直线与平面垂直-高一数学知识梳理（人教B版）原卷版

第十一章立体几何初步

11.4空间中的垂直关系

11.4.1直线与平面垂直

知识梳理

1.直线与直线所成的角

一般地，如果。，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与6平行或重合的

直线"，b',则相与〃所成角的大小，称为异面直线。与b所成角的大小.

规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°,两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.特别

地，空间中两条直线/,加所成角的大小为90。时，称/与根垂直，记作/_L根.

2.直线与平面垂直的定义

文字语言图形语言符号语言

如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直1

lA_a=VmUa,

线/与平面a互相垂直，直线/叫做平面a的垂线，平面

7lA_m.

a叫做直线/的垂面，它们唯一的公共点尸叫做垂足

3.直线与平面垂直的判定定理

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线与一个平面内的两

条相交直线垂直，则这条直线与

这个平面垂直

4.直线与平面垂直的性质定理

文字语言如果两条直线垂直于同一个平面，那么两条直线平行

/Xa

符号语言，=/〃m

im

图形语言匚7

常见考点

考点一判断线面垂直

典例L以下哪个条件能判断直线/与平面a垂直（）

A.直线/与平面a内无数条直线垂直B.直线/与平面a内两条平行直线垂直

C.直线/与平面a内两条直线垂直D.直线7与平面a内两条相交直线垂直

变式11.一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.

其中能保证该直线与平面垂直的是

A.①③B.②C.②④D.①②③

变式12.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（）

A.垂直B.斜交C.平行D.在平面内

变式13.已知相，“为两条不同的直线,%尸为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

A.mua,nua,mH/?,〃〃(3aII(3B.n/1a=mLa

C.a11/3,mua、nu(3=mlInD.m1a,niLnnn//a

考点二证明线面垂直

典例2.如图，在正方体ABCD-A4G2中,E,尸分别是棱8©,耳8的中点，求证：C尸，平面

EAB.

变式21.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A3CO是菱形，且B4=PC,判断直线AC与平面P3O

是否垂直，并说明理由.

变式22.如图，在三棱柱ABC-AAC中，BCG为正三角形，ACLBC,AC；=2血,AG=胴=2，

P为B用的中点，证明：CG，平面AGP

变式23.如图，在四棱锥P-4BCD中，ABCD,ADLCD,AD!IBC,PA^AD^CD=2,BC=3.E

PF1

为P。的中点，点F在PC上，5.­=-,求证：CD,平面01D

D

BC

考点三根据线面垂直证明线线垂直

典例3.所有棱长均相等的三棱锥称为正四面体，如图，在正四面体A-BC。中，求证：ABLCD.

A

变式31.如图所示，ABC在平面a内，/B4C=90。且于A,求证：ABLPC.

变式32.如图所示，?是边长为1的正六边形ABCDE/所在平面外一点，PA=1,P在平面ABC内

的射影为斯的中点。.证明户.

变式33.如图，在三棱锥"BC中，CDLAB,垂足为D,P。，底面ABC,垂足为0,且。在CD

上，求证：ABYPC.

考点四根据线面垂直确定点所在位置

典例4.如图，四棱柱ABCD-AAG2的底面四边形ABCD是菱形,且ZC,CB=ZQCD=ZBCD=60°,

当岸■的值为多少时，4^平面和8。？

变式41.如图，在单位正方体AB。-A片CQ中，瓦尸分别是的中点.

(1)求证：瓦V/平面第力2；

(2)在线段AB上是否存在点G,使EG,平面43和？若存在，求点G到平面A3CD的距离；若不

存在，请说明理由.

变式42.如图，平行六面体4BC。-A0cQ的底面ABC。是菱形，且NC。/?==4BCD=。.

(1)求证：QC1BD.

CD

(2)当否的值为多少时，4^平面6瓦)？请给出证明.

变式43.如图1,在R/AABC中，ZC=90°,D,E分别为AC,AB的中点，点P是线段C。上的

一点，将A4DE沿DE折起到的位置，使如图2.

(1)证明：\F1BE.

(2)线段/?上是否存在点0,使AC,平面。EQ?若存在，求出笑的值；若不存在，说明理由.

巩固练习

练习一判断线面垂直

1.设/,加是两条不同直线，a,A是两个不同的平面，则下面命题正确的是（）

A.若/J_〃z,mlla,则/_LaB.若〃/£,a，/3,l_La

C.若mua,则/_LaD.若I工B,m±/3,m±a,则/_La

2.如图，正方形A5CO中，E,歹分别是BC,CD的中点，G是的中点，现在沿AE,Ab及

把这个正方形折成一个空间图形，使C,。三点重合，重合后的点记为“，那么，在这个空

A.AHLZkEFH所在平面B.所在平面

C.所在平面D.HGLZXAEN所在平面

3.已知直线a,b和平面a,下列推论错误的是（）

A.a±a,bua=aLbB.a//b,a_Lanb_L（z

C.aLb>b，a=alla或auaD.alia,bua=aHb

4.如图，将一张三角形纸片沿着8C边上的高AO翻折后竖立在桌面上，则折痕A。所在直线与桌

面a所成的角等于（）

A.150°B.135°C.90°D.60°

练习二证明线面垂直

5.如图，四棱锥P—A8CD的底面是矩形，平面ABC。，E,尸分别AB,P。的中点，且弘

=AD.

P,

(1)求证：/平面PEC；

(2)求证：AF±WPCD.

6.如图，在三棱台ABC—DEb中，平面8CFE，平面A8C,zACB=90°,BE=EF=FC=1,BC

=2.求证：B/，平面ACFD

7.如图所示，力以是圆柱的母线，48是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于4B的任意一点,

44=AB=2.求证:8。，平面AiAC.

8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PD,ABIICD,CD^AD,CD=2AB,点E为PC的中点,

且BE1平面尸CD.求证：CD,平面PAD；

练习三根据线面垂直证明线线垂直

9.如图，在直三棱柱A6C4SG中，ZBAC=90°,AB^AC,。是3C的中点，点E在棱85上

运动.证明：AD1C1E.

JT._

10.图1是一ABC,AC=2BC=6,ZACB=-,D、E分别是边AC、AB上的两点，且BC=3M,

TT

将.血＞沿中折起使得NADC=§,如图2,证明：图2中，ACVED.

E/—

11.已知圆柱的轴截面A3C。是正方形，点E在底面圆周上，AFX.DE,尸是垂足，求证：AFA.BD.

D

12.如图，已知在正方体ABC。-4月中，E为AG的中点.求证：CELBD.

练习四根据线面垂直确定点所在位置

13.如图，在正方体ABCD-A4G〃中，ADl]\AiD=E,CD,CiD=F.

(1)求证：EF±BD；

(2)在线段BG上，是否存在点a,使得平面沏？并说明理由.

14.如图，在四棱锥RWCD中，ABLAD,CD±AD,以，平面A3CD,PA=AD