浙教版八年级数学下册复习提优训练：二次根式分母有理化（解析版）

八年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（浙教版）

专题02二次根式分母有理化

【典型例题】

1.（山东中区•八年级期中）阅读下面式子：

1lx（V2-l）_1lx（V3-V2）「厂i1X（75-2）「

—j=—=~r~r—\（—\=应-L~r—r=T~r-----\T~r-----\«-叵，~r-----=T~F------\T~r----\=亚-2

V2+1（夜+1）（后-1）V3+V2（有+2）（若-2）V5+2（有+2）（君-2）

根据以上解法，试求：

（1）-^―~/=（"为正整数）的值；

7n+1+7n

11111

⑵17&+石京+西石+…+标+闻+屈+皿的值

【答案】（1）而1-6；（2）9

【解析】

【分析】

（1）由题意根据材料所给出的解法进行分析计算求解即可；

（2）根据题意直接依据材料所给出的解法得出规律进行计算即可.

【详解】

皿/＜、1y/n+1—y/ni-------[―

解：（1）,-----_T==,------『-1=-L=+；

\jn+l+yjn（＜»+1+V«）（V«+1-A/«）

]1]]]

1+V2+V2+V3+73+5/4++A/98+A/99+V99+V100

=V2-1+V3-V2+---+A/99-A/98+A/T00-A/99

=-1+10

=9.

【点睛】

本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键.

【专题训练】

一、解答题

1.（上海徐汇・八年级期末）计算：拒X底+播一宿•

【答案】3A/3+2A/6-4

【解析】

【分析】

先根据二次根式的乘法、分母有理化和完全平方公式化简，再计算加减即可.

【详解】

解：原式=2国有+1-5+2«,

=3若+2而-4.

【点睛】

本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和法则.

2.（上海普陀•八年级期末）计算：）（而'一1）+/广一*.

V3+V2V8

【答案】6-2^2

【解析】

【分析】

先利用二次根式的乘法法则运算，再分母有理化，然后化简后合并即可.

【详解】

解：原式=J3xl2_石+石

=6-2&.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则.

3.（上海市莘光学校八年级期中）计算：y/12-一（后+布）.

2-V3

【答案】-273-4

【解析】

【分析】

先计算二次根式的乘法与除法，再去括号，合并同类二次根式即可.

【详解】

解：V12-一弓=-应（疯？+遍）

=2A/3-(2®3)-1-273

=-273-3-1

=-2^-4

【点睛】

本题考查的是二次根式的混合运算，掌握"二次根式的加减乘除运算的运算法则与混合运算的运算顺序〃是解

本题的关键.

12

4.（上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）计算:-A/3(A/3-V6)+(1-A/3)

A/2-I

【答案】4A/2-2A/3+2

【解析】

【分析】

先分母有理化，同步进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可.

【详解】

解:———石(目-向+(1-后

A/2-I

=严蕊可(.9+㈠9

=A/2+1-3+3-\/2+4-2^3

=4忘-2后+2

【点睛】

本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的运算顺序与运算法则是解题的关键.

5.（江西乐平•八年级期中）阅读下列解题过程，并解答问题.

①一户厂=勺后厂=也-贬

V3+V2(V3+V2)(V3-V2)(A/3)2-(V2)2

②而-而;而（而一厢）（而+而）1

]x（而+9）-（7iT+Vio）'

1

（1）直接写出结果

y/n+1+y[n

（2）化简：V27I+^772+V47V3+-+^Ootv99；

（3）比较大小：（2017-J2016与J2016-J2015.

【答案】（1）VW+T-A/W；（2）9；（3）J2017-02016<J2016-J2015

【解析】

【分析】

（1）根据所举例子，分子、分母都乘以而斤-血，化简即可；

（2）根据（1）中结论计算即可；

（3）把所给代数式式的分母看做是1,然后把分子、分母都乘以分子的有理化因式化简后比较;

【详解】

1Jn+l-GJ〃+l-册

解:⑴4+1+”=（附+人）（附一〃）二（内「（《『=附-而

（2）原式=拒-1+6-夜+/-昌+7100-799,

=-1+应-夜+6-6+/+-^/99+^/[00=7100-1=9；

（3）V2017-V2016=.1.,A/2016-V2015=.1.,

V2017+V2016J2016+J2015

[1

J2017+J2016J2016+J2015'

J2017-V2016<72016-V2015

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公

式及运算法则对二次根式的运算同样适应.

6.（全国•八年级期中）阅读下列材料，然后回答问题

在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如翥q

这样的式子，我们可以将其分母有理化:

2=2x（百-1）=2x（6_l）=2（君-1）=石_]

石+「函+1）函-1广（后-F―2

223-1（后-肝_（昌i）（舁1）」

还可以用以下方法分母有理化:

73+1石+1A/3+I-A/3+I-A/3+I-.

2

⑴请用不同的方法分母有理化:有+也;

⑵化简：号r+武石+己方++.

【答案】⑴逐-石，见解析

（2）1

【解析】

【分析】

2（75-73）5-3_（如一石）（如+6）

（1）法一:;法二:,进行求解即可;

原双一（6+新函-亚有+百一75+73

6-1A/5-A/3币-非3-近

（2）：原式二（百+1）阿-1）+旭+6）旭-@+（屿+石）（近-石，（3+⑺（3-⑺化简求解即可•

（1）

2

解：法一：再不

2（75-V3）

一（石+6）（6-&

=«-6；

法二:

5-3

一国6

（若一6）（。+6）

一A/5+A/3

=亚-出；

⑵

*x/^—]y/s5/3-"x/^3—

解：原式=（6+1）（石-「（1+⑹（逐-@+（近+逐）（S-灼+（3+⑺（3-⑺

A/3-I垂4-石3-77

=------1---------1---------1------

2222

=1.

【点睛】

本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法运算，平方差公式等知识.解题的关键在于正确的将

分式中的分母有理化.

2

7.（湖南双峰•八年级期末）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还

国1

需要将其进一步化简：2X(V3-1)=2G/3-1)^^_e以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

A/3+I(V3+1)(73-1)(V3)2-12

也可以用如下方法化简：-r3—=^1=(#2T2"+?回1)=石_1

V3+1近+1V3+1V3+1

⑴请用两种不同的方法化简7/后；

⑵化简：看+…+&+S&T.

【答案】⑴6-6

mJ2〃+1—1

2

【解析】

【分析】

(1)根据所提供的的两种方法计算即可；

(2)根据题干提供的方法变形计算即可;

(1)

22X(辰扬_r-_r-

法一:

也+追一(舟向萌_®一

抄一2=5-3_(®2—(道)2_(若+百)(若一道)=六r-

=

•ZA—•:-—一产~'F产—YJ-YD»

V5+V3V5+V3V5+V3V5+V3

⑵

盾一(百-1),(小-后),(E后,,Q2n+172n-l)

八-(^+1)(73-1)(V5+73)(75-V3)而+病丽-&)Q2n+1+以-1)(3+1-4-1)

=1X(-1+V3-A/3+V5-V5+A/7----+V2/I+1)

J2/+1-1

2

【点睛】

本题考查的是分母有理化，关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.

8.(湖南怀化•八年级期末)阅读并解答问题:

72-1

1=72-1

V2+1(V2+1)(V2-1)

173-72

=5/3-A/2

A/3+V2(V3+>/2)(A/3-A/2)

=2_«

2+石(2+⑹(2一司

上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：

⑴将在士的分母有理化；

⑵已知"UFb=h,求j的值；

⑶计算-T^—+L1L+…+~j=——1=+1-t=

V2+16+及V99+V98V100+V98

【答案】⑴百-2

（2）277

（3）4+3布一:血

【解析】

【分析】

（1）根据所给"分母有理化"的规律即可求解；

（2）根据所给"分母有理化"的规律分别求出。和b的值，再相加即可.

（3）根据所给“分母有理化"去分母，再进行加减混合计算即可.

⑴

华1____耳-2____=亚_2

解：笠+2一（石+2）（0一2）一''

⑵

1#i-瓜=%11近+而二

解：,一百南一（7+甸（6一网一"‘一"二百一（屿_旬（6+旬一

••67+Z?—y/y-y/3+•

（3）

解—----1----1------1---1-----1-------1-----1-------

V2+16+收回+廊VWO+A/98?

=^-1+V3-A/2+---+V99-A/98+|（-7100-A/98）,

=-1+A/99+-V100--798,

22

=-1+5+3>/11-->/2,

2

=4+3A/TT--V2.

2

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算，利用平方差公式分母有理化，读懂题干，掌握分母有理化的方法和规律，

注意分母中被开方数差1与被开方数差2的不同结果是解答本题的关键.

9.（湖南岳阳•八年级期末）王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两

道题和她自己编写的一道题.先阅读，再回答问题.

（1）小青编的题，观察下列等式：

百M（0+1）（至1）=（可_仔=3一1

直接写出以下算式的结果:

（〃为正整数）

A/7+A/5+1+—1

（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：

（肉1『=4+2后，（肉可=8+2厉，（布+时=a+6+2疝

再根据平方根的定义可得

^4+2-\/3=+1，+2A/15=yfs+5/3'Ja+6+2jab=\[a+s[b（a>0,>0）

直接写出以下算式的结果：

y）6+2A/5=,64-2有=，+4A/3=:

（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：

f+厂二广+J+2+2_}.J12+2&T

1^73+1V5+V3<7+V5V9+V7+V9J

【答案】（1）币-亚,而TT-历（"为正整数）；（2）75+1,A/3-I,2+6；⑶10

【解析】

【分析】

（1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可；

（2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可；

（3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简42+2而，最后利用平方差公式计

算即可.

【详解】

2（77-^）

=不-非，

解:⑴后3

2（j2〃+l-12〃-1）

2

J27z+1+J2w-1（J2〃+1+J21）（J2〃+1-A/2〃-1）

2（以+1-<2n-1）

A/2H+1-y/2n-1.

2〃+l-2〃+l

故答案为：近-0，^/2^i-^/2^T（〃为正整数）

（2）J6+26=灼、26+F=,（6+1）2=5+1,

，4-28={（可-2&+仔=/&可=^3-1,

77+473=上+4舟（⑹2=*2+6j=2+亚

故答案为：A/5+I,6-1,2+5/3

（3）{—；=--F—j=—7=+—j=—1=+—j=—1=+—；=—7=]•A/12+2\/11

<v3+lV5+V3V7+V5V9+V7V11+V9）

=（百-1+君-石+近_占+囱-6+而-码（而+1）=（而_1）（而+1）=10

【点睛】

本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，掌握"分母有理化，二