暑假预习：分式不等式与基本不等式（原卷版）-2025沪教版高一数学暑假提升讲义

暑假预习专题12分式不等式与基本不等式

预习三步曲

第一步：导

思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握

第二步：学

析教材学」教材精讲精析、全方位预习

核心考点精准练

第三步：测

与提升小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

@串知识•讯框架

蹩知识导图慌理

实际应用

砥析教材学知识

知识点1分式不等式与基本不等式重占

形如仁〉0(》0)或仁＜0(W0)(其中/(X)、g(x)为整式且g(x)不为0)的不等式称为分

g(x)g(x)

式不等式.

解分式不等式先将分式不等式通过移项、通分把右边化为零，左边化为/"(/(x)、g(x)是

拓展

g(x)

关于X的表达式且g(x)H0)的形式，然后同解变形.分式不等式的同解变形如下表:

分式不等式同解不等式(组)

口〉0/«>0,f/(x)<0,

与＜g(x)〉。或/；c同解；与/(x)g(x)〉0同解

g(x)【g(x)<0

“0/(…或]/(x)<0,

与「、n同解；与/(x)g(x)<0同解

g(x)g(x)<0g(x)〉0

-0/(x)g(x)>0,

与＜,、c同解

g(x)[g(x)w0

y(x)g(x)<o,

与《/、c同解

g(x)g(x)w0

知识点2利用分式不等式求解实际问题重点难点

将实际问题转化为数学模型,在转化的过程中注意实际问题的限制条件.

知识点3绝对值不等式

一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.

例如，|x|＞3,|x-l|^2都是绝对值不等式.

代数意义：|x|=＜几何意义：冈表示数轴上表示数X的点到原点的距离.

-x,x<0.

知识点4含绝对值不等式的解法重点难点

1.含绝对值的不等式|x|＜。与|x|〉a的解集

一般地，当a>0时，有|x|<a=-a<x<a,因此，不等式|x|<a的解集是(-a,a)；

\x\>a<i^x<-a或x>a,因此，不等式|x|〉a的解集是(-oo,-a)u(a,+oo).

2.|ax+b\^c和|ax+b]2c型不等式的解法

(1)若c〉0,则|ax+6|Wc等价于-cWax+bWc」ax+b]2c等价于ax+b^c或ax+b^-c,

然后根据a、b的值求解即可.

⑵若c<0,则|ax+b|Wc的解集为0,\ax+b\^c的解集为R.

方法总结

类型伍〉0)数轴表示解集

>a{x|x<_Q或x〉Q}

-a0<i%

卜二a一{x\-a<x<a}

-Q0CIX

|x-b|>a■LJ■{x\x<b-。或x>6+a}

b-abb+a%

{x\b-a<x<b-\-a}

|x-b|<a

Jb-aBb6L+ax

3.\x-a\+\x-b\^c(c>0)和|x-a|+11^c(c>0)型不等式的解法

法一:利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二:利用“分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三:通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想

知识点5平均值不等式重点

1.算术平均值与几何平均值

对于正数a、b，称—是a、b的算术平均值，并称J法是。、b的几何平均值.

2.平均值不等式

定理(平均值不等式)两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数。、b,有

，且等号当且仅当。=b时成立

2

特别提醒

1.平均值不等式的常见变形：a+b洛标（a>G,b>G）,abW伍/eR）.

2.平均值不等式的常用结论：

bahci

（1）—+—同号），当且仅当a=b时取等号；一+—W—2（。乃异号），当且仅当a=—b时

abab

ha

取等号.特别地，一+722（仍。0）,当且仅当\a\=\b\时取等号；

ab

（2）aH—22（。〉0）,当且仅当a—\时取等号；QH—<—2（。<0）,当且仅当a时取等

aa

号.特别地，—22（。W0）,当且仅当|。|=1时取等号.

a

知识点6利用平均值不等式及常用不等式求代数式的最大（小）值

1.最值定理

已知a>0„b>0,贝U

（1）若ab=p（常数），则当且仅当a=b时，a+b有最小值2）.简记：积定和最小.

§2

（2）若a+b=s（常数），则当且仅当a=b时，ab有最大值—.简记:和定积最大.

4

特别提醒

利用平均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件--正、二定、三相等

（1）“一正”就是各项必须为正数。（2）“二定”就是要求和的最小值；必须把构成和的二项之积转化成定值;

要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值，（3）“三相等”是利用平均值不等式求最值时，

必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出错的地方

2.重要不等式链

（1）若a^b>0,则以”立2b>。.

V22a+b

（2）若。〉0,6〉0,则1T士贵,其中1T叫做a、b的调和平均值，

—+-2V2—+-

abab

2

a+b

叫做a、b的平方平均值.此不等式链常以ab^(a,Z)eR)的形式出现.

2

螂知识延伸

平均值不等式的其他应用形式

112

(1)一+丁》刀〒(。〉0)〉0),当且仅当a=b时取等号.

ab7ab

114

(2)—+—2——(。〉01〉0),当且仅当a=b时取等号.

aba+b

(3)(。+6)(—>0),当且仅当a-b时取等号.

\ab)

(4)(a,Z)eR),当且仅当a=b时取等号.

知识点7三角不等式I重占

知识回顾

当a、b两数至少有一个为o时，可得\a\+\b\=\a+b\.当。、b两数所表示的点在原点的同侧

时，可得\a\+\b\=^a+b\

当a、b两数所表示的点在原点的两侧时，可得伍|+他|〉必+回.

定理(三角不等式)两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数。、b,有

|a+6|W|a|+|",且等号当且仅当/20时成立.

拓展

：k+&+…+。篦I+1&I+…+1"」.

推论2：如果a、b、c是实数，那么b|+|6—,当且仅当(a—6)(6—c)20时，等

号成立.

■练考点•展知识

题型一、分式不等式

例1(24-25高一上•上海嘉定•期末)不等式言>0的解集是.

1-1(24-25高一上•上海•期末)不等式上7>1的解集为________.

x-1

1-2(24-25高一上•上海・期中)关于x的不等式竺二140的解集为A.若3e4,4eN,则。的取值范围是

x-a

1-3已知集合/=卜|卜-4<2}8

⑴若。=2,求A和8；

⑵若“xe8”是“xe/”的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

1-4(24-25高一上•上海青浦•期中)已知集合/=<05={x||x-l|<l},全集为R.

(1)求集合A和8；

(2)求阴影部分表示的集合.

题型二、基本不等式的内容及辨析

例2(23-24高一上•江苏•课前预习)基本不等式的变形

(1)—ab(a,beR)(当且仅当a=6时等号成立)；

(2)(三)>ab(a,beR)(当且仅当—时等号成立).

2-1(2023•上海奉贤•一模)若两个正数a6的几何平均值是1,贝巾与6的算术平均值的最小值是.

2-2几个重要不等式

(1)a2+b2>(a,b£R)；

(2)^■之(a,beR,a,b>0)；

(3)—H—N__(同号)；

ba

(4)ab<或(a/wR)；

2

eR,q,b>0)

(5)>>>T~

—+—

ab

题型三、由基本不等式比较大小

7^例3（20-21高一・江苏•课后作业）若a>0,b>0,且a邦，则（）

A.碗<后>B.而<一〈后尹

C.呼

3-1（24-25高一上•广西南宁•阶段练习）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a

元/斤，6元/斤，aab,甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，

甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为叫，吗，则下列结论正确的是（）

A.m[=m2B.mx>m2C.mx<m2D.叫，m2的大小无法确定

32（23-24高一上•陕西西安•期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金

100g,售货员先将50g祛码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将50g祛码放在天平右

盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金（）

A.小于100gB.等于100g

C.大于100gD.与左右臂的长度有关

题型四、由基本不等式证明不等关系

/+2Q+1

例4（23-24高一上•上海金山•期中）已知a为正数，比较大小:_____4.

a

4-1（22-23高一・全国•课堂例题）设。，b为正数，证明下列不等式:

⑴a+,2；

(2)-+y>2.

ab

4-2（22・23高一上•重庆九龙坡♦期中）已知工,歹，z是正实数，证明:

---------1---------------------------1-------------<—1

x+2y+3z+3（x+l）（2y+l）（3z+l）12

题型五、基本不等式求积的最大值

/例5（24-25高一上•上海•期中）已知别>0,«>0,且加+〃=1,则加的最小值为

5-1（24-25高一上•上海•期中）已知实数〃，b满足。+26=1,则必的最大值为.

5-2（24-25高一上•上海•期中）设x,y>0,若4x+'=l,则土的最大值为.

5-3若直角三角形斜边长等于10cm,则直角三角形面积的最大值为一.

5-4设实数x、y满足|x+〉|=l,则中的最大值是.

题型六、基本不等式求和的最小值

例6（24-25高一上•上海宝山•期中）已知x>0,则代数式的最小值是.

Q

6-1（24-25高一上•上海闵行•期中）函数了=1+2/+=的最小值是.

6-2（24-25高一上•上海闵行•期中）已知正实数'J满足初=1,则工+歹的最小值是.

6-3（1）求y=2x+J（%>1）的最小值;

13

（2）已知％,JER+,%+>=1,求丁+一的最小值.

2x+yy+3

题型七、二次与二次（或一次）的商式的最值

且*1,则帆+〃|+占的最小值是

/例7（24-25高一上•上海浦东新•期中）已知加，几ER,

7T若正数x,y满足^^=4,则土的最大值为.

yy

2x

7-2函数〉=-的值域是________.

x2-x+44

7-3（24-25高一上•广东江门•期末）若x>0,则生二■的最小值是.

28.（24-25高一上・甘肃兰州•期中）求解下列各题:

（1）求了=二^±1（》<0）的最大值.

⑵求y=；#（x>l）的最小值.

（3）已知工>0,>>0且4%+丁=孙，若x+y>机之+8加恒成立，求实数加的取值范围.

7-4(24-25高一上•四川泸州•阶段练习)Vzf(x)=mx12+(l-m)x+m.

(1)若全称量词命题“VxeR,/(x)NO”是真命题，求实数加的取值范围;

⑵在(1)的条件下，求二+2加+5的最小值;

m+1

⑶解关于X的不等式/(%)<加+1(机eR).

题型八、基本不等式“1”的妙用求最值

/例8(22-23高一上•上海松江•期末)设x,ye(0,+oo),且x+4y=l,则；的最小值为()

A.6B.7C.8D.9

19

8-1已知机，几£(0,+8),—+n=l,则加+一的最小值为()

mn

A.13B.16C.3D.6

12

8-2(2023・上海金山・二模)已知正实数用b满足一+不=1,贝U2。+6的最小值为一.

ab

8-3(24・25高一上,上海•阶段练习)设x>-1/>。且x+3歹=1,则^+一的最小值为________.

x+1y

8-4(24・25高一上•上海•期中)设〃、b是正实数.

(1)求证：并指出等号成立的条件；

12

(2)若。+6=2,求上+：的最小值，并指出等号成立的条件.

ab

1?

8-5(24-25高一上•上海•期中)问题：正实数服b满足〃+6=1,求一+7的最小值.其中一种解法是：

ab

—+工=(—+1]([+6)=1^----1■—+2>3+2A/2,当且仅当2=学且Q+6=1时，即〃=收-1且6=2-0时

ab\abjabab

io

取等号，故而—+工的最小值是3+2后.学习上述解法并解决下列问题：

ab

14

(1)已知。、b是正实数，且。+6=1,求^—+1的最小值.

2a+bb+2

22

(2)①已知实数4、b、X、y,满足三一勺=1,求证/.

ab

②求代数式河=4三-标二5的最小值，并求出使得〃最小的加的值.

题型九、条件等式求最值

7^例9（23-24高一上•安徽马鞍山•阶段练习）已知正实数X/满足中-x-y=3,则2x+y的最小值

为.

9-1（22-23高一上•上海徐汇・期末）若实数x、y满足刈=1,贝13x2+2/的最小值为.

9-2（22-23高一上•上海松江・期末）设》>。，>>1,且!+因=。，若x+V的最小值为4,则实数。的值

为_________

9-3（23-24高一上•上海浦东新•期中）设无、八z为互不相同的实数，对于4+必+3,

y—zz—xx-y

41+yzr1+xye___1+zx

⑴令Q=-------,b=-----,用Q、6表本-----

y-zx-yz-x

上1+yz1+zx1+xy,,_...

⑵求——+--的最小值.

y-zz-xx—y\

9-4（23-24高一上•上海普陀•期中）已知/+8〃=4.

⑴若。与6均为正数，求油的最大值，并指出取最大值时。与6的值;

12

⑵若。与b均为负数，求3+W的最小值.

ab

题型十、基本不等式的恒成立问题

例10（23-24高三上•上海黄浦•期中）若对任意的xe[1,2],不等式/+x>ax-2恒成立，则实数加

的取值范围是（）

A.m<2A/2+1B.I-2V2</w<5

C.I-2V2<m<2V2+lD.m<4

10T当x>l时，不等式无+一二2。恒成立，则实数。的取值范围是（

)

x-l

A.(一8,2]B.[2,+oo)C.[3,+8)D.(一00,3]

Y

10-2(24・25高一上•湖南衡阳•阶段练习)对于任意0<x<4,机〉丁；恒成立，则()

x+1

2331

A.m>—B.m>—C.m>——D.m>—

55102

10-3已知,且2a+b=2,若产-3/V，+工恒成立,

则实数f的取值范围是

ba

10-4（24-25高三上•天津•阶段练习）若不等式无2+2xyWa（，+/）对于一切正数X/恒成立，则实数。的最

小值为.

10-5求下列代数式的最值：

4

（1）已知X>1,求歹---7的最小值；

X-L

81

⑵已知x>0,y>0,且满足—+—=1.求x+2y的最小值；

1y

（3）当0<x<：时，不等式工+」一-加20恒成立，求实数机的最大值.

4x1-4%

题型十一、对勾函数求最值

/+1

7^例11函数/（X）=>0）的最小值为（）

A.-1B.0C.1D.2

11-1已知函数〃x）=x+：-4,关于x的不等式〃x丝/-加+2在区间1,3上总有解，则实数用的取值

范围为•

11-2设x>0/>0,x+2y=2,则——叵——的最大值为

（x-2）（…+4

13

11-3（1）已知x,y是正实数，且％+>=4,求一+一的最小值；

xy

r24-2

(2)函数>=+"(x>l)的最小值为多少？

(3)已知0<x<l,则x(4-3x)取得最大值时x的值为多少?

题型十二、分类讨论解绝对值不等式

例12(2024•上海杨浦一模)已知|x+3|+|x-5|=8,则实数x的取值范围为

12-1(24-25高一上•上海•期中)己知xwR,则方程|尤-7|+|3-4司=仙-10|的解集为

12-2(24-25高一上•上海•期中)解关于x的不等式|2x-l|-|x+l|<l.

12-3(24-25高一上•上海•期中)(1)解关于x的不等式组x-6~

|3x-4|>l+2x

(2)设"eZ,证明：若/是奇数，贝产是奇数.

12-4(24-25高一上•上海•期中)已知函数y=/(x)满足卜2a+1]

(1)当。=2时，求不等式7(x)24的解集；

(2)若4恒成立，求实数。的取值范围.

题型十三、基本(均值)不等式的应用

7^例13（24-25高一上•上海徐汇•期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某

公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为4.5mz,为

了美观，要求海报上四周空白的宽度为01m,两个宣传栏之间的空隙的宽度为0.2m,设海报纸的长和宽分

别为xm,ym,为节约成本（即使用纸量最少），贝|长X=m.

13-1（24-25高一上•上海宝山・期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩

形菜园.若菜园面积S为72m2,则所用篱笆总长C最小值是m.

y

13-2（24-25高一上•上海•阶段练习）现需要建造仓库/和厂房2,已知建造仓库/的所有费用〃？（万元）

和与仓库N、厂房8的距离x（千米）的关系为："，=一^（0<x<8）,若距离为1千米时，仓库A建造

费用为80万元，为了方便，仓库N与厂房2之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路

面每千米成本为3万元，设了（X）为建造仓库A与修路费用之和.

⑴求/（x）的表达式;

（2）当仓库/与厂房2距离多远时，可使得总费用/（x）最小？并求出最小值.

13-3（24-25高一上•上海浦东新•期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元

/次，一年的总存储费用为4x万元.

（1）写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）；

（2）要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？

（3）要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？

13-4（24-25高一上•上海•期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长acm、宽6cm的矩形，面积

为60cm2.版面设计如图所示：海报上下左右边距均为2cm,文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，

栏目间中缝空白的宽度为1cm.三个栏目的文字宣传区域面积和为S,

b

a

（1）用。、6表示文字宣传区域面积和S；

（2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和S最大？最大面积是多少？

题型十四,绝对值三角不等式

7^例14（24-25高一上•上海金山・期末）已知〃-2,若不等式,+耳+卜-6性加恒成立，则〃z的取值

范围为.

14-1（24-25高一上•上海长宁・期末）若对任意XER,都有|x+l|+|2-乂之相，则实数机的最大值为一

14-2（24-25高一上•上海徐汇•期末）若关于x的不等式,+1|+|x-2|>/+a+1对于一切实数x都成立，则

实数。的取值范围是

14-3（24-25高一上•上海•期中）已知区1,区2,©V2,则|必一以/|的最大值为

11

14-4（24-25高一上•上海•阶段练习）对任意的实数x,y（yw0）,+X——+卜++引+卜+川的最小值

y

为

14-5（24-25高一上•上海•阶段练习）存在xeR使不等式|2无-4<|20-1|-2国成立，则实数。的取值范围

是

14-6（24-25高一上•上海•期中）设x£R,方程段-2|+|1-x|=|2x-1|的解集是,

@过关测•德提升

A组夯实基础

2x+1

1.（24-25高一上•上海•阶段练习）不等式的解集为______.

1-x

2.（24-25高一上•上海虹口•期末）设正实数九〃满足根+〃=1,则下列结论不正确的是（

A.—I■—的最小值为4B.+的最大值为

mn'

c.y嬴的最大值为:D.加2十〃2的最小值为:

3.（24-25高一上•上海嘉定・期末）若（0,2）,则4+J-的最小值是____.

x2—x

4

4.（24-25高一上•上海•期中）将x+嚏-办-6在区间1,4]上的最大值记为则的最小值

为.

----------<0

5.（24・25高一上•上海嘉定•期中）已知关于》的不等式组x-1+〃的整数解恰好有四个，则实数〃的取

x+3〃〉1

值范围是.

6.（24-25高一上•上海•期中）已知aeR,集合/=卜|={x|x?+（2-a）x-2a<o}；

（1）当a=g时，集合C={x|xe/且,求集合C；

（2）已知/U8=/,求实数。的取值范围；

B组能力提升

7.（23-24高一上•上海徐汇・期中）定义min{%,电,为〃个实数。”出，…，。”中的最小数，max

为"个实数外,电，…,％中的最大数.

（1）设a,6都是正实数，且。+6=1,求max}6,；1；

⑵设0,6都是正实数，求max[a+[,2+b]