2026版三维设计一轮高中总复习数学课件-第九节　函数与导数中的创新性问题

第九节函数与导数中的创新性问题高中总复习·数学重点解读

函数与导数中的创新性问题以往在自主命题卷中出现较多，可以出现

在各个题型中，其题型灵活，可以单独考查函数与导数知识，也可以与其

他知识交汇命题，还可以引用高等数学中的相关知识作为试题背景命题，

试题新颖，对考生的文字阅读、信息提取、转化与化归能力的要求较高.目录CONTENTS考点·分类突破01.课时·跟踪检测02.PART01考点·分类突破精选考点|课堂演练

创设新定义（师生共研过关）

〔多选〕（2024·贵州天柱民族中学段考改编）若存在m，使得f

（x）≥m对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有下界，其中m为

函数f（x）的一个下界；若存在M，使得f（x）≤M对任意x∈D恒成

立，则函数f（x）在D上有上界，其中M为函数f（x）的一个上界.如果

一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.则下列说法正确的是（

）A.1是函数f（x）＝x＋

（x＞0）的一个下界B.

函数f（x）＝xln

x有下界，无上界C.

函数f（x）＝

有上界，无下界D.

函数f（x）＝

有下界，无上界√√

解题技法

解决新定义问题，有时需要用类比的方法来理解新定义，这样有

助于更为透彻地理解新定义.此类问题对阅读理解能力有一定的要求，

但是要学会透过现象看本质，新定义问题考查的还是高中数学基础知

识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好“四基”，以不变应

万变才是制胜法宝.

创新情境设置（师生共研过关）

A.

（2e＋

，＋∞）B.

（2e2＋

，＋∞）C.

（4e＋

，＋∞）D.

（4e2＋

，＋∞）√

解题技法

解答此类问题的关键是认真阅读题目情境表述，厘清已知条件、特定

规则及待求问题，从中获取关键信息再将信息利用熟悉的知识和方法破

译、转化为数学表达式（或数学图形），然后求解，得出结论，一般解题

步骤如下所示：

高数背景下的创新题（师生共研过关）

（2024·襄阳三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数

学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f（x），g（x）满足：①图象在[a，b]上是一条连续不断的曲线；②在（a，b）内可导；

解题技法

高数背景下的创新题很多，涉及到中学数学教材中出现过的就有十几

处，如泰勒公式、拉格朗日中值定理、欧拉公式等，解决该类问题不必增

加高等数学的学习，而是把题目背景的条件，结论理解清楚（不必过多探

究为什么），重要的是将其转化为用中学数学解决的问题.此类题目主要

考查创新思维与迁移能力.

（1）证明：ex≥1＋x；证明：

设h（x）＝ex－x－1，则h'（x）＝ex－1.当x＞0时，h'（x）＞0；当x＜0时，h'（x）＜0.所以h（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增.因此，h（x）≥h（0）＝0，即ex≥1＋x.

PART02课时·跟踪检测关键能力|课后练习

A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件√12345678910111213141516171819202022232425

2.

对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给出定义：设f'

（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数，若方程f″

（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐

点”，则下列命题中不正确的是（

）A.

任何一个三次函数都有“拐点”B.

任何一个三次函数的图象都有对称中心C.

任何一个三次函数都有极值D.

三次函数的“拐点”就是对称中心√

3.

〔多选〕已知△ABC的面积为1，AB的平行线分别交AC，BC于点D，

E，连接BD，△DCE，△DBE，△DBA的面积分别记为S1，S2，S3，则

（

）A.max{S1，S2，S3}的最小值为

B.max{S1，S2，S3}的最小值为

C.max{S1，S2，S3}的最大值为

D.min{S1，S2，S3}的最大值为

√√

A.

函数y1＝2x（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是②B.

函数y2＝x2（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是①C.

函数y3＝ex（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是③D.

函数y4＝ln

x（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是④√√

（2）已知函数g（x）＝cos

x＋1（x∈R），求g（x）曲率的平方的最

大值.

（2）已知函数F（x）＝mx2＋nx＋xln

x，其中m，n∈R.

证明：对任意

两个不相等的正数x1，x2，曲线y＝F（x）在点（x1，F（x1））和点

（x2，F（x2））处的切线均不重合.证明：

由题意得F'（x）＝2mx＋ln

x＋n＋1，不妨设0＜x1＜x2，则曲线y＝F（x）在点（x1，F（x1））处的切线l1：y－F（x1）＝F'（x1）（x－x1），即y＝F'（x1）x