有理数及其运算（解析版）-2024年七年级数学寒假提升学与练（北师大版）

专题01有理数及其运算

3®®®

A思维导图

r加法法则

r有理数的加法

加法运算律

减法法则

-有理数的减法

减法运算律

乘法法则

-有理数的乘法

乘法运算律

有理数的运算

除法法则

有理数的除法

除法运算律

乘方法则

有理数的乘方

乘方运算律

有理数的混合运算

科学记数法

A核心考点聚焦

1.正负数，相反意义的量.

2.求一个数的相反数，绝对值，倒数.

3.科学记数法表示大于1的数.

4.有理数的混合运算.

5.用数轴上的点表示有理数.

6.有理数运算的实际应用.

7.根据点在数轴上的位置判断式子的正负.

8.借着数轴化简绝对值.

9.绝对值非负性的应用.

10.分类讨论化简绝对值.

11.数轴上的动点问题中的追及问题.

12.数轴上的动点问题中的最值问题.

®a®®

一、有理数

i.正数和负数的概念

大于0的数叫做正数,在正数前面加负号叫做负数,一个数前面的号叫做它的符号.。既不

是正数也不是负数.0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数.

2.具有相反意义的量

一般地，对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为亚的，并用正数来表示,把与

它意义相反的量规定为负的,并用负数来表示.

3.有理数的概念

正整数、零和负整数统称整数;正分数和负分数统称分数;整数和分数统称有理数.

4.有理数的分类

①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类.

二、数轴

1.数轴的概念与画法

数轴的概念：规定了息点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数。，这个点叫做原点,②通常规定直线上从原点向右为正方

向，从原点向左为负方向;③选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右，每隔一个单位长度取

一个点，依次表示1,2,3,.......；从原点向左用类似的方法依次表示-1,-2,-3,.........

2.数轴上的点与有理数之间的关系

①每个有理数都可以用数轴上的二点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的二虎；

②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数。的点在原点的左边，与原点的距离是4个单位长度；

表示-a的点在原点的左边,与原点的距离是七个单位长度.

三、相反数

1.相反数的概念及表示方法

相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

相反数的表示方法：一般地，。和0互为相反数，这里的。表示任意一个数，可以是正数、负数,也可

以是雯.特别地，一个数的相反数等于它本身，这个数是雯.

2.相反数的性质

若a与b互为相反数，那么”+。=0.

3.多重符号的化简

与“+，,个数无关，有奇数个“，号结果为负，有偶数个“一”号，结果为正.

4.相反数的几何意义

从数轴上看，除。外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

四、绝对值

1.绝对值的定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|。|.

2.绝对值的性质

一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;。的绝对值是。.

3.绝对值的非负性

根据绝对值的非负性”若几个非负数的和为0,则每一个非负数必为0”,即若根|+|加=0,则|a|=0

且|切=0.

五、有理数的加法

1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法.

2.法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对

值.互为相反数的两个数相加得0;

（3）一个数同0相加，仍得这个数.

要点：利用法则进行加法运算的步骤：

（1）判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则.

（2）确定和的符号（是“+”还是“一”）.

（3）求各加数的绝对值，并确定和的绝对值（加数的绝对值是相加还是相减）.

3.运算律：

加法文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变

有理交换

符号语言

数加律

法运加法三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，

文字语言

算律结合和不变

律符号语言(4+b)+c=〃+(Z?+c)

要点：交换加数的位置时，不要忘记符号.

六、有理数的减法

1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：（-5）+?=7,求？

减法是加法的逆运算.

要点：（1）任意两个数都可以进行减法运算.

（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字（即数的绝对值）.

2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：a-b^a+（-b）.

要点：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反

数.如:

呼号变加学减号手加号

6-(-2)=6+(+2)(-2)-^3=(-2)1(-3)

I_____4

减数变为相反数域数变为相反数

七、有理数加减混合运算

将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.

八、有理数的乘法

1.有理数的乘法法则：(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘;

(2)任何数同0相乘，都得0.

要点：(1)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘.

(2)当因数中有负号时，必须用括号括起来,如-2与-3的乘积，应列为G2)X(-3),不应该写成-2x-3.

2.有理数的乘法法则的推广：(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数

有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；

(2)几个数相乘，如果有一个因数为0,那么积就等于0.

要点：(1)在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数.

(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘.

(3)几个数相乘，如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之，如果积为0,那么至少有一个因数为0.

3.有理数的乘法运算律：

(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab=ba.

(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即：abc=(ab)c

~~d(^bc).

(3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.即：

a(b+c)=ab+ac.

九、有理数的除法

1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数.

要点：

(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是-；，-2和是互相依存的;

(2)0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数；

(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；

(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数).

2.有理数除法法则：

法则一：除以一个不等于o的数，等于乘这个数的倒数，即。+人=。・工3#0).

b

法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些.

（2）因为。没有倒数，所以0不能当除数.

（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值.

十、有理数的乘除混合运算

由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最

后算出结果.

十一、有理数的加减乘除混合运算

有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号

里面的.

十二、有理数乘方和科学记数法

1.有理数乘方的概念

求〃个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕.

即有：a-a....a=在中，。叫做底数，”叫做指数.

左

2.有理数乘方的运算

（1）正数的任何次幕都是正数；

（2）负数的奇次哥是负数，负数的偶次暴是正数；

（3）。的任何正整数次事都是0；

（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幕的符号，然后再计算事的绝对值.

3.偶次乘方的非负性

任何一个数的偶次嘉都是非负数，即储之o.

4.含乘方的混合运算

有理数混合运算的顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，

先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

5.科学记数法的表示

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成axlO"的形式，其中。是整数数位只有一位的数，”是正整

数，这种记数法叫做科学记数法.（科学记数法形式：axlO",其中〃为正整数）

（2）规律方法总结：

①科学记数法中。的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按

此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，

只是前面多一个负号.

6.近似数的表示

“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者

可以体现出误差绝对值的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些.

1.有理数运算注意事项.

要点：(1)在交换因数的位置时，要连同符号一起交换.

(2)乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相

乘.如abcd=d(ac)b.一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.如a(b+c+d)

(3)运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”.

a,a>0

2.化简绝对值：\a\=\

-a,a<0

3.点在数轴上的追及问题.

A考点剖析

考点一、正负数，相反意义的量.

例1：《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之."意思是：“今有两数若其意义相反，则分

别叫做正数和负数.”如果高于海平面260米记为+260米，那么低于海平面300米应记为.

【答案】-300米

【解析】由高于海平面260米记为+260米可得，低于海平面300米记作-300米.故答案：-300米.

考点二、求一个数的相反数，绝对值，倒数.

例2：2的相反数是,-3的绝对值是.

【答案】—2；3

【解析】2的相反数是-2,—3的绝对值是3.故答案为：-2,3

考点三、科学记数法表示大于1的数.

例3：截止到12月12日16时45分，“嫦娥四号”探测器在经过约396000秒的奔月飞行后，达到月球附近,

数字396000用科学记数法可表示为()

A.0.396x10sB.3.96x10sC.396xlO3D.3.96xl05

【答案】D

【解析】396000=3.96xl05.故选D.

考点四、有理数的混合运算.

例4：计算：

(1)(-8)+10+8-(-10)；⑵3)+3；

111184

⑶1xx一土一

32115

【解析】(1)(-8)+10+8-(-10)=10+10=20；

(2)-9x(-10)-(-3)-3=90-(-3)-3=-30-3=-10；

x----=—x

⑷_/(一：一4K=一|卷一64x(_.Y吟+8=一8+8=0.

考点五、用数轴上的点表示有理数.

例5：点A、8在数轴上的位置如图所示：

AIIBIII

-5-4-3-2-10123456%

(1)点A表示的数是，点B表示的数是；

17

(2)在数轴上表示下列各数：0,-4-,-2,-；

(3)把(1)(2)中的六个有理数用“〈”号连接起来.

【解析】(1)根据数轴可知，点A表示的数是T，点B表示的数是1,故答案为：-4,1;

(2)在数轴上表示各数如下所示：

“17

-4露-2052

—।।，।，■।1«।1

-5-4-3-2-10123456x

(3)各数大小关系排列如下：

17

-4-<-4<-2<0<1<—.

32

考点六、有理数运算的实际应用.

例6：有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下:

编号12345678

与标准质量的差值(单位：千克)-3-2-1.5012.5-1-3

(1)8筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？

(2)与标准重量比较，8筐白菜总计超过或不足多少千克？

(3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元?

【解析】(1)2.5-(-3)=5.5(千克).

答：8筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克.

(2)-3+(-2)+(-1.5)+0+1+2.5+(-1)+(-3)=-7(千克).

答：与标准质量比较，8筐白菜总计不足7千克.

(3)解：这8筐白菜的总重量为：25x8-7=193(千克)，

若白菜每千克售价2元，则这8筐白菜总共可卖193x2=386(元).

答：若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖386元.

考点七、根据点在数轴上的位置判断式子的正负.

例7：若有理数。，6在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是()

_I_।___>

-3-2-10123

A.b>—aB.a>—bC.|a|<|Z?|D.a+b<0

【答案】D

【解析】因为一3<〃<一2<1<6<2,所以-a〉2>b,故选项A错误，不符合要求;

-b>-2>a,故选项B错误，不符合要求；

|。|>2>同，故选项C错误，不符合要求；

a+b<0,故选项D正确，符合要求；

故选D.

考点八、借着数轴化简绝对值.

例8：若数轴上的点A、B、C分别表示有理数。，b,c,。为原点，如图所示.

ACOB

⑴用“>”或填空：a+b0,c-b0,c-a0；

(2)化简2c+|a+Z?|+|c-/?|-|c-a|.

【解析】(1)由图可得：a<c<O<b,且同习

所以a+b<0,c-b<0,c-a>0；故答案为<,<,>；

(2)因为a+Z?<0,c-b<0,c-a>0,

所以2(?+|4+"+|°_"一|<?-4|=20_4_6+6_(:”+"0.

考点九、绝对值非负性的应用.

例9：己知|x-l|+|y+3|=O,则y-x—；的值是()

A.-4-B.-2-C.-1-D.1

222

【答案】A

［角至析】因为卜_1|+|)+3|=0,所以％_l=0,y+3=0,所以％=l,y=—3,

所以>-」=-3-」=一』.故选A.

222

考点十、分类讨论化简绝对值.

IQIa

例10：(1)若。>0,U=____；若Q<0,口=____；

a\a\

ab=0,则回=

(2)若n+百

hl\b\-ab

、」iabc

（3）右历c<0,则同+忸+同=——

【答案】（1）1,-1；(2)1；(3)1或-3.

【解析】（1）因为0>o,所以所以忖=幺=1；

aa

,,aa

因为a<0,所以同=-。，所以厂［=—=T，故答案为：1，-1：

（2）因为3+^=0,所以必<0,所以附=-血所以回=*=1,故答案为：1；

（3）因为abc<0,所以a,b,c符号有两种情况：①一个负数、两个正数；②三个负数.

当a,b,c中有一个负数、两个正数时，不妨设。<0力>0,c>0,

Jl«lHkl

abc,,,c

当a,b,c中有三个负数时,同+叶甲TTT=。

故答案为：1或-3.

考点十一、数轴上的动点问题中的追及问题.

例11：如图：在数轴上，点A对应的数是-3,点8对应的数是16,两动点M、N同时从原点。出发，点

M以每秒1个单位的速度沿数轴向点8运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停

留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动.设点M的运动时间为《0<1<16）秒.

AOB

-------------------A

-3016

⑴当f=l时，线段MN的长为（直接填空）；当7=3时，线段的长为（直接填空）；

（2）在运动过程中，当点M与点N重合时，求/的值；

⑶当线段MN的长为7时，直接写出f的值.

【解析】（1）解：当7=1时，点M表示的数为1,点N表示的数为-3,

所以初V=1-（-3）=4：

当r=3时，点N表示的数为-3+3x1=。，点M表示的数为3,

所以MV=3—0=3；

故答案为：4,3；

（2）解：由题意得，当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向8的运动过程中，此时运动/秒后，点N

表示的数为-3+3（-2）=3"9,点”表示的数为r,

所以3t-9=f，

9

解得

(3)解：当点N向点A运动的过程时，由题意得”(-3。=7,

7

解得.=不符合题意；

4

当点N在点A停留时，由题意得，…(-3)=7,

解得1=4,不符合题意；

当点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上班时，由题意得，-(3-9)=7,

解得/=1,不符合题意；

当点N从点A向点8运动过程中，且点N追上且点N为到达点8前，由题意得，3t-9-t=l,

解得f=8；

当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点8后停止运动，由题意得，16—=7,

解得t=9：

综上所述，1=8或r=9.

考点十二、数轴上的动点问题中的最值问题.

例12：我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要

思想方法.例如，代数式,-2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为

|%+1|=|%-(-1)|,所以卜+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与一1所对应的点之间的距离.

(i)发现问题：代数式,+1|+归一2|的最小值是多少？

(ii)探究问题：如图，点A,B,P分别表示数一1,2,尤，AB=3,

APB

_____1I111.1I11»

-4-3-2-10X1234

因为|x+l|+|x-2|的几何意义是线段熟与PB的长度之和，

所以当点尸在线段A3上时，E4+PB=3;

当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB>3；

所以+|x—Z的最小值是3.

请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：

(1)归一3|+|尤+2］的最小值是；

(2)当a为何值时，代数式|x+a|+|x-4|的最小值是2.

【解析】(1)因为卜一3|+卜+2|=|无一3|+卜一(一2)|.

如图，卜—3|+卜一(一2)|表示点尸到点A的距离与点P到点B的距离之和,

B

.5.4-3-2-1012345

当点尸在线段43上时，PA+PB=5,

当点尸在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB>5,

所以|x-3|+|尤+2|的最小值是5；

（2）因为数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为2,数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也

为2,

因此当。为-2或-6时，原式的最小值是2.

A过关检测

一、选择题

1.在跳远测试中，小明的成绩为2.1米，记作+0.5米.若小亮的成绩记作-0.2米，则小亮的成绩为（）

A.1.4米B.1.6米C.1.8米D.1.9米

【答案】A

【解析】由题意可得标准为2.1-0.5=1.6（米），

因为小亮的成绩记作-0.2米，所以小亮的成绩为1.6-0.2=14（米），故选A.

2.2023年我国高校毕业生高达1158万人，其中474万本科毕业生为了提升自己的学历，好凭借更高的学

历，跨过更高的职业门槛，选择报考研究生，请用科学记数法表示报考研究生的人数（）

A.11.58xl06B.1.158xl07C.D.4.74xlO6

【答案】D

【解析】474万=4740000=4.74x106,故选D.

3.下列算式正确的是（）

A.-3-2=-6B.0-(-3)=3

心♦卧12=11。-a12D.

|3-5|=-(5-3)

【答案】B

【解析】4、-3-2=-5,故原题计算错误；

B、0-（-3）=3,故原题计算正确;

C、（-9xl2=f-10+」］xl2,故原题计算错误;

D、|3-5|=5-3,故原题计算错误;

故选8.

4.如图，点M表示数加，点N表示数〃，下列结论中正确的是（）

MN

II

-101

A.m>nB,-<-C.-m>—nD.—m<—n

mn

【答案】C

【解析】由数轴知,0<m<n<l,所以一>—,故选C.

mn

5.下列说法中正确的个数是（）

①若孙〈。，x+yv。，则x,y都为负数；

②已知abwO,则三+粤的值不可能为0；

|a|b

③若〃+b<0,Q<0,b>Q,则Q,—Q,的大小关系是a<—b<—〃<b；

_abcabc

④若a,b,c为有理数，^―+—+—=-1,则方^的值为T.

\a\\b\|c|\abc\

A.0个5.1个C.2个D3个

【答案】A

【解析】①若孙v。，％+丁<0,则x,y异号，且负数的绝对值较大，故①说法错误；

②已知力?。0,不妨设Q=Lb=-\,贝!―^+?=1-1=。，故②说法错误；

\a\b

③若a+Z?<0,a<0,&>0,则口,一〃，/?,-/?的大小关系是〃<一。</?<一〃，故③说法错误;

abc

④由题知〃，b,c为三个不为。的有理数，且;~~^+；77+j7=T，

所以eb,。中负数有2个，正数有1个，所以〃儿>0,

abc

所以的的值为1,故④说法错误.

所以说法中正确的个数是0.故选人

二、填空题

6.化简：①-+㈢=；②]的相反数是；③比较大小-0.5

21

【答案】—;;〉

【解析】一，T]=+m

因为-g=g,所以-g相反数是一:；

1Q2

因为卜0.5]==

2

故答案为：>.

7.早在公元前5世纪我国春秋战国初期，魏国的相国李悝就在《法经》一书中用“不足”来表示亏空.如果

盈余250两记作+250两，那么亏空100两记作两.

【答案】-100

【解析】因为盈余250两记作+250两，所以亏空100两记作-100两，故答案为：-100.

8.如图，点A,B,C在数轴上对应的数为a,b,c,A,8两点间的距离表示为AB,B,C两点间的距离

表示为2c.若AB=5,BC=6,6+c=0,贝Ua—6+c的值是.

ABC

---------1------------------1--------------------1-------->>

【答案】-2

【解析】因为b+c=0,所以点用C关于原点对称，对应的数字b,c互为相反数，

因为=6,所以b=-3,c=3,

因为A8=5,所以a=—8,所以a—b+c=—8—(―3)+3=—2,

故答案为：-2.

9.细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂.例

如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次.1个这种细菌经过3个

小时可以分裂成个细菌.

细曲的分裂生殖

【答案】512

【解析】3小时=180分钟，180+20=9(次).即1个这种细菌经过3个小时可以分裂成的细菌个数为：29=512.

故答案为：512.

10.如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3,先让

圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，

那么数轴上的数-2024将与圆周上的数字___________重合.

【答案】1

【解析】由题意可得，-2024+4=-506,

因为由数轴可得：数轴上的1对应圆周上的0,所以数轴上的0对应圆周上的1,

所以-2024将与圆周上的数字1重合，故答案为：1.

三、计算题

11.计算：

351

(1)-14-(2)-4+6+Kx(-24)；

43I233

(3)-1+164-x—•(4)-I-2+(-4)一:

4'o

【解析】⑴-14(-6讨

79

=-14-6+------

510

=-19-；

2

357

(2)---1--1—x(_24)

468

357

=-4X(-2"+%x(-24)+-x(-24)

=18-20-21

=-23；

=—10；

12.已知有理数：0,-3.5,3-,-3,+5,-|-2|.

2

(1)在数轴上表示这些有理数；

I_______I_______II______I______II_______II______II_______II

-6-5-4-3-2-10123456

(2)将上述有理数用“v”连接起来；

⑶将上述有理数填入下图中相应的圆圈内(每个数只能写在一个对应区域内).

负数集合整数集合正数集合

【解析】(1)在数轴上表示这些有理数如图所示：

-3.5-3~\~2\03~+5

।JiJJ|»：

-6-5-4-3-2-10123456

(2)-3.5<-3<-|-2|<0<31<+5；

(3)负数集合为：{-3.5,-3,十2|},整数集合为：{-3,+2|,0,+5},正数集合为：科,+5

如图所示：

负数集合整数集合正数集合

13.为实施乡村振兴战略，零陵区委区政府打造特色经济作物产业，根据我区地域优势发展种植“四季水果

园”.黄田铺镇的万亩纽荷尔脐橙便是其中精品项目之一，纽荷尔脐橙质优价美，深受大家喜爱.下面是小

明家种植的一块地所采摘的20袋脐橙，小明在记录重量时采用了如下记录方法，以25千克为标准，超过或

不足部分分别用正，负数表示，记录如下：

与标准质量差值-2-1.5-1012

袋数541334

(1)请求出20袋脐橙中最重一袋比最轻一袋重__________千克；

(2)与标准质量相比，20袋脐橙总质量超过或不足多少千克？

(3)若这批脐橙每千克售价为5元，那么这20袋脐橙可卖多少元？

【解析】(1)因为—2<-1.5<—1<0<1<2,

所以20袋脐橙中，最重的一袋比最轻的一袋重：2-(-2)=4(千克)，

故答案为：4；

(2)—2x5+(—1.5)x4+(—1)xl+0x3+lx3+2x4=-6(千克)，

答：与标准质量相比，20袋脐橙总质量不足6千克；

(3)(20x25-6)x5=2470(元).

答：这20袋脐橙可卖2470元.

14.我们知道数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合、

分类讨论思想可以解决一些问题.

求解下列问题：

(1)若a=—5时，忖的值为；

a

⑵若卜+5|=卜-9|成立，则"=；

...a\b\cabc

(3)右诋<0,贝！］「+工-+［+］「［=__________；

|a|b\c\|abc\

(4)当式子|x+3|+|x-4|取最小值时，相应的x的取值范围是,最小值是

【解析】(1)。=一5时，区=一1,故答案为：T；

-5

(2)|。+5|=卜-9|表示数轴上数a的点到-5的距离与到9的距离相等，

因为-5与9的距离为9+5=14,所以中点到-5的距离为7,

所以-5+7=2,所以a=2,故答案为：2；

(3)因为彷c<0,所以a,b,c符号有两种情况：①一个负数、两个正数；②三个负数.

/7IhIccihc

①不妨设a>0，6>0,c<0,贝L+1+1?+「^=1+1-1-1=0；

|a|b\c\|abc\

②当a<0,6<O,c<0时，卷+粤+吉+注+=；

|a|b\c\|abc\

综上可得：三+