苏科版七年级数学下册 第7章 平面图形的认识（二）全章复习与巩固

专题7.26平面图形的认识（二）（全章复习与巩固）

（知识讲解）

【知识要点一】三线八角：

两条直线AB、CD与直线EF相交，交点分别为E、F,如图，则称直线AB、CD被直

线EF所截，直线EF为截线.两条直线AB、CD被直线EF所截可得8个角，即所谓“三线八

角”.

（一）、这八个角中有：

1、对顶角：/I与/3,/2与/4,/5与N7,/6与/8.

2、邻补角有：N1与N2,/2与N3,N3与N4,N4与Nl,N5与N6,/6与N7,

N7与/8,N8与N5.

（二）、同位角，内错角，同旁内角：

1、同位角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的同侧，且在第三条直线的同旁

的二个角叫同位角.

如图中的N1与N5分别在直线AB、CD的上侧，又在第三条直线EF的右侧，所以N1

与N5是同位角，它们的位置相同，在图中还有N2与/6,/4与N8,/3与N7也是同位

角.

2、内错角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的内侧，且在第三条直线的两旁

的二个角叫内错角.

如上图中N2与N8在直线AB、CD的内侧（即AB、CD之间），且在EF的两旁，所

以N2与N8是内错角.同理，N3与N5也是内错角.

3、同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在两条直线的内侧，且在第三条直线的同

旁的两个角叫同旁内角.

如上图中的N2与/5在直线AB、CD内侧又在EF的同旁，所以/2与/5是同旁内角，

同理，/3与/8也是同旁内角.

因此，两条直线被第三条直线所截，共得4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.

【知识要点二】直线平行的判定：

1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简记为：

同位角相等，两直线平行

2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简记为：

内错角相等，两直线平行

3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简记为：

同旁内角互补，两直线平行

【知识要点三】直线平行的性质：

1、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简记：两直线平行，同位角相等

2、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简记：两直线平行，内错角相等

3、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简记：两直线平行，同旁内角互补

【知识要点四】平移：

一、平移的概念：

把图形上所有点都按同一方向移动相同的距离叫作平移。

△ABC向右平移相同距离得到其中A与A是对应点，线段AB与线段A'B'

是对应线段，/A与/A，是对应角.

二、平移的特征：

1、平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状、大

小都没有发生改变，并且平移不改变直线的方向.

2、平移把直线变成与它平行的直线.

3、两条平行线中的一条可以通过平移与另一条重合

三、平移作图：

确定一个图形平移后的位置所需条件为：

1、图形原来的位置；2、平移的方向；3、平移的距离

四、两直线之间的距离：

如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个

距离称为平行线之间的距离。

【知识要点五】三角形

一、三角形的定义:

1、由不在同一直线上的三条线段首位顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2、三角形有三条边、三个顶点和三个内角.

记作：AABC

三角形的顶点：A、B、C；三角形的内角:NA、NB、ZC；三角形的边：AB、AC、

BC

A

（一）、分类：

1、三角形按边分类:

‘不等边三角形

三角形八,（腰和底不相等的等腰三角形

L等腰三角形等边三角形

注：

等边三角形是特殊的等腰三角形，切记不能将三角形按边分成不等边三角形、等腰三角

形和等边三角形三类.

2、三角形按角分类：

锐角三角形锐角三角形

斜三角形，

三角形（钝角三角形或三角形，立角三角形

直角三角形钝角三角形

（1）三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.

（2）有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形.

在直角三角形ABC中，ZC=90°,AC、BC叫做直角三角形的直角边，AB叫做直角

三角形的斜边.用“Rt”表示直角，直角三角形ABC可表示为：RtAABC.

直角三角形的两个锐角互余.即ZA+ZB=90°.

（3）有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形.

AA

B--------CB----------cCBC

三、三边关系：

1、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第

三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段.）

四、三角形的性质：

三角形具有稳定性

【知识要点六】三角形三条重要线段

一、三角形的角平分线、中线和高：

如图，点D、E、F都在AB上.

（一）、角平分线：

1、在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫

做三角形的角平分线.

2、^ZACE=ZECB=-ZACB（KPCEWZACB）,则CE是AABC的角平分线.

2

（二）、高：

1、从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三

角形的高线，简称三角形的高.

2、若CF_LAB（即/AFC=NBFC=90。），贝！JCF是AABC的高.

（三）、中线：

1、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.

2、若AD=BD='AB（即D是AB的中点）时，则CD是AABC的中线.

2

（四）、特别注意：

（1）三角形有三条角平分线，三条中线，三条高线（它们都是线段）

（2）三角形三条角平分线，三条中线都在三角形的内部，但高不一定（钝角三角形有两

条在外部，直角三角形时有两条恰好是两条直角边).

(3)三角形三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条中线所在的直线交于一

点.

(四)、外角：

(1)三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角

(2)我们把两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做这个等腰三角形的

腰；把三边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形).

三角形的中线三条中线交于三角形内一点

三角形的角平分线三条角平分线交于三角形内一点

锐角三角形的三条高交于三角形内一点；

三角形的高直角三角形的三条高交于边上；

钝角三角形的三条高交于三角形外一点

二、三角形的内角和定理：

1、三角形的内角：

①三角形的三个内角的和等于180°.

②推论：直角三角形的两个锐角互余.

2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.

图中的NCBD称为AABC的一个外角

3、注意：

①“外角”是三角形的外角，不是它相邻内角的外角.对三角形的外角，称某个角是某个三

形的外角,而不称三角形某个角的外角

②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

③三角形的外角和等于360°.

特别说明：

多边形的外角：

（1）多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在

每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.

（2）任意多边形的外角和等于360°.

多边形的内角：n边形的内角和等于（n—2）.180°

【典型例题】

类型一、平行＞♦»理解与识别

,1.下列说法正确的是（）

A.a、b、c是直线，若。_L6,6〃c,则q〃c

B.a、b、c是直线，若。_Lb,6_Lc,则。_Lc

C.a、b、c是直线，若。〃上》_Lc,则a〃c

D.a、b、c是直线，若。〃瓦6〃c,则a〃c

【答案】D

【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可.

解：A.当。，瓦6〃c时，a±c,故本选项错误，不符合题意；

B.在同一平面内，当时，a//c,故本选项错误，不符合题意；

C.当。时，aLc,故本选项错误，不符合题意；

D.当。〃46〃c时，a//c,故选项正确，符合题意；

故选：D.

【点拨】本题考查了平行公理和推论，平行线的性质和判定等知识点，能灵活运用定理

进行判断是解此题的关键，此题比较好，但是比较容易出错.

举一反三：

【变式】在同一个平面内的直线a,b,c,若。〃Z?,a//c,则6与c的关系是（）

A.平行B.垂直C.相交D.不能确定

【答案】A

【分析】根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”分析判断即可.

解：根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”可知，

在同一个平面内的直线a,b,c,若a〃8,a//c,

则b〃c.

故选：A.

【点拨】本题主要考查了平行公理推论，熟练掌握平行公理及其推论是解题关键.

类型二、三线八角＞♦＞*内错角、同位角、同旁内角》＞*理解与识别

2.如图，下列说法不正确的是（）

A.N1与22是同位角B.22与N3是同位角

C.N1与—4是内错角D.22与/4是同旁内角

【答案】D

【分析】本题要根据内错角、同位角以及同旁内角的定义来判断.

解：•..同位角是在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，且同位角的边构成“k’形，

:.A,B正确；

•.•两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之

间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，

选项正确，

D选项，，2与不是同旁内角，

故选：D.

【点拨】本题考查了内错角、同位角以及同旁内角的定义，掌握内错角、同位角以及同

旁内角的定义是解题的关键.两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹

在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，两条直线被第三条直线所截,

在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，两个角称为同旁内角；同位角是在截

线同旁，被截线相同的一侧的两角，且同位角的边构成“尸’形.

举一反三：

【变式】如图，下列判断中正确的个数是（）

（1）/A与/I是同位角；（2）NA和是同旁内角；（3）/4和/I是内错角；（4）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所

截.也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线.

解：(1)NA与N1是同位角，正确，符合题意；

(2)/A与N2是同旁内角.正确，符合题意；

(3)N4与N1是内错角，正确，符合题意；

(4)/I与/3不是同位角，错误，不符合题意.

故选：C.

【点拨】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，

应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确

定这两个角的位置关系.

类型三、平行线的判定证明★★求角度

^^3.如图，直线C。、所交于点O,0A,分别平分/C0E和NDOE,已知

Zl+Z2=90°,且N2:N3=2:5.

(1)求ZBO歹的度数；

(2)试说明ABCD的理由.

【答案】(1)/30/的度数为140。(2)见分析

【分析】(1)根据角平分线的定义推出N2+NAOC=90。，再根据对顶角性质求解即可;

(2)结合等量代换得出4=/AOC,根据“内错角相等，两直线平行”即可得解.

(1)解：-：0A,08分别平分/COE和NDOE,

AZAOE=ZAOC=-ZCOE,Z2=ZBOE=-NDOE,

22

,?ZCOE+ZDOE=180°,

N2+ZAOC=90°,

ZCOE=Z3,

：.ZAOC=-Z3,

2

Z2+-Z3=90°,

2

N2:N3=2:5,

/.Z3=-Z2,

2

Z2+ix-Z2=90°,

22

/2=40°,

AZ3=100°,

ZBOF=Z2+Z3=140°；

(2)解：Zl+Z2=90°,N2+ZAOC=90°,

Z1=ZAOC,

ABCD.

【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质，熟记平

行线的判定与性质是解题的关键.

举一反三：

【变式】如图AF与8。相交于点C,且CD平分/EC?求证：AB//CE.

请完成下列推理过程：

证明：'：CD平分NECF

ZECD=()

•:/ACB=/FCD()

/.ZECD=ZACB()

'：ZB=ZACB

—()

AB//CE().

【答案】ZFCD-,角平分线的定义；对顶角相等；等量代换；ECD；等量代换；同位

角相等，两直线平行

【分析】首先根据角平分线的定义及对顶角的性质，可证得再根据N

B=ZACB,即可证得N8=NEC。，最后根据平行线的判定定理即可填得.

解：平分NECF

/ECD=/(角平分线的定义)

NACB=/BCD(对顶角相等)

NECD=/ACB(等量代换)

,?NB=NACB

：.ZB=ZECD(等量代换)

(同位角相等，两直线平行).

【点拨】本题考查了角平分线的定义、对顶角的性质、平行线的判定定理，结合题意和

图形证得是解决本题的关键.

C能动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中/A=

30°,ZB=60°,ZD=ZE=45°.

(1)若/8。=150。，求/ACE的度数；

(2)试猜想N8CO与/ACE的数量关系，请说明理由；

(3)若按住三角板A8C不动，绕顶点C转动三角板。CE,试探究当C£)〃AB时，ZBCD

等于多少度，并简要说明理由.

图①备用图1备用图2

【答案】(1)30。(2)/38+NACE=180。；理由见分析(3)当NBCD=120。或60°

时，CD//AB.理由见分析

【分析】(1)依据/BCD=NACB+/ACr)=90o+NACD,即可得到/BCZH/ACE的度

数；

(2)依据/BCO=NACB+NA(7。=90。+NACO,即可得到N8CD+NACE的度数；

(3)分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当/8CO等于120。或60。时，

CD//AB.

(1)解：VZBCD=ZACB+ZACD=90°+ZACD,

：.ZBCD+ZACE

=9Q°+ZACD+ZACE

=90°+90°

=180°

VZBC£)=150°,

ZACE=180°-150°=30°.

(2)ZBC£)+ZACE=180°,理由如下：

/BONACB+NA0)=90。+NACD

ZBCD+ZACE

=90°+ZACD+ZACE

=900+90°

=180°

(3)当/BCQ=120。或60。时，CD//AB.

如图1所示，根据同旁内角互补，两直线平行,

当/8+/3(7。=180。时，CD//AB,

此时22。。=180°—/8=180°—60°=120°；

如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，

当N3CZ)=NB=60。时，CD//AB.

综上所述，NBCD=60。或120°.

【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理,

并且能够准确识图，是解题的关键.

举一反三：

【变式】完成下面证明

如图，已知在同一平面内的三条直线a,b,c,a±b,a±c；求证：b//c.

证明：-：a±b

.•.Zl=90°()

同理/2=90。

；.()=()

：.b//c.().

【分析】由垂直的定义，得到/1=90。，然后由同位角相等，两直线平行，即可得到结

：.Z1=9Q°（垂直的定义）

同理/2=90。

：.b//c.（同位角相等两直线平行）

【点拨】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到Nl=

Z2

类型四、平行线的性质与判定＞♦»证明★★求角度

《^5.如图，Zl+Z2=180°,ZB=Z3.

(1)求证：DE//BC；

(2)若/C=76。，ZAED=2Z3,求NCEF的度数.

【答案】（1）见分析（2）66°

【分析】（1）由已知条件可证得〃麻，从而有NB=NEFC,则得N3=/EFC,得

证DE〃BC；

（2）由（1）得DE〃BC,利用两直线平行，同旁内角互补可求解.

解：（1）证明：Zl+Z2=180°,22=24,

:.AB//EF,

:./B=/EFC,

ZB=Z3,

.\Z3=ZEFCf

:.DE//BC；

(2)解：DE//BC,NC=76。，

.-.ZC+Zr)EC=180o,ZAED=ZC=16°,

ZAED=2Z3,

/.Z3=38°

ZDEC=180°-ZC=104°,

/.ZCEF=ZDEC-Z3=104°-38°=66°.

【点拨】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性

质并灵活运用.

举一反三：

【变式1】如图，已知点区尸在直线相上，点G在线段8上，ED与FG交于点H,

/C=ZEFG,ZCED=ZGHD.

(1)求证：CE〃GF；

(2)试判断/4ED与一。之间的数量关系，并说明理由；

⑶若N£7m=88。，/。=28。,求/4£^的度数.

【答案】(1)证明见分析；(2)NAED+ZD=180。，理由见分析；(3)116。

【分析】(1)依据同位角相等，即可得到两直线平行；

(2)依据平行线的性质，可得出//G0=NEFG,进而判定ABCD,即可得出

ZAED+ZD=180°；

(3)依据已知条件求得NCG厂的度数，进而利用平行的性质得出/CE/的度数，依据

对顶角相等即可得到AAEM的度数.

解：(1)证明：NCED=NGHD,

.-.CE//GF-,

(2)解：ZAED+ZD=180°;

理由：CE//GF,

:.NC=NFGD,

QNC=NEFG,

:.ZFGD=ZEFG,

:.AB//CD,

.-.ZAED+ZD=180°；

(3)解：-NGHDuZEHFugg。,ZD=28°,

ZCGF=ZGHD+Z£>=88°+28°=116°,

又.CE//GF,

.-.ZC+ZCGF=180°,

.-.ZC=180°-116°=64°,

又.AB//CD,

:.ZAEC=ZC=64°,

ZAEM=180°-64°=116°.

【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判定两

直线的位置关系，平行线的性质是由平行线关系来寻找角的数量关系.

【变式2】填空并完成以下证明：如图，己知/l+N2=180。，N3=NB,试判断—4£D

与NC的大小关系，并说明理由.

解：与NC的大小关系是

证明：VZ1+Z2=18O°(已知)

ZL=ZDFH()

___________=180°

/.EH//AB()

Z.Z3=ZADE()

---Z3=ZB

AZB=ZADE()

//BC()

AZAED=Z.C()

【答案】ZAED=ZC-,对顶角相等；ZDFH+Z2-,同旁内角互补，两直线平行；两直

线平行，内错角相等；等量代换；DE-,同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相

等

【分析】由Nl+N2=180。，ZX^ZDFH,得到求得ZB=ZADE,得到

DE//BC,即可求得/AEE>=NC

解：/4ED与NC的大小关系是/AED=NC.

证明：VZ1+Z2=18O°(已知)

ZL=ZDFH(对顶角相等)

ZD/7/+Z2=180°

/.EH//AB(同旁内角互补，两直线平行)

：.Z3=ZADE(两直线平行，内错角相等)

N3=NB

：.ZB=ZADE(等量代换)

：.DE//BC(同位角相等，两直线平行)

；.ZAED=NC(两直线平行，同位角相等)

【点拨】本题考查根据平行线判定与性质证明，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的

关键.

©>6.有两个/AO3与NEDC,/EDC保持不动，且N£DC的一边CD〃AO,另一

边。E与直线。3相交于点?若NAC®=40。，ZEDC=55°,解答下列问题：

(1)如图，当点E、0、。在同一条直线上，即点。与点尸重合，求/30E的度数.

(2)当点E、0、。不在同一条直线上，直接写出的E的度数.

E

B

【答案】(1)15。(2)15。或95。

【分析】(1)根据平行线的性质，即可求NAQ£=NO=55。，再根据NAQB=40。即可求

(2)当点区。、。不在同一条直线上时，过尸作G分AO,根据平行线的性质，即可得

NAO£=NO=55。，ZGFB=ZAOB=40°,再根据NBFE=NGFE—NBFG或

ZBFE=Z.GFE+ABFG即可求.

(1)解：VCD//AO,且N£DC=55。，

JZAOE=ZD=55°,

ZAOB=40°,

・・・ZBOE=ZAOE-ZAOB=55°-40°=15°；

(2)①如图，当点E、O、。不在同一条直线上时，过耳作G尸AO,

•:CD//AO,

J.GF//CD,

：.ZGFE=ZD=55°,ZGFB=ZAOB=40°,

・•・ZBFE=ZGFE-ZBFG=55°-40°=15°,

②如图，当点E、O、。不在同一条直线上时，过方作G尸AO,

CD

■:CD//AO,

GF//CD,

：.ZGFE=ND=55°,ZGFB=ZAOB=40°,

NBFE=ZGFE+/BFG=55°+40°=95°,

故答案为：15。或95°

【点拨】本题考查了平行线的性质的运用，正确作出平行线是解决问题的关键.

举一反三：

【变式1］（1）【问题】如图1,若AB〃CD,ZBEP=25°,ZPFD=30°.则/EPF=

（2）【问题归纳】如图1,若AB〃C£）,请猜想N3EP,ZPFD,NEP尸之间有何数量

关系？请说明理由；

（3）【联想拓展】如图2,AB//CD,点P在AB的上方，问NPE4,NPFC,乙EPFZ

间有何数量关系？直接写出结论.

P

［答案】（1）55。；（2）ZEPF=NBEP+NPFD,理由见分析；（3）ZPFC=ZPEA+ZFPE.

【分析】（1）过点尸作尸。〃A8,根据平行线的性质可得NEPQ=/PFD=30。，

NBEP=NEPQ=25°,进而可求解；

（2）借助（1）的思路即可证明N£PF=NB£P+NP£D；

⑶过尸点作PNAB,则PNCD,根据平行线的性质可得/PE4=NM>E,即可

得NFPN=NPEA+NFPE,结合PNCO可求解.

解：（1）如图1,过点尸作PQ〃AB,

：.CDPQ.

：.NFPQ=NPFD=30°

XVPQ//AB,

.・.ZBEP=ZEPQ=25°,

：./EPF=ZEPQ+ZFPQ=250+30°=55°；

故答案为：55°.

(2)猜想：ZEPF=ZBEP+ZPFD,理由如下:

如图1,过点尸作R2〃A5,

：.CDPQ.

：.ZFPQ=ZPFD

XVPQ//AB,

：./BEP=/EPQ,

ZEPF=ZEPQ+ZFPQ=Z.BEP+ZPFD.

(3)/PFC=NPEA+/FPE,

理由：如图2,过2点作/WAB,则尸NCD,

图2

：.ZPEA=ZNPE,

・・・ZFPN=ZNPE+ZFPE,

・•・ZFPN=NPEA+NFPE,

,:PNCD,

:・/FPN=ZPFC,

：.ZPFC=/PEA+/FPE.

【点拨】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关

键.

【变式2］如图，已知AB〃CD,ZE4E=30°,ZDCE=6O°fEF、EG三等分/AEC(即

ZAEF=ZFEG=ZGEC).

(1)求上4£F的度数；

（2）EF〃AB吗?为什么？

【答案】（1）-30。；（2）£F〃AB,理由见分析.

【分析X1）过点E作EF'//AB,根据AB〃C£>可知ZF'EA=30°,EF'//CD,AF'EC=60°,

从而可求得NAEC=90。，再根据NAEF=/EEG=NGEC可求得—AEF的度数；4

（2）由（1）可知ZFE4=30。，ZBAE=30°,可得EF〃AB.

解：（1）过点E作EF'〃AB,则44E=N歹E4=30。，

AB//CD,

：.EF7/CD,

：.ZDCE=ZFrEC=60°

又NAEC=ZF'EA+ZF'EC,

/.ZAEC=90°,

,:EF、EG三等6NAEC(即/AEF=NEEG=NGEC)

Zz4EF=30°.

(2)由(1)知Z4EF=30。，

/.ZAEF=ZBAE,

：.EF//AB.

【点拨】本题考查平行线的性质与判定，关键在于通过构造辅助线，转化角度之间的关

系.

类型五、平行线a»平行线之间距离>♦»*证明★★求角度

©^7.如图，直线与分别相交于点A,8,且AC，AB,AC交直线6于点C.

2

(1)若Nl=70。，求N2的度数；

(2)若AC=3,AB=4,BC=5,求直线4与6的距离.

12

【答案】(1)20。；(2)y

【分析】(1)依据直线2〃13,ACXAB,即可得到/2=90。一/3=20。；

(2)设三角形ABC中BC边上的高为"依据？AAACMLBC/,即可得到

22

ABAC3x412

BC一丁。，

(1)解：因为a//6,XI=10°

BC

所以/3=/1=70°,

又因为AC_LAB,

所以/2+/3=90。，

所以/2=90°-70°=20°

(2)设三角形ABC中3c边上的高为"

因为5c边上的高线垂直于5c

又因为。//6，点A在直线。，

所以3c边上的高即为直线。与人的距离,

因为LAB-AC=LBC-/7,

22

所以直线。与b的距离为

【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条

平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离.

举一反三：

【变式】如图，已知/C+NCED=180°,NC=NEDF,AF1DE于点G,DH_LBC于

H,AG=DH=3.

(1)求证：DE//BC；

(2)求点A到BC的距离.

【答案】(1)见分析(2)6

【分析】(1)根据已知求证NCED+/£Z*=180。即可；

(2)根据平行公理得出Ab」BC,从而得出"即为点A到8c的距离，再根据线段的

和即可得出答案.

解：(1)VZC+ZCFD=180°,ZC=ZEDF,

：.ZCfD+ZEDF=180°,

DE//BC；

(2)AFYDE,DE//BC

AFIBC,

二AF即为点A到8C的距离，

AFIBC,DH1,BC,

：.DH=GF=3,

:.AF=AG+GF=6,

故点A到BC的距离为6.

【点拨】本题主要考查平行线的判定，点到直线的距离，平行线间的距离，熟知平行线

的判定定理以及平行线间距离处处相等时解题的关键.

类型六、平行线>♦»平移证明★★求线段长

©>8.如图，在正方形网格中有一个ABC,按要求进行下列作图.

(1)过点B画出AC的平行线；

(2)将2ABe进行平移，使点A经平移后所得的图形是点。，点B与点E是对应点请画

出平移后得到的.DE尸.

【答案】(1)见分析(2)见分析

【分析】(1)根据平行线的性质结合网格即可求解;

(2)根据平移的性质找出对应点即可求解.

(1)解：(1)如图所示，直线即为所求；

(2)解：如图所示，DE尸即为所求.

【点拨】本题考查了平移变换的性质，平行线的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题

的关键.

举一反三：

【变式】如图，已知三角形4见，AC是的平分线，平移三角形ABC,使点C移

动到点。，点8的对应点是E,点A的对应点是尸.

(1)在图中画出平移后的三角形EED；

(2)画出点A到线段的垂线段A0；

(3)若/ZMB=70。，所与相交于点则°,ZDHF=

【答案】(1)见分析(2)见分析(3)35°110°

【分析】(1)根据要求画出图形即可；

(2)根据三角形的高的定义画出图形即可；

(3)利用角平分线的定义，平行线的性质求解即可.

解：(1)如图，三角形EED即为所求；

FA

(2)如图，线段A〃即为所求；

(3)AC是NIMB的平分线，

ZDAC=-ZDAB」x70。=35。，

22

又,FEAB,

:.ZDHE=ZDAB=10°,ZFDA=ZDAC=35°,

ZDHF=180°-ZDHE=180°-70°=110°.

故答案为35。，no。

【点拨】本题考查平移变换，角平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键掌握

平移变换的性质.

类型七、认识三角形三角形的边>♦»求构成条件会食求取值范围

O.已知三角形两边的长分别是4cm和9cm

(1)求第三边的取值范围；

(2)若第三边的长是偶数，求第三边的长；

(3)求周长的取值范围(第三边的长是整数).

【答案】(1)第三边的取值范围是5cm<X<13cm(2)第三边的长为6cm,8cm,10cm,

12cm.(3)18cm〈周长<26cm

【分析】(1)根据三角形两边之和大于第三边和三角形两边之差小于第三边即可得到解

答；

(2)根据第三边的取值范围选出偶数即可；

(3)利用第三边的取值范围再加上已知的三角形两边长即可求得.

解：(1)设第三边长为xcm,

9-4=5(cm),

9+4=13(cm),

・・・第三边的取值范围是5cm<x<13cm；

(2)由题意可知，其中偶数为6,8,10,12,

二.第三边的长为6cm,8cm,10cm,12cm.

(3)周长=4+9+第三边，

*.*5cm<第三边<13cm,

；.]8cm〈周长<26cm.

【点拨】本题考查了三角形三边的三边关系，解决此题的关键是掌握第三边的范围：大

于已知两边的差，小于两边的和.

举一反三：

【变式1】如图，在△8C。中，BC=4,BD=5.

(1)求C。的取值范围；

(2)若ZA=50°,ZBDE=l30°,求/C的度数.

【答案】(1)1<C£><9(2)80°

【分析】(1)三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，据此可得。

的取值范围；

(2)先根据平行线的性质，得到NAM的度数，再根据三角形外角性质，即可得到/

C的度数.

(1)解：:△BCD中，BC=4,BD=5,

.,.5-4<C£><5+4,

；.CQ的取值范围是：1<C£><9；

(2)解：'：AE//BD,

：.ZAEF^NBDE=130°,

NAEP是AACE的外角，

NC=ZAEF-ZA^130°-50°=80°.

【点拨】本题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质和三角形外角的性质，解题

时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边.

【变式2]已知在，AFC中，NA、NB、NC的对边分别为a、b、c.

(1)化简代数式\a+b-c\+\b-a—c|=.

(2)若N3=NA+18。，ZC=ZB+18°,求ABC的各内角度数；

【答案】(1)2。(2)42°,60°,78°

【分析】(1)根据三角形三边关系，即可去掉绝对值符号，再进行整式的加减运算即可

求得；

(2)首先把/B=/A+18。代入/C=/3+18。，可得/C=NA+36。，再根据三角形内角

和定理，即可求得.

(1)解：在qABC中，NA、NB、NC的对边分别为。、b、c,

:.a+b>c,b-a<c,

—c>0,b—a—c〈0,

Q+Z7—c|+1Z?—a—c|

=a+Z?—。—(/7一〃—c)

=a+b-c-b+a->rc

=2。，

故答案为：2a•,

(2)解：ZB=ZA+18。，ZC=ZB+18°,

.•.ZC=ZA+18°+18°=ZA+36°,

ZA+ZB+ZC=18O°,

.*.ZA+ZA+18°+ZA+36°=18O°,

解得NA=42。，

故/3=42。+18。=60。，ZC=60°+18°=78°,

故ABC的各内角度数分别为42。，60°,78°.

【点拨】本题考查了三角形三边的关系及三角形内角和定理，整式的加减运算，熟练掌

握和运用三角形三边关系及三角形内角和定理是解决本题的关键.

类型八、认识三角形>♦>*三角形三条重要线段边长★★面积(周长)角度

^^10.如图，已知AD、AE分别是ABC的高和中线AB=9cm,AC=12cm,

3C=15cm,ABAC=90°.试求：

(1)的面积；

(2)AD的长度；

(3)/XACE与一池£1的周长的差.

【答案】(D27cn?；⑵《cm；(3)3cm.

【分析】⑴先根据三角形面积公式计算出%因=54加2,然后利用钻是边BC的中

线，得到S.BE=2S.8C；

(2)利用面积法得到［AO-BCulAaAC,即可求出AD的长；

22

(3)由ZVICE的周长一ABE的周长=AC-AB,即可求得答案.

(1)解：ABC是直角三角形，ABAC=90°,AB=9cm,AC=12cm,

2

SMJiC=—x9xl2=54(cm),

AE是BC上的中线,

:.BE=EC,

(2)解：za4c=90°,AT＞是BC上的高,

:.-ADBC=-ABAC,

22

(3)解：AE是BC边上的中线，

:.BE=CE,

ZkACE的周长——ABE的周长=AC+AE+CE—(AB+3E+AE)=

AC-AB=12-9=3(cm),

即/XACE和dABE的周长差是3cm.

【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两

部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键.

举一反三：

【变式1】如图，在ABC中，AE是边2C上的高.

⑴若AD是边上的中线，AE^5cm,5ABe=30cm+求DC的长.

(2)若A。是「ABC的角平分线，4=40。，ZC=50°,求ND4E的大小.

DE

【答案】(1)CD=6cm(2)NZME=5。

【分析】(1)利用三角形的中线平分三角形面积得出Z3c=15cm2,进而利用三角形

面积得出8的长.

(2)依据4=40。，ZC=50°,可知为直角三角形，再根据AD为中线，即可

得到△ABD为等腰三角形，即可得到4DE的度数，进而得出ZZME的度数.

解：（1）AD,AE分别是边3c上的中线和高，AE=5cm,5ABC=30cnr,

SADC=15cm,

:.—xAExCD=15,

2

—x5xCD=15,

2

解得：Cr）=6（cm）；

（2）ZB=40°,ZC=50°,

ABAC=90°,

又・A。为N84C的角平分线，

.-.ZZMC=45°,

又iAE_L3C,ZC=50°,

ZE4c=40。,

:.ZDAE=ZDAC-ZEAC=5°.

【点拨】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出

SAWC是解题关键.

【变式2】按下列要求画图并回答问题：

（1）在图1中将ABC的面积分成1：3的两部分，并描述你的作法；

图1

（2）在图2中，完成以下问题:

图2

①作ABC的高3。，CE；

②比较ZABD/ACE的大小（用填空）；

③请用无刻度的直尺（只能画直线）作出2C边上的高AF,描述他的作法.

【答案】（1）作图见分析，作法：找到线段2C的四等分点E,连接AE；（2）①作图见

分析；②二;③见分析，延长BO,CE交于点、0,连接。4并延长，交3c于点尸，则AF为

BC边上的高.

【分析】(1)若将,ABC的面积分成1：3的两部分，找到BC的四等分点，利用三角形

面积计算公式即可解答；

(2)①根据高线的作法作图即可；

②根据三角形内角和定理可得答案；

③根据三角形的三条高线交于一点，先作出交点，进而可得高线

(1)解：如图所示，

图1

13

找到线段BC的四等分点E,连接AE,则53橱SACE=^S

・q•q—i-3

(2)解：①作图如下：

如图，BD,CE分别为，ABC边AC和边A3上的高，

作法：过点2作C4的垂线交C4的延长线于点。，过点C作54的垂线交瓦1的延

长线于点E,垂足分别为点。和点E,线段8D,CE即为所求；

②：NBDA=NCEA=90。,ZBAD=NCAE,

：.ZABD^ZACE,

故答案为：=；

③如图，延长8£>,CE交于点。，连接Q4并延长，交BC于点F,则"为BC边上

的高.

理由：•..点。为，ABC边AC和边A2上的高线的交点，

高线钻过点O,

连接。4并延长，交于点尸，AF为2C边上的高.

【点拨】本题考查了三角形的面积，三角形高线的作法和性质，三角形内角和定理等知

识，掌握三角形三条高线交于一点(即垂心)是解题的关键.

类型九、认识三角形”**三角形内角和“》♦平行线★★角平分线

▼11.(1)如图1,三角形ABC中，试用平行线的知识证明/A+/8+/C=180。；

(2)如图2