X，y的方程组\(他a++，\\x+(a_-}1\y=a司)的解是什么，并利用方程组的解加以

验证.

21.分别用8个大小一样的小长方形纸片拼图.如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图

②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1cm的小正方形，请你求出

小长方形纸片的长和宽.

图①图②

(zr+5y=15①

22.甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的。，得到方程组的解

4尤-勿=-2②

]x=-3|尤=5(1A

为।,乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为试计算〃。24+一工匕的

|y=-ily=4IioJ

值.

23.某服装店用4500元购进A8两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润2800元(毛利

润=售价-进价)，这两种服装的进价，标价如表所示.

答案第4页，共18页

类型价格AB

进价（元/件）60100

标价（元/件）100160

（1）请利用二元一次方程组求A,2两种新式服装各购进的件数；

（2）如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完

后，服装店比按标价出售少收入多少元？

24.定义：若点尸（租,〃）满足。加+加=c,则称点尸为关于x,y的二元一次方程ov+6y=c

的精优点.

⑴若点A（3,0）为方程2x-y=l的精优点，则。=_；（直接写出答案）

（2）”,v为正整数，且点3（〃+1，,13-〃）为方程2尤-尸”-丫的精优点，求“，v的值；

（3）机，s,乙人为实数，点C（,%s）与点。（2机+太。都是方程2x+3y=l的精优点，且

2s—r=］（左-+2左一2）,求人的值.

25.为了更好治理流溪河水质，保护环境,市治污公司决定购买10台污水处理设备.现有A,

B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：

A型3型

价格（万元/台）ab

处理污水量（吨/月）240200

经调查：购买一台A型设备比购买一台3型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B

型设备少6万元.

⑴求6的值.

（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种

购买方案.

（3）在（2）间的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资

金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案.

参考答案

1.D

【分析】将选项中的羽y的值代入方程中，若方程等号两边相等则是方程的解，否则就不是

方程的解.

【详解】解：选项A,将x=0,y=0.5代入，方程左边2天一丫=0—0.5=—0.5/右边，故不是

方程的解；

选项B,将x=5,y=-3代入，方程左边2x-y=10+3=13=右边，故不是方程的解；

选项C,将x=Ly=-1代入，方程左边=1+1=2*右边，故不是方程的解；

选项D,将*=4,y=7代入，方程左边2x-y=8-7=l=右边，是方程的解；

故选：D.

【点睛】本题考查二元一次方程的解，是方程的解就是将未知数代入方程中，等号左边等于

等号右边.

2.B

【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接把方程组两个方程相加即可得到答案.

【详解】解：把方程组两个方程相加得到x+y+m-3=〃L4,

x+y=—1,

故选：B.

3.D

【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，得到关于。，6的二元一次方程组，然后求解

即可.

【详解】解：VVa+^-5+|3fl-&+l|=0

・'・Q+Z?—5=0,3a—Z?+1-0

〃+Z?—5=0Q+Z?=5①

化简可得

3a-b+l=03a—b=—1②

①+②得：4a=4,解得〃=1

将a=l代入①得，1+8=5,解得人=4

y/ab=V?=2

•••弘的负倒数是一

答案第6页，共18页

故选：D

【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，涉及了绝对值和算术平方根的非负性，算术平

方根的求解以及倒数的概念，解题的关键是灵活运用相关基本知识进行求解.

4.C

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，熟练掌握概念是解题的关键.

把x=4代入尤+y=3求出y值，将x=4,y=T代入2x+y=△即可得出答案.

【详解】解：由题意得:

将x=4代入尤+y=3得：＞=-1,

将x=4,y=-1代入2x+y=△得：A=7,

△=7,—1.

故选：C.

5.C

【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组.根据车间有26名工人，可得X+V=26,

根据1个螺钉需要配两个螺母，可得至U1000y=2*800x,然后即可列出相应的方程组.

【详解】解：由题意可得,

x+y=26

lOOOy=2x800x'

故选：C.

6.A

【分析】根据“NAOD=150。，NEOB比NCOE大90。”即可得出关于无、y的二元一次方程

组.

【详解】解：

：.ZCOE+ZEOB=ZBOC=ZAOD=150°,

x=y-90

由题意可得:

x+y=150

故选：A.

【点睛】本题考查对顶角相等和由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确

题意，找到等量关系，列出相应的方程组.

7.B

【分析】根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，可得x+4.5=y；根据将绳子对

折再量长木，长木还剩余1尺，可得x-i=gy,然后即可写出相应的方程组.

）=兀+4.5

【详解】解：由题意可得，1,,

匕1T

故选：B.

【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等

量关系，列出相应的方程组.

8.A

【分析】解方程2x+3y=7,求得整数解x=2,y=l即为第一象限的格点P（x,y）.

【详解】解：：2x+3y=7,

x=2,y=l,

满足条件的点有1个.

故选A.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及坐标与象限，熟练解二元一次不定方程是解题

的关键.

9.D

【分析】把左看成常数，解出关于x,y的二元一次方程组（解中含有左），然后根据选项逐

一分析即可.

x+2y=kx=3k—2

【详解】解:,解得:,然后根据选项分析:

2尤+3y=3左一1y=-k+\

A选项，不论左取何值，尤+3y=3左-2+3（-％+1）=1,值始终不变，成立；

B选项，3左-2+（-左+1）=0,解得次=g,存在这样的实数上成立；

C选项，-k+\-（3k-i）=-\,解得左=1,成立；

jx=-2

D选项，当上=0时，彳,贝5]彳_2〉=_2_2=_4片_3,不成立；

[y=l

故选D.

【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方程

组（解中含有参数）是解决本题的关键.

10.A

答案第8页，共18页

【分析】设购买甲种奖品为X件，乙种奖品为y件，由题意可得15x+10y=180,进而求解

即可.

【详解】解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得：

15元+10y=180,

3

/.y=18——x,

2

•.•x>0,y>0,且x、y都为正整数，

，当x=2时，贝Uy=15；

当x=4时，则y=12；

当尤=6时，则y=9；

当x=8时，贝I]y=6；

当x=10时，则y=3；

购买方案有5种；

故选A.

【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键.

11.①x3+②x2(答案不唯一)

【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，根据题意，观察两式y的系数，根据①x3+②

x2即可消去未知数y.

3x+4y=16,①

【详解】解：解方程组

5元-6y=33,②

①x3+②x2得：9x+10x=48+66,

故答案为：①x3+②x2(答案不唯一).

【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键.

124z(x+y)+3(x—y)=18\x+y=3

【分析】由题意可得方程组,、;「的解满足,，再解后一个方程组

[(x+y)-5b(x-y)=-n[x-y=4

即得答案.

2ax+3y=18x=3

【详解】解：：关于x,y的方程组T+5.17的解为t

y=4，

2a(»y)+3(%-y)=18x+y=3

...方程组

-(x+y)+5g-y)=17x—y=4，

x=—7

2

解得：

1

y=——

2

7

x二一

2

故填：,

1

y=——

2

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，解题关键是得出两方程组的特点，并据

此得出关于羽y的方程组.

13.45

【详解】解：根据小强搭的积木的高度=A的高度X2+8的高度x3,小红搭的积木的高度=4

的高度x3+8的高度x2,

2x+3y=23

依两个等量关系列出方程组

3x+2y=22'

x=4

解得

y=5

故答案为：4和5.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列

方程组求解.

x=3

14.〈y=4

z=5

【分析】利用加减消元法解三元一次方程组即可得.

2x+y=10®

【详解】解:x-y+z=4@,

3x-y-z=0@

由②+③得:4x-2y=4,即2x-y=2④,

由①+④得:4x=12,

解得x=3,

将x=3代入①得：6+y=10,

答案第10页，共18页

解得y=4,

将x=3,y=4代入②得：3-4+Z=4,

解得z=5,

x=3

则方程组的解为卜=4,

z=5

x=3

故答案为：，y=4.

z=5

【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键.

15.60

【详解】分析：根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案.

4x-y=8

详解：由题意可知:

x+2y=29'

"."x<y,原式=5义12=60.

故答案为60.

点睛：本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组

的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型.

16.27

【分析】设第一次查看时，步数的十位数字为x,个位数字为y,则第二次查看时，步数的

十位数字为》个位数字为无，由题意：第三次查看，发现步数比第一次看到的两位数中间

多了个0,且比第二次的步数多出135,列出二元一次方程，求出满足条件的正整数解即可.

【详解】解：设第一次查看时，步数的十位数字为无，个位数字为y,则第二次查看时，步

数的十位数字为》个位数字为X,

由题意得：100x+y-(10y+x)=135,

整理得：y=ilx-15,

：x、y为正整数,fix<10,y<10,

即第一次查看时，步数为27,

故答案为：27.

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的

关键.

…xy42

17.—I—=—

5460

【分析】本题考查了二元一次方程组知识，掌握以上知识是解题关键；根据二元一次方程组

知识，找到题目中等量关系，列出方程即可求解，注意题目中上坡和下坡的区别；

【详解】解：：从乙地到甲地需42min,

42

...乙地到甲地需一h,

60

,下坡有xkm,下坡每小时走5km,

下坡时间为］h,

:平路有ykm,平路每小时走4km,

...平坡时间为^h,

•••列方程为：2+9=

5460

上心生生、ixy42

故答案为：—I—=—；

5460

x+—y=50

此2之

—x+y=50

13,

【分析】根据“甲若得到乙所有钱的则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的：，则乙也有

50钱”，列出二元一次方程组即可.

【详解】解：设：甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱,

x+—y=50

2

根据题意得:

2一

—x+y=50

[3J

答案第12页，共18页

15

x+—y=50

2

故答案为：，

2

y=50

【点睛】本题考查了由实际问题列出二元一次方程组，正确找出数量关系，列出二元一次方

程组是解答本题的关键.

%=3

19.(1)

y=l

35

(2=---

12

(2)

b=--

4

【分析】此题考查了解二元一次方程组.

(1)整理方程组，再用加减消元法解方程组即可;

⑵两个方程相加得到彳吟磊解得〃若.再求出人-!即可■

3x-4(x-2)7)=5

【详解】(1)解:

x-2y=l

x-8y=-5©

整理，得

尤_2y=1②

①-②，得-6y=—6,解得y=l.

才巴y=l代入②，得1—2=1,解得%=3,

x=3,

所以原方程组的解是

y=1

a

7

(2)<*①

ab

—+—=■②

1733

①+②，得当=，，解得"三

7o12

②-①，得2=-9,解得6=-!,

364

35

CL=---

12

所以原方程组的解是

b=--

4

1

x=—

20.(1)；

7=2

'1

x=—

2

(2)；,验证见解析

/=2

【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解.

⑴②-①，得x+y=l③，①-③x2022,得2x=l,求出x,再把尤=1•代入③求出y即

可；

(2)①一②，得(a—Z?)x+(a=〃一/?,求出x+y=l③，③x(a—1)—①，得一2x=—1,

求出/再把X=；代入③求出y即可.

2024%+2022〉=2023①

【详解】(1)解:

2025x+2023y=2024②

②-①，得x+y=l③，

①一③x2022,得2x=l,解得尤=’，

2

111

把％代入③，得/+y=i,解得y=9,

1

X=—

所以原方程组的解是；;

1

x=—

(2)解：猜测方程组的解是；

(Q+1)%+(Q—l)y=a®

(Z?+1)%+优-1)y=b®

①一②，^^a-b)x+(a-b^y=a-b,

awb,

x+y=1(3),

③x(a—l)一①，得_2x=-l,解得x=g,

答案第14页，共18页

111

把x=5代入③，得]+y=l,解得y=5，

1

x=­

所以原方程组的解是：2.

7=2

21.小长方形的长为5cm,宽为3cm.

【分析】设每个小长方形的长为xcm,宽为ycm,观察图形，根据各边之间的关系，列出二

元一次方程组，解方程组得出小长方形的长和宽.

【详解】解：设每个小长方形的长为xcm,宽为ycm,

3x—5y

依题意得:

2y—x—l

答：小长方形的长为5cm,宽为3cm.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键.

22.0

fx=-3fx=5

【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将"弋入方程组的第二个方程，，代

b=-i[y=4

入方程组的第一个方程，分别求出。与6的值，即可求出所求式子的值.

(尤=-3

【详解】解：把，代入②，得-12+6=-2.,

[y=-l

解得b=10；

[x=5

把，代入①，得54+20=15,

3=4

解得。=-1；

/\2025z\2025

所以产4+1=(-1)2024+-^xio=1+(-1)2025=1-1=0.

23.(1)A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件

(2)服装店比按标价出售少收入1210元

【分析】此题考查了二元一次方程组和有理数的混合运算的应用.

(1)设A种新式服装购进X件，B种新式服装购进y件，服装店用4500元购进A3两种新

式服装，按标价售出后可获得毛利润2800元，据此列出方程组，解方程组即可得到答案；

(2)A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，据此列式计算即可得到答

案.

【详解】(1)解：设A种新式服装购进X件，B种新式服装购进y件，

口*乍160x+100y=4500

根据题思,得“100—60)x+(160-100)y=2800

fx=25

解得an

[y=30

答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件.

(2)100x(1-0.9)x25+160x(1-0.8)x30=1210