重难点突破07 函数零点问题的综合应用（十大题型）原卷版-2025年高考数学一轮复习

重难点突破07函数零点问题的综合应用

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................2

题型一：判断或讨论函数零点的个数................................................2

题型二：根据零点个数求参数范围..................................................3

题型三：证明函数零点的个数......................................................4

题型四：证明函数零点的性质......................................................5

题型五：最值函数的零点问题......................................................7

题型六：同构法妙解零点问题......................................................8

题型七：零点差问题..............................................................9

题型八：分离参数转化为两图像交点解决零点问题...................................11

题型九：零点问题之取点技巧.....................................................13

题型十：零点与切线问题的综合应用...............................................14

03过关测试....................................................................15

亡法牯自与.柒年

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1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，

求参数的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与X轴(或直线'=左)在某区间上的

交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

2、函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令/(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间m,切上是连续不断的曲线，且五。)正切＜0,还必须

结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个

不同的值，就有几个不同的零点.

3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将/'(尤)整理变形成

〃x)=g(x)i(x)的形式，通过g(x)/(x)两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函

数的单调性，从而判断函数零点个数.

4、利用导数研究零点问题：

(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知

识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；

(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可

以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

(3)利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合

思想研究；③构造辅助函数研究.

题型一：判断或讨论函数零点的个数

【典例1-1】(2024•河南•三模)函数/(x)=e/x-4sinx+2-2的图象在x=0处的切线为y=ax-a-3,aeR.

(1)求2的值；

⑵求了(X)在(0,+8)上零点的个数.

【典例1-2】(2024.河南.模拟预测)已知函数〃x)=?(a*0,aeR).

⑴求的极大值；

(2)若a=l,求g(x)=/(x)-co&x在区间-5,2024兀上的零点个数.

【变式1-1](2024•湖南长沙.三模)已知函数/(x)=xe*T,g(x)=lnL/ra;,meR.

(1)求〃力的最小值;

⑵设函数h(x)=f(x)-g(x),讨论/z(x)零点的个数.

【变式1-2】已知。，人是实数，1和-1是函数/(力=尤3+依2+次的两个极值点

⑴求。，6的值.

⑵设函数g⑺的导函数g\x)=/(x)+2,求g(x)的极值点.

⑶设Kx)=/(/(功-c，其中ce[-2,2]，求函数y=〃(x)的零点个数.

题型二：根据零点个数求参数范围

【典例2-1](2024•广东茂名•一模)设函数/(x)=e*+asinx,xe[0,+oo).

⑴当。=-1时，在[0,+功上恒成立，求实数匕的取值范围；

⑵若a>0,〃力在[0,+力)上存在零点，求实数a的取值范围.

【典例2-2】(2024・湖北.模拟预测)已知函数/(x)=e，—Inx—。，g(x)=e*—ln(x+a),其中a为整数且

aNl.记%为/(x)的极值点，若/(x)存在两个不同的零点x2(xl<x2),

(1)求a的最小值；

(2)求证：g(ln^)=g(lnx2)=0；

【变式2-1](2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=ln(6+x)+a(x-l)e。,曲线了⑴在点(14(1))处的切线

平行于直线2尤-y=0.

(1)当。=1时，求b的值；

(2)当人=0时，若Ax)在区间(0,1),(1,y)各内有一个零点，求。的取值范围.

【变式2-2](2024.江西吉安.模拟预测)已知函数〃x)=ei-办-a(aeR).

⑴当a=2时，求曲线>=了(力在x=l处的切线方程；

(2)若函数/(无)有2个零点，求。的取值范围.

题型三：证明函数零点的个数

【典例3-1】(2024.全国•模拟预测)已知函数/(x)=(x-l)2eJ吟且曲线y=/(x)在点(0"(防)处的切线

方程为y=—2x+b.

⑴求实数。，匕的值；

(2)证明：函数/(x)有两个零点.

【典例3-2】(2024•全国•模拟预测)已知函数/■(元)=cos尤+ln(l+无).

⑴求证：/(尤)在卜上有唯一的极大值点;

⑵若丁(尤)4办+1恒成立，求。的值；

(3)求证：函数g(x)=/(x)-x有两个零点.

【变式3・1】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=%2一奴+21nx.

⑴求函数“为的单调区间；

(2)若函数了⑴的两个极值点分别为八电，证明："6/㈤>♦-=；

玉一元2a2

(3)设〃(x)=sinx+lnx,求证：当ae[l,2]时，/。)一21nx=x/z(x)有且仅有2个不同的零点.

yrTT37r37r

(参考数据：——In—«1.119,7i-In7i«1.997,-----In—q3.162,2万一In2兀«4.445)

2222

【变式3-2](2024•上海闵行•二模)已知定义在(0,+口)上的函数>=/(x)的表达式为〃x)=sinx-xcosx,

其所有的零点按从小到大的顺序组成数列{%}(“21,〃eN).

⑴求函数y=/(x)在区间(0,兀)上的值域；

(2)求证：函数y=/(x)在区间。讥,(〃+1)兀)(M>l,weN)上有且仅有一个零点；

题型四：证明函数零点的性质

']n'V

【典例4-1】(2024•全国•一模)已知〃耳=/一三三一”

⑴若〃力20,求实数。的取值范围；

/、12

⑵设%,%2是/(X)的两个零点(%>々)，求证：①1<-----；②----<X1+X2.

【典例4-2】(2024•全国.模拟预测)已知函数/(x)=x£_a(x>0)，且广⑺有两个相异零点和Z.

(1)求实数。的取值范围.

(2)证明：玉+九2>--.

e

【变式4-1](2024•江苏扬州•模拟预测)已知函数/(x)=ln(MU)T(7w>0).

(1)若/'(x)W0恒成立，求加的取值范围；

⑵若有两个不同的零点占,三，证明玉+々>2.

【变式4-2](2024•山东临沂•二模)已知函数〃x)=ln(依)+(a-l)x—e\

(1)当a=l时，求证：f(x)存在唯一的极大值点为,且/小)<一2；

(2)若存在两个零点，记较小的零点为看」是关于x的方程ln(l+x)+3=2叫+cosx的根，证明:

e'+l>2e甬.

【变式4-3](2024.高三.河南鹤壁•期中)已知函数/(x)=e*-依2(。©]^),其中e为自然对数的底数.

(1)若函数/(x)在(0,+e)上有2个极值点，求a的取值范围；

⑵设函数g(x)=/(x)+eiT-e"+ax2+cosx,尤€(0,2兀))，证明：g(尤)的所有零点之和大于2兀.

【变式4-4](2024.四川眉山.三模)已知函数/(x)=xlnx-ax,-2x.

⑴若过点(1,0)可作曲线y=/(X)两条切线，求a的取值范围；

⑵若Ax)有两个不同极值点.

①求。的取值范围；

②当芯＞4%时，证明：＞16e3.

题型五：最值函数的零点问题

【典例5-1】(2024・湖北黄冈.三模)已知函数/(x)=xsinx+cosx+ai?,g(x)=xln

71

⑴当a=0时，求函数〃x)在［-兀,可上的极值；

⑵用max*%"}表示私〃中的最大值，记函数/z(x)=max{〃x),g(x)}(x＞0)，讨论函数〃(%)在(0,+(»)上

的零点个数.

1Y

【典例5-2】(2024・四川南充・三模)己知函数/(X)=;vsinx+cosx+—“Y,g(x)=xln二.

2兀

(1)当4=0时，求函数人幻在［-兀，网上的极值；

⑵用max。”,“}表示根，〃中的最大值，记函数/z(x)=max{/(x),g(x)}(x＞0),讨论函数〃(x)在(0,+co)上

的零点个数.

【变式5-1］(2024•四川南充三模)已知函数〃+g(x)=h«其中e为自然对数的底数.

(1)当。=1时，求函数八》)的极值；

⑵用max{〃?,〃}表示冽，〃中的最大值，记函数〃(无)=max{〃尤)心(无)}(尤＞0),当时，讨论函数

/z(x)在(0,+⑹上的零点个数.

【变式5-2］(2024•江西九江・二模)已知函数/(x)=e，-o?(awR),g(x)=x—i.

⑴若直线y=g(x)与曲线＞=/(尤)相切，求°的值；

⑵用min｛m,〃｝表示相，w中的最小值，讨论函数/z(x)=min"(x),g(x)｝的零点个数.

题型六：同构法妙解零点问题

【典例6-1】已知函数/(x)=W+x-加(依)-2(。＞0),若函数/(尤)在区间(0,内))内存在零点，求实

ex

数。的取值范围

【典例6・2】已知/(%)=++1.

(1)若函数g(x)=/(x)+xcosx-sin九一x/nx-l在(0,a］上有1个零点，求实数。的取值范围.

(2)若关于1的方程泥…=/(x)-£/+必_1有两个不同的实数解，求〃的取值范围.

【变式6-1］已知函数f(x)=aex-ln(x+1)+Ina-1.

(1)若a=l,求函数/(%)的极值；

(2)若函数/(X)有且仅有两个零点，求。的取值范围.

XInY

【变式6-2](2024•上海嘉定•一模)已知/(尤)==,g(x)=——.

e尤

⑴求函数y=/(X)、y=g(x)的单调区间和极值；

(2)请严格证明曲线y=/(x)、y=g(x)有唯一交点；

⑶对于常数若直线y和曲线y=/(x)、了二8⑴共有三个不同交点仁/卜仁间卜仁,。)，其

中玉<尤2<%，求证：玉、Z、W成等比数列.

【变式6-3](2024.四川•三模)已知函数/(无)=?和函数g(x)=(,且〃x)有最大值为《.

⑴求实数a的值；

⑵直线尸相与两曲线产/⑺和y=g(x)恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为3，X],%,且

x1<x2<x3,证明：考.

【变式6-4](2024•河北邯郸・二模)已知函数/(x)=e，一〃2T,g(x)=x-mlnx.

⑴是否存在实数加，使得和g(x)在(0,+e)上的单调区间相同？若存在，求出机的取值范围；若不

存在，请说明理由.

⑵已知看,范是/(x)的零点，尤2,£是g(x)的零点.

①证明：m>e,

②证明：1<玉尤2尤3<61

题型七：零点差问题

【典例7-1】(2024.重庆.模拟预测)牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法一牛顿

法.具体做法如下：如图，设厂是/(x)=。的根，首先选取％作为/■的初始近似值，若Ax)在点(%,/(%))

处的切线与x轴相交于点(40),称占是厂的一次近似值；用占替代与重复上面的过程，得到巧，称巧是

厂的二次近似值；一直重复，可得到一列数：%,西,%，•，瑞，.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当

XAT，X”(neN*)近似值相等时，该值即作为函数/⑺的一个零点r.

⑴若/。)=了3+3/+彳-3,当天=0时，求方程〃x)=0的二次近似值(保留到小数点后两位)；

(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数g(x)=e'-3在点

(2,g(2))处的切线，并证明：in3<l+2；

e

(3)若力(幻=尤(1-111元)，若关于x的方程/z(x)=a的两个根分别为X”尤2(再<苫2),证明：x2>e-ea.

【典例7-2】(2024•河南•模拟预测)已知6>。，函数〃x)=(x+a)ln(x+b)的图象在点(1,7(1))处的切线

方程为了ln2-y-ln2=0.

(1)求。,(的值;

1

⑵若方程〃力=’(e为自然对数的底数)有两个实数根和马,且为<2，证明：x2-x1<l+l+--

eeeln2

【变式7-1](2024•陕西西安•模拟预测)已知函数〃x)=e'-l-ox(aeR).

【变式7-2](2024・重庆.模拟预测)己知函数/(x)=a(ln元+l)+3(a>0).

X

⑴求证：l+xlnx>0；

,求证：民一七]<1—J~>

⑵若石,马是/⑺的两个相异零点

【变式7・3】(2024.河南信阳•三模)已知函数/(x)=G；-ln(l-x)(a£R).

⑴若〃x)20恒成立，求〃的值；

(2)若有两个不同的零点玉,/，且昆-石|>。-1，求。的取值范围.

【变式7-4](2024.全国.模拟预测)已知函数/(x)=f-(2+〃)％+Qlnx,6ZGR.

⑴讨论f(x)的单调性；

(2)设g(x)=-----f(x)+x2—(6?+l)x—2^z+(tz—1)Inx,右g(x)存在两个不RI的零点七，巧，且石<%2.

X

(i)证明：2a>e+l；

(ii)证明：vf<4"一2"l

2〃一1

题型八：分离参数转化为两图像交点解决零点问题

【典例8-1】(2024・天津•模拟预测)已知函数〃x)=ln(x+2)

⑴求曲线y=/(x)在产-1处的切线方程；

⑵求证：ex>^+1;

(3)函数〃(x)=〃x)-a(x+2)有且只有两个零点，求a的取值范围.

【典例8-2】(2024.广东广州.二模)已知函数/(%)=。(%+1)b+/.

讨论的零点个数；

【变式8-1］（2024•浙江•模拟预测）已知函数〃x）=a（e，+sinx）-x-1.

⑴当时，求的单调区间；

（2）当。=1时,判断〃x）的零点个数.

【变式8-2］已知函数y（x）=（无一2）/-2依2+4办（。＞。）.

⑴若4=1,求曲线y=/（x）在点（。"（。））处的切线方程；

（2）若恰有三个零点，求a的取值范围.

【变式8-3］（2024.湖北.模拟预测）函数/（x）=aeX—xT（aeR）.

⑴当a=l时,证明：/（%）＞0；

⑵讨论函数/（x）的零点个数.

【变式8-4］（2024•广西河池•模拟预测）已知函数〃x）=alnx+Y-依，定义域为（。,+8）.

⑴讨论“X）的单调性；

（2）求当函数/（x）有且只有一个零点时，〃的取值范围.

题型九：零点问题之取点技巧

【典例9-1】(2024•陕西商洛•模拟预测)已知函数〃x)=(a-l)x+lnx,g(x)=g+(aeR).

⑴讨论的单调性；

⑵当a>2时，证明：函数0(x)=g(x)-/(龙)有两个不同的零点.

【典例9-2】(2024•浙江杭州•二模)已知函数/(x)=aln(x+2)-1■尤2(qeR).

⑴讨论函数〃x)的单调性；

(2)若函数/(x)有两个极值点，

(i)求实数。的取值范围；

(ii)证明：函数/(X)有且只有一个零点.

【变式9-1](2024•陕西铜川•三模)已知函数〃%)=则+,+依-3.

xxe

⑴当a=l时，求曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程；

(2)若函数/(x)存在零点，求实数。的取值范围.

【变式9-2](2024.广东广州•模拟预测)已知函数/(力=无出一履),左€区

⑴当左=0时，求函数“X)的极值；

(2)若函数在(0,+8)上仅有两个零点，求实数%的取值范围.

题型十：零点与切线问题的综合应用

【典例10-1](2024.陕西西安.模拟预测)已知函数/(x)=/+3x+3,g(x)=2eZ-尤-2.

⑴判断g(x)的零点个数；

(2)求曲线y=/(元)与曲线y=g(x)公切线的条数.

【典例10-2】(2024.江西.模拟预测)已知函数〃元)=21ru+ga尤2-(a+2)尤(aeR),

⑴讨论函数〃x)的单调性；

(2)若0<%<苫2，证明：对任意ae(Yo,0),存在唯一实数e(番,%)，使得尸(%)='山)成立:

【变式10-1】(2024•四川遂宁.模拟预测)已知函数/(尤)="，g(尤)=ln(尤+〃)，直线/：>=无+机为曲线

y=/(尤)与y=gCO的一条公切线.

⑴求加,〃；

⑵若直线/'：y=s(0<s<1)与曲线y=/(幻，直线/，曲线y=g(尤)分别交于A&,%2(%,%),C(w,%)三

点，其中％<无2<W，且不，尤2,无3成等差数列，证明：满足条件的S有且只有一个.

【变式10-2](2024•四川泸州三模)设函数"x)=e"T,g(x)=lnx+6.

(1)求函数尸(x)=(x-l)〃x)的单调区间；

⑵若总存在两条直线和曲线V=/(力与y=g(x)都相切，求b的取值范围.

【变式10-3】(2024•贵州贵阳•模拟预测)已知函数〃x)=xlnx.

⑴若函数g(x)=〃x)-a有两个零点，求实数a的取值范围；

⑵已知4(石,乂)，8优,%),C(&,%)(其中玉<马<三且巧，演，演成等比数列)是曲线y=/(x)上

三个不同的点，判断直线AC与曲线V=/(x)在点B处的切线能否平行？请说明理由.

1.(2024•福建宁德三模)已知函数/(x)=acos尤-eAi(aeR)的图象在x=0处的切线过点(-1,2).

⑴求了⑺在［0,可上的最小值；

⑵判断/(X)在，g,oj内零点的个数，并说明理由.

13

2.(2024•陕西安康•模拟预测)己知函数/(x)=5xsiiu-z.

7

⑴证明：当兀］时，QX—X——>f(x);

(2)求八％)在区间［0,可上的零点个数.

zl2-

3.(2024•浙江杭州•模拟预测)已知函数/(x)=me%+—~--m,^(x)=ex+ex.

⑴当机=0时，证明：f(x)<ex；

(2)当无v0时,g(x)>t,求片的最大值；

⑶若“可在区间(。，+8)存在零点，求加的取值范围.

4.(2024•安徽•三模)已知函数武。>0,。/1).

⑴若a=e,求/(x)在x=0处的切线方程；

(2)若函数/(无)有2个零点，试比较In。与g的大小关系.

5.(2024・陕西商洛•三模)已知函数〃元)=2a21nx

⑴求函数/(尤)的单调区间；

p2x

⑵当a>0时，若函数g(x)=*-+ae工和/2(力=2/X的图象在(0,1)上有交点，求实数。的取值范围.

6.(2024・湖北黄石•三模)已知函数/(x)=x-lnx+根有两个零点A,巧.

(1)求实数机的取值范围；

(2)如果占«2而，求此时机的取值范围.

2

7.(2024・全国•模拟预测)已知函数〃尤)=(+lnx-〃?.

⑴讨论的零点个数；

(2)若/(%)有两个零点，证明：两个零点之和大于4.

8.(2024.全国.模拟预测)已知函数f(x)=e",g(x)=xa.

⑴当。=1时,求/(x)-g(x)的最小值;

(2)讨论函数y=/(x)和y=g(x)的图象在(0,+℃)上的交点个数.

9.(2024•全国•模拟预测)当xe(-l,yo)时，总有不等式ar21n(x+l)成立.

(1)求实数。的取值范围；

(2)设方程6-ln(x+l)=sinx,试确定该方程实根的个数，并证明你的结论.

10.(2024.青海海南.一模)已知函数〃x)=e"i—x—a(a>0).

⑴若函数/(x)在(0,+8)上单调递增，求。的取值范围；

(2)若函数/(X)的两个零点分别是无1、工2且为<々，证明：x2-xl>^-+a.

11.(2024.全国•模拟预测)已知函数/'⑶=ln(l+x)—小

(1)求曲线y=/(x)在(0,/(0))处的切线方程;

⑵若xe(-l,7t),讨论曲线y="x)与曲线y=-2cosx的交点个数.

12.已知函数/(xb/lnx-MawR).

(D若/'(x)恰有两个零点，求。的取值范围；

/、“2aae

(2)若/(x)的两个零点分别为王,%2(%<%2)，求证：T+—<-T.

13.（2024•江西赣州•一模）已知函数/■⑺=j-1眸

（1）求/⑺的单调区间，

⑵己如机＞0.若函数g（x）=〃x）-MxT）有唯一的零点看.证明，1＜无（）＜2.

14.（2024・广西•模拟预测）已知函数〃x）=21n（尤+1）+；尤2-2x+加有三个零点，meR.

（1）求机的取值范围；

⑵记三个零点为工,工2，三，且再＜%＜W，证明：x3-xr＜2.

15.（2024.四川南充.一模）设函数/a）=e'（e为自然对数的底数），函数/⑺与函数g（x）的图象关于直线

y=x对称.

⑴设函数“尤）=心0,若X40㈤时，力（X）?亚恒成立，求〃2的取值范围;

sinx

⑵证明：/（尤）与g（x）有且仅有两条公切线，且图象上两切点横坐标互为相反数.

16.（2024・广东•二模）已知/（x