线段垂直平分线和角平分线 暑假作业-2024北师大版七年级数学

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作业线段垂直平分线和角平分线

作业导航------------------------------------------------------

题型一：线段垂直平分线的判定

题型二：线段垂直平分线的性质

题型三：线段垂直平分线的作图及应用:

作业11能力培优练

题型四：角平分线的性质:巩固提升练

线段垂直平分线和角平分线创新题型练

题型五：角平分线的尺规作图及应用,

题型六：最短路径问题,

培优训镖---------------------------------------

三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型

1巩固提升练

【题型一：线段垂直平分线的判定】

1.下列说法中，正确的有（）

①尸是线段A2上的一点，直线/经过点P且则/是线段AB的垂直平分线；

②直线I经过线段AB的中点，则I是线段AB的垂直平分线；

③若AP=PB,直线/经过点P且垂直于线段43,则/是线段A3的垂直平分线；

④经过线段AB的中点P且与AB垂直的直线/是线段A8的垂直平分线.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，直线/经过线段的中点。，点P在直线/上，且四=依，则下列结论：

①NPAO=NPBO；②ZA=30。；③P。平分1APB；④尸。垂直平分线段A3.其中正确的

个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，在VABC中，AB=AC,点。是VABC内一点，连接OB,OC,连接49并延长交

BC于点D,若O3=OC,BC=8,则CO的长为（）

A.4B.5C.2D.6

4.如图，VABC与.AEC'关于直线MN对称，尸为MN上任一点，下列结论中错误的是（

A.直线A3、AE的交点不一定在上B.是等腰三角形

C.VABC与面积相等D.垂直平分A4',CC'

5.如图，四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,我们把这种两组邻边分别相等的四边形

6.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,点E是A8的中点，连接OE并延长交CB的延长

线于点下，点G在线段BC上，且NGDf=ZADF,连接EG.求证：

（2）EG垂直平分。F.

7.如图，AD是VABC的角平分线，DE,OP分别是和.ACD的高，连接EP、AD

交于点O.

试卷第2页，共23页

⑴证明：,、AEE^AFD;

(2)证明：A。垂直平分所.

8.如图，在四边形ABC。中，AB=AD,AN垂直平分BC,交8C于点N,点M是C。中

(1)证明：AM是线段。的垂直平分线;

⑵若NM4N=70。，求44D的度数.

【题型二：线段垂直平分线的性质】

9.如图，在VABC中，OE垂直平分AB.若3D=6,CD=3,则AC的长是()

A.12B.10C.9D.8

10.如图，把VABC折叠，使点B与点C重合，展开后得到折痕与交于点交AB于

点N,连接AM,CN,则下列结论正确的是()

A.AM平分NBACB.AMLBCC.BN=CND.AM=CN

11.如图，直线。b,直线分别与。，人交于点C,B,分别以点B,C为圆心，适当

长为半径画弧，相交于M,N两点，作直线交直线b于点E,连接CE,若N2=3O。，

则N1的度数为（）

A.25°B.30°C.40°D.65°

12.如图，在ABC中，A3的垂直平分线ZMf交BC于点。，边AC的垂直平分线EN交

于点E.已知」IDE的周长为8cm,则BC的长为（）

13.如图，将三角形纸片ABC的一角沿A3的垂直平分线翻折，折痕为DE,点B与点A重

合，已知.ACD的周长是20,AE=6,则VA3C的周长是.

14.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,分别以点AB为圆心，大于工48的长为半径画弧,

2

两弧分别交于点M，N,作直线MN分别交BC,AB于点，E,连接AD.若/3=30。，则

ZCAD的度数为°.

15.如图，在VABC中，DE是AC的垂直平分线，AD=3,8c=7,则80的长是

试卷第4页，共23页

A

B/DC

16.如图，P是直线/外一点，按以下步骤作图:

①以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线/于点3,D-,

②分别以点3、点。为圆心，大于g初的长为半径作弧，两弧相交于点E；

③作直线PE交30于点F.

若BF=2,PE=6,则四边形PBED的面积为.

17.如图，在1aAsc中，E尸垂直平分AC,交AC于点代交BC于点E,ADLBC,垂足

为D,且BD=DE,连接AE.

(2)若。C+AF=16,求ABC的周长.

【题型三：线段垂直平分线的作图及应用】

18.如图，在VABC中，进行以下操作：①分别以点A,8为圆心，大于148的长为半径

2

作弧,两弧交于点D,E；②作直线DE交边AB于点0,交于点H-③连接AH.已知CW=4,

AB"周长为16,则△AOH的周长为()

A

A.6B.8C.10D.12

19.如图，在VA3C中，分别以点A,C为圆心，以大于‘AC的长为半径画弧，两弧相交

2

于点N,过点N作直线MN,直线与AC,BC分别相交于点£,D,连接A9.若

AB=3cm,△ABD的周长为9cm,则BC的长为（）

C.9cmD.12cm

20.如图，在VABC中，AB=AC=8,BC=6f分别以点A,5为圆心，5为半径画弧，两

弧分别交于点M,N,直线MN交AC于点。，连接BO,则△BCD的周长为

21.如图，己知NAO3=60。，C为射线上一点，请用尺规作图法，在一AO3内部求作

一点P,使COP是一个等腰三角形，S.ZOPC=120°.（保留作图痕迹，不写作法）

22.数学课上，老师布置如下任务：如图，在9C中，50平分/ABC交AC于点。.

试卷第6页，共23页

A

（1）用尺规完成以下基本作图：作线段8。的垂直平分线，分别交AB,BD,BC于点E,0,

F,连接DE；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹）

（2）求证：DE=BF,请根据下列证明思路完成填空：

证明：••二①一，

二ZABD=ZCBD.

1/EF是线段8。的垂直平分线，

ZBOE=ZDOE=90°,一②

「③一（_④一）

.,.在△3£。和48尸。中，

'NABD=NCBD

<OB=OB

NBOE=ZBOF

：.BEO^BFO（ASA）.

/.BE=BF

：.DE=BF.

【题型四：角平分线的性质】

23.如图，一个加油站恰好位于两条公路。，6所夹角的平分线上，若加油站到公路。的距

离是80m,则它到公路6的距离是（）

A.60mB.70mC.80mD.90m

24.如图，在VABC中，AO是它的角平分线，AE是它的中线，AB=5,AC=3,BC=I,

则EO长为（）

A

25.如图，己知VA5c中，ZC=90°,A。平分工BAC,且CD:3£）=2:3.若BC=15,

则点。到A3边的距离为（）

A.2B.3C.6D.9

26.如图，在VABC中，AB=7,AC=6,AD平分NA4C,DEJ.AC于E,DE=2,则

VABC的面积为（）

A.13B.19C.20D.26

27.如图，在VA5C中，ZC=90°,AD平分/BAC交3C于。，于E,点/在AC

上，点G在A8上，BE=CF,FD平分NC/G,下列结论中正确的个数（）

@DC=DE；②GD平分NFGE；③NC4B+2/FDG=180°；@SFDG=SCBF+5D£G.

A.1个B.2个C.3个D.4个

28.如图，VABC的外角NDAC和NACE的平分线相交于点M,点Af到BE的距离为4.若

AB=7,3c=9,则四边形ABOVf的面积为.

试卷第8页，共23页

B

29.如图，在VABC中，ADJ.BC,S.CD=2BD,ABC=3AC,C/为ZACS的角平分线,

交AO于点E,交AB于点尸,若,.CDE的面积为7,则图中阴影部分四边形BDEW的面积

为.

30.如图，在VABC中，CD是A8边上的高，BE平分NABC,交CD于点、E,已知，BC=8,

DE=2,贝U3cB的面积等于.

31.如图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE,FD=FE.

(1)如图2,将仪器放置在VABC上，使点。与顶点A重合，D,E分别在边AB,AC上，

沿AF画一条射线AP,交BC于点P.试证明仪器画出的AP是NA4c的平分线.

(2)如图3,在(1)的条件下，过点尸作尸。工A3于点。，若尸。=3,AB=7,VABC的面

积是18,求AC的长.

32.如图，直线平分/M4N,过点B作3CLB4交⑷V于点C；动点、E、D

同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点。以lcm/s的速度

备用图

⑴若&ABD：SvBEC=2：3,试求动点DE的运动时间t的值;

(2)试问当动点£),E在运动过程中，是否存在某个时间人使得ADB与YBEC全等?若存

在，请求出时间/的值；若不存在，请说出理由.

33.VABC中，ZC=90°,射线交射线于。，过。作。E垂直射线54于点E,点尸

在射线C4上，BD=DF.

图1图2图3

(1)如图1,若AO是一A4c的角平分线，求证：BE+AF=AC；

(2)如图2,若射线AD平分VABC的外角，且点/在射线DE上，则线段BE、AF和AC的

数量关系是;

⑶如图3,在(2)的条件下，把△ADC沿。C翻折至ADCM处，若AC=3,EF=4,AF=5,

直接写出入®?的面积.

【题型五：角平分线的尺规作图及应用】

34.图中可以看出小明用尺规作-AO3的平分线OC的作图痕迹，已知小明的作图是正确

的，下列推断不一定成立的是()

试卷第10页，共23页

，4

OIMB

A.OM=ON

B.CM=CN

C.OM=CM

D.若连接CM,GV,则NOCM=NOQV

35.如图，在中，ZC=90°,以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AC、AB

于点/、N,再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P,作

射线AP交边BC于点，点£在边上，连结。E,则下列结论错误的是（）

A.AM=AN

B.连结尸河、PN,根据SAS可判定AMP^ANP

C.ZCAD=ZBAD

D.3E的最小值是。C的长

36.如图，在VABC中，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，与AB,AC交于点。，E,

分别以点为圆心，大于;OE的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线AF交BC于点

G.以点C为圆心，AC长为半径作弧，与A3交于点连结C”,交AG于点若

/3=34。，ZACB=78°,则的度数为（）

空

A.88°B.78°C.68°D.58°

37.已知—AO3,求作：一AO3的平分线。尸，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则

A.只有甲、乙正确B.只有甲、丙正确

C.只有乙、丙正确D.甲、乙、丙都正确

38.如图，直线4〃4，点0在直线"上，以点。为圆心画弧，交直线4于A、B两点，交4

于C点，再分别以8、C两点为圆心，相同长为半径画弧，两弧交于点。，延长OD交《于

39.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB

于点点N,再分别以N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P,射线

AP与3C交于点DEJ.AB,垂足为E.若CD=2,则DE=()

C.3D.4

试卷第12页，共23页

40.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长

为半径作弧，分别交AC,A3于点N；②分别以M,N为圆心，以大于的长

为半径作弧，在NA4C内两弧交于点0；③作射线AO,交3c于点。.若C。的长为2,

则点。到AB的最短距离为.

41.如图，在垂线跖V上求作一点P,使点P到射线。4和02的距离相等.（要求用尺规

作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）

42.如图，BD是VABC的角平分线，E是BC上一点，且ZABC=/BED.

（1）用无刻度的直尺和圆规作〃砂的平分线；（保留作图痕迹，不写作法）

⑵若（1）中所作的角平分线交于尸，当&）=CD时，求证：EF//CD.

【题型六：最短路径问题】

43.昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、2的学生上学，要使A、B

两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（）

居民区/居民区4/

A,弋f区8B,飞吵民区8

街道------》一街道一g一

C/C

44.如图，A和8两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MV（假定河的两岸是平行直

线，桥要与河岸垂直），使从点A到B的路径A-A1-N-8最短的是（）

（8A/垂直于a）（/〃不平行为

（4V垂直于6）（/河平行3N）

45.如图，在VABC中,已知4B=AC=8,BC=5,48的垂直平分线交AB于点N,交AC

于点M,尸为直线肱V上一点，连结尸8,PC,则△P3C的周长最小值是.

46.如图，等腰三角形ABC的底边长为10,面积是60,腰48的垂直平分线跖分别交

AC,AB边于E,F点、.若点。为BC边的中点，点M为线段所上一动点，则周长

的最小值为.

试卷第14页，共23页

47.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由

此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题.

(1)如图.直线。是一条输气管道，M,N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线。上修建

一个供生站0,向N两村庄供应天然气.在下面四种方案中，铺设管道最短的是()

A.

(2)如图，草地边缘与小河河岸ON在点。处形成夹角，牧马人从A地出发，先让马到草

地吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地.请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短,

48.如图,已知VABC的三个顶点的坐标分别为人(-2,3),3(-3,2),C(-l,l).

⑴若VABC关于。点中心对称，试作出对称后的AA与G，并写出点A的坐标

⑵在y轴上找一点使+最小，在图中标出点M;

(3)计算四边形A网瓦的面积.

酉否专实蹉j

49.，蕊合写英鹿【提出问题】唐朝诗人李顽的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，

黄昏饮马傍交河.”中隐含着一个有趣的数学问题一将军饮马.如图1,将军从山脚下的

点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路

程之和最短呢？

(2)如图2,为了说明点C的位置即为所求,某学习小组经探究发现,在直线上另外取点C,

连接,说明AC+BCvAC'+BC即可；

【类比探究】

(3)如图2,将军牵马从军营P处出发，到河流0A饮马，再到草地OB吃草，最后回到尸处，

试分别在边。4和上各找一点E、尸，使得走过的路程最短.(保留画图痕迹，辅助线用

虚线，最短路径用实线)

试卷第16页，共23页

50.教材呈现：以下是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.

线段垂直平分线

我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1,直线"N是

线段A8的垂直平分线，尸是上任一点，连结R4,PB.将线段AB沿直线对折，我

们发现R4与PB完全重合.由此即有：

线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

已知：如图1,MN1AB,垂足为点C、AC=3C,点P是直线"N上的任意一点.

求证：PA=PB.

图中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等，便可证得上4=尸3.

请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程.

定理应用：

（1）如图②，在VABC中，AB、AC的垂直平分线分别交于点。、E,垂足分别为M,

N,BC=30,直接写出VADE的周长为.

（2）如图③，在VABC中，AB=AC,尸分别是AB、上任意一点，若AB=5,

VABC的面积为30,直接写出5P+EP的最小值是.

2能力培优练

51.在如图所示的四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AO平分/BAC的是（）

C.①④D.①③④

52.如图，在VA3C中，NB,NC的平分线交于点。8_L3C于。，如果

AB=18cm,BC=20cm,AC=22cm,且三角形的面积SMBC=150cm?,那么的长为（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.无法确定

53.如图，在一ABC中，AB=AC,3C=4,面积是12,AC的垂直平分线EF分别交AB,AC

边于点E,F.若点。为BC中点，点尸为线段所上一动点，贝Z.PCD周长的最小值（）

A.8B.3C.6D.4

54.如图，在VABC中，NABC=90。，BDJ_AC于点。，点E在A8上，连接CE交50于

点尸，若助=,过A作AHLCE,交CE的延长线于点G,交CB的延长线于点H.若„AHC

的面积为14,且AC+AB=16,则AC-AB的值为.

A

55.如图，在面积为12的VABC中，AB=AC,3c=4,AD23C于点。，直线所垂直

平分4B交A8于点E,交于点歹，尸为直线EF上一动点，则△PBD周长的最小值

为.

试卷第18页，共23页

56.如图，在VABC中，£＞为BC的中点，DEJ_3c交/B4C的平分线AE于E,EF±AB

于尸，EG,AC交AC延长线于G.

⑴求证：BF=CG.

(2)猜想A3、AC、AF的数量有什么关系？并证明你的猜想；

(3)若AB=10cm,AC=6cm,则BF=cm.

57.已知OM是/AC©的平分线，P是射线上一点，点C,。分别在射线OAOB上，连

接PC,PD.

(1)如图①，当PDLOB时，PC与PO的数量关系是；

⑵如图②，点C,。分别在射线上运动，且/AO3=90。.当/PCO+/PDO=180。时,

PC与PD在(1)问中的数量关系还成立吗？请说明理由.

3创新题型练

58.下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程：

已知：如图1,直线3C及直线BC外一点尸.求作：直线尸E,使得尸EBC.

作法：如图2,

BC

图1

①在直线BC上取一点A,连接上4.

②作NPAC的平分线AD.

③以点P为圆心以长为半径画弧，交射线AD于点E.

④作直线PE.

直线尸E就是所求作的直线.

BCB7C

图1图2

上述的方法是通过判定/*=/E4c得到PE6c的，其中判定尸。8C的依据是（）

A.同位角相等，两直线平行B.两直线平行，同位角相等

C,内错角相等，两直线平行D.两直线平行，内错角相等

59.如图，直线4〃4,点A在直线4上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直

线乙、4于8、C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点。（不与点8重

合），连接AC,AD,BC,C，其中AD交4于点£.若/EC4=40。；则①NABC=70。；②

ZBAD=80°;③CE=CD；@ZECA=ZCAE；⑤沿AC折叠，VABC与ACD重合.其中

正确的有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

60.校园的一角如图所示，其中线段AB,BC,C。表示围墙，围墙内是学生的一个活动区

域，小明想在图中的活动区域内找到一点尸，使得点尸到三面围墙的距离都相等，那么这个

试卷第20页，共23页

点尸的位置是（

B.ZABC./BCD角平分线的交点

C.线段48、BC垂直平分线的交点

D.线段BC、C。垂直平分线的交点

61.快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A,B,C三个小区投送快递.每个小区经

过且只经过一次，最后返回快递点P.P,A,B,C之间的距离（单位：km）如图所示.

（1）若小明按照PTBTATC—P的路线骑行，则小明骑行的距离为km；

（2）小明骑行的最短距离为km.

62.学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答

问题：已知：NAOB,求作：/AO3的平分线.

作法：（I）以点。为圆心，适当长为半径画弧，交。4于点交02于点N.

（II）分别以点N为圆心，大于0.5肱V的长为半径画弧，两弧在NAO3的内部相交于点

C.

（III）画射线OC,则射线OC即为所求.

图1图2图3

⑴如图1,射线OC就是一AO3的角平分线的依据是.

A.SASB.ASAC.SSSD.AAS

(2)下面是小明同学给出的方法：

如图2,以点。为圆心，以任意长为半径画弧与OA03分别交于点C,D,再以任意长为

半径画弧与OA03分别交于点E,E,连结CF,DE交于点P,画射线。尸，则OP平分一AO3

你认为小明的这种作角平分线的方法.

A.正确B.不正确

(3)在不限于尺规作图的条件下，小颖同学用三角板按下面方法画角平分线：

如图3,在已知NAOB的边OA08上分别取OC=OD,再分别过点C,。作OAQB的垂

线，两垂线相交于点P,画射线。尸，则0尸平分EMOA

请你帮这位同学证明：OP平分

63.【综合实践】根据以下素材，探索完成任务：

小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射

光线与平面镜的夹角.于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响.如图1,

点。为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在。处，满足斜边

AB//MN,ZA=6Q0,4=30。.现有一束光线CO经平面镜反射后沿0C'射出，当光发生

反射时，/C'ON总是等于NCOM.若使光线C。从与OM重合处开始绕着点O以每秒5。的

速度顺时针旋转，设旋转时间为/秒.

【探究1】当/=3时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线CO和反射光线

0C'所在位置；

【探究2】当/AOC=3/3OC',且0々＜18时，求出满足条件的f的值；

【探究3］若在光线CO开始转动的同时，平面镜MN也绕点。以每秒3。的速度逆时针旋转，

试卷第22页，共23页

当0<t<10时，请直接写出ZAOC和/30C'之间的数量关系.

64.如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源,入射光线AO经过镜面/反射后，恰好

经过点8,点。叫入射点，已知反射角等于入射角,法线

图3图4

(1)若Nl=40°,则N2=

(2)如图2,在空心圆柱口放置一面平面镜跖，EF与水平线CO的夹角/£BC=68。，入射

光线AB经平面镜反射后反射光线为(点A,B,C,D,E,F,M在同一竖直平面

内)，若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线48与水平线C。的夹角/ABC

的度数为.

(3)如图3,点A处有一个光源，入射光线A0经过镜面/反射后，恰好经过点B,请用无刻

度直尺和圆规作出入射点0,并画出光线(不写作法，保留作图痕迹，用23铅笔加黑加粗)

⑷某台球桌为如图4所示的长方形ABC。，钻=1,小球从A沿45。角击出，恰好经过5次

碰撞后到达B处.则BC=

D

BC

图4

参考答案

1.B

【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的定义和判定定理，根据线段的垂直平分线的定

义和判定定理：到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可判断.

【详解】解：①尸不是的中点，贝h不平分线段故错误；

②直线,经过线段Afi的中点，且垂直于贝U/是线段AB的垂直平分线，故错误；

③若AP=PB,直线/经过点P且垂直于线段48,贝心是线段A3的垂直平分线，故正确；

④经过线段AB的中点P且与AB垂直的直线/是线段的垂直平分线，故正确.

故选：B.

2.C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解

答本题的关键.

根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识点进行判断即可.

【详解】解：.1直线/经过线段的中点。，点P在直线/上，且24=尸3,

:.ZPAO=ZPBO,PO平分/APB,尸。垂直平分线段AB,

故①③④正确，

条件不足，无法求出/A的度数，故②错误；

故选：C.

3.A

【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的

判定定理解答问题.

^AB=AC,OB=OC,可知直线49是线段BC的垂直平分线，由4。与BC交于点

D,BC=8,从而可以得到CD的长，本题得以解决.

【详解】解：••,AB=AC,OB=OC,

.•.点A,点。在线段BC的垂直平分线上，

•••直线A0是线段BC的垂直平分线，

：与交于点。，

BD=CD,

"：BC=8,

8=4,

答案第1页，共47页

故选：A.

4.A

【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握图形轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形

全等的性质是解题的关键.

由轴对称的性质可知丫钙(7空43'。',443跖7,。(7」脑7,即可求解.

【详解】解：：VABC与.AEC关于直线对称，

:NABC^A!B'C,AA'±MN,CC±MN,

:由轴对称的性质，可知直线AB,AZ'的交点一定在MN上，

二A选项符合题意；

产为上任一点，

:.AP=A'P,

ZW尸是等腰三角形，

•••B选项不符合题意；

△ABC0△A'B'C',

；.VABC与A3'C'面积相等，

•••C选项不符合题意；

QAP=A'P,CP=C'P,

...MV垂直平分AA',CC,

••.D选项不符合题意；

故选：A.

5.见解析

【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，掌握该知识点是解题的关键.由“到线段两端点

距离相等的点在该线段垂直平分线上”，可判断AC是8。的垂直平分线，即可解得.

【详解】证明：：=BC=DC,

.•.点A、C在8。的垂直平分线上，

•••AC是8。的垂直平分线，

ACJ.BD.

6.(1)见解析

(2)见解析

答案第2页，共47页

【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质.熟

练掌握三角形全等的判定定理是解题关键.

(1)由平行线的性质可得出Z4Z2E=NBFE,再根据点E是AB的中点，即得出钻=

由对顶角相等得出=即证明AE哈BEF(AAS),得出A£>=5尸；

(2)由八4£0名△麻广，得出ED=EF.根据题意又易证GF=GD,结合EG=EG,可证

GFE^GDE(SSS),即得出NGEF=NG£D=90。，即EG，。尸，从而可得结论.

【详解】(1)证明：：AD〃3C,即AD〃CF,

ZADE=ZBFE.

,点E是AB的中点，

,AE=BE.

又；ZAED=ZBEF,

：.AED^BEF(AAS),

AD=BF；

(2)证明：AAED^ABEF,

ED=EF.

:ZADE=NBFE,ZGDF=ZADF,

：.ZGFD=ZGDF,

：.GF=GD.

又；EG=EG,

:.GFE乌.GDE(SSS),

NGEF=AGED=90°,即EG_LOF.

EG垂直平分Ob.

7.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是

熟练掌握三角形全等的判定方法.

(1)用AAS证明,A£g,AFD即可；

(2)根据全等三角形的性质，得出AE=AF,DE=DF,说明点A、O在线段所的垂直平

答案第3页，共47页

分线上，即可证明结论.

【详解】(1)证明：AD是VABC的角平分线，

:.ZDAF=ZDAE,

DE,。尸分别是△ABD和ACD的高，

ZAFD=ZAED=90°,

在△AED和△AFD中，

ZDAF=ZDAE

<NAFD=NAED,

AD=AD

△AED0△AFD(AAS)；

(2)证明：AEI泾AFD,

：.DE=DF,AE=AF,

.••点A、。在线段所的垂直平分线上，

二")垂直平分E尸.

8.(1)证明过程见详解

(2)140°

【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键.

(1)根据垂直平分线的性质，结合题意得到AC=AD,即ACD是等腰三角形，由“三线

合一”得到AM_LCD,由此即可求解；

(2)根据垂直平分线的性质得到=贝|

ZCAN+ZCAM=ZMAN=70°,所以有/&亚+/04"=/。^+/。470=70。，由此即可

求解.

【详解】(1)证明：：AN垂直平分BC,

/.ZANB=ZANC=90°,BN=CN,AB=AC,

：.AC^AD,即ACD是等腰三角形，

:点M是C。中点，

AM1CD,

；•AM是线段。的垂直平分线；

(2)解：：AN垂直平分BC,40是线段C。的垂直平分线，AB=AC=AD

：.ZBAN=ZCAN,ZDAM=ZCAM,

答案第4页，共47页

・・•Z.CAN+ZCAM=ZMAN=70°,

・•・ZBAN+ADAM=ZCAN+ZCAM=70°,

：.ZBAD=140°.

9.C

【分析】该题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出4)=9=6,

即可求解.

【详解】解：:OE1垂直平分A5,

AD=BD=6,

・•・AC=AD+CD=6+3=9,

故选：C.

10.C

【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的任一点到

线段两个端点的距离相等是解题的关键.

由题中折叠可知，为线段3c的垂直平分线，可得到BN=av,即可求解.

【详解】解：由题中折叠可知，为线段8C的垂直平分线，

:.BN=CN,故C正确，符合题意，

其余选项均不能证明，不符合题意，

故选：C.

11.B

【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了

平行线的性质和线段垂直平分线的性质.利用基本作图得到项f垂直平分BC,则根据线段

垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到N2=NEBC=30。,然后根据平行线的性质得到

Z£BC=Z1=3O°.

【详解】解：由作法得㈤0垂直平分BC,

EB=EC,

.•./2=/EBC,

Z2=30°,

ZEBC=30°,

■:a"b,

:.ZEBC=Zl=30°.

答案第5页，共47页

故选：B.

12.D

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关

键.由线段垂直平分线的性质可得D4=D3,E4=EC,结合VADE的周长8cm,得出

BD+DE+EC=8cm,即可得解.

【详解】解：：DM是A3的垂直平分线，

DA-DB，

1/EN是AC的垂直平分线，

:.EA=EC,

：VADE的周长8cm,

/.AD+DE+AE=8cm,

/.BD-\-DE+EC=8cm,

BC=8cm,

故选：D.

13.32

【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到==再

ABC=AB+BC+AC=AE+BE+AD+DC+AC^^-,即可角星题•

【详解】解：OE为的垂直平分线，AE=6,

:.BE=AE=6,BD=AD,

C^ACD=20=AD+AC+DC,

则CABC=A8+BC+AC

=AE+BE+BD+DC+AC

=AE+BE+AD+DC+AC

=6+6+20

=32；

故答案为：32.

14.30

【分析】本题考查作图一基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关

键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.利用三角形内角和定理求出NC4B=60。，再

答案第6页，共47页

求出ND4B=NDB4=30。，可得结论.

【详解】解：根据题意可知，垂直平分线的AB,

DA=DB，

ZDAB=ZDBA=30°f

ZC=90°,ZB=30°,

二ZCAB=180°-90°-ZB=180°-90°-30°=60°,

.•.ZCAD=ZCAB-ZDAB=60°-30°=30°,

故答案为：30.

15.4

【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相

等.由线段垂直平分线的性质可得A£>=CD,根据=+8求出的长即可.

【详解】解：石是VABC边AC的垂直平分线，

・・・AD=CD,

VAD=3,BC=1,

；.CD=3,

：.BD=BC-CD=4.

故答案为：4.

16.12

［分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题

关键是依据作图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解.

先依据作图步骤得出=夕£垂直平分5。，进而得到5。的长度，再推导出对角线垂

直的四边形面积公式S=；x对角线之积，计算出结果.

【详解】解：由作图步骤可知：

步骤①中，以点尸为圆心作弧交直线/于8、D,

：.PB=PD.

步骤②中，分别以3、。为圆心，大于;物长为半径作弧相交于E,

•••直线PE是线段BD的垂直平分线，

:•BF=DF=2,PE±BD.

：.BD=2BF=4.

答案第7页，共47页

,/四边形PBED的对角线PE与互相垂直，

S四邂PBED=gPExBF+gpExDF=gpExBD=gx6x4=l2-

故答案为：12.

17.(1)见解析

(2)32

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关

键.

(1)根据AD_L3C,且=可得AD垂直平分BE,则AB=AE,根据所垂直平分

AC,可得E4=EC,据此可证明AB=EC；

(2)根据线段垂直平分线的定义得到AC=2A入根据血=DE,得至IJ3C=2OE+EC,

再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得.ABC的周长

=AB+BC+AC=2(DC+AF)=32.

【详解】(1)证明：・.•AD_L3C,垂足为。，且BD=DE,

•••AD垂直平分3E,

AB=AE，

•・•跖垂直平分AC,交AC于点R交BC于点、E,

EA=EC,

：.AB=EC；

(2)解：・・・E/垂直平分AC,交AC于点代交BC于点

・•.AC=2AF.

；BD=DE,

BC=2DE+EC.

由⑴得AB=EC,

ABC的周长=AB+BC+AC=EC+2DE+EC+2AF=2(DC+AF)=32.

18.D

【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，先根据作图得出OE垂直平分然

后根据线段平分线的性质得出AH=9,AO=BO,结合周长为16可求出

AO+AH=8,然后结合。"=4即可求解.

【详解】解：由作图知：DE垂直平分A8,

答案第8页，共47页

/.AH=BH,AO=BO,

:一AB//周长为16,

AB+BH+AH=16,BPAO+BO+BH+AH=16,

：.AO+AH=8,

又OH=4,

：.AAOH的周长为AO+A/f+OH=12,

故选D.

19.B

【分析】本题考查了基本作图一作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段

垂直平分线的性质是解题的关键.由作图可得：OE垂直平分AC,由线段垂直平分线的性

质得出AD=CE>,根据△ABD的周长为9cm,AB=3cm,求出BD+AD=6cm,即可由

BC=BD+CD=BD+AD求解.

【详解】解：由作图可得：