2025人教版高一2.1等式与不等式性质（知识点解读五个题型分练复习巩固练习）

第一节等式与不等式的性质思维导图知识点解读知识点1:等式的基本性质名称性质内容性质1对称性性质2传递性性质3同加（减）性性质4同乘性性质5同除性知识点2:不等式的性质性质名称性质内容注意1对称性可逆2传递性同向3可加性可逆4移项法则可逆5同向可加性同向6可倒数性同向同正7可乘性的正负8同向同正可乘性同向同正9可乘方性同正10可开方性同正知识点3:比较两数（式）大小的方法注意:（1）比较代数式的大小通常采用作差法,如果含有根式,也可以先平方再作差,但此时一定要保证代数式大于零;（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等）,直到能明显看出其正负号为止.（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较,作商后应变形为能与“1”比较大小的式子,要注意营养函数的有关性质.题型分练题型一、利用不等式表示不等关系1.在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5cm/s，人跑开的速度为4m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（）A．4×x0.5≥100 B．4×xC．4×x0.5＞100 D．4×x【答案】C【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论.【详解】导火线燃烧的时间为x0.5s，人在这段时间跑的路程为4×x由题意可得4×x0.5故选：C.2.一个工厂原来每天可以加工x件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多560件，且30天加工的商品将超过75000件，这一关系可用不等式表示为（

）A．30x+560>75000 B．30C．30x+560≥75000 D．30【答案】B【分析】根据题设可得每天加工的商品数为x+560件，即可求出结果.【详解】由题意得现在工厂每天加工的商品数为x+560件，则该工厂30天加工的商品数为30x+560所以题中关系表示为30x+560故选：B.3.下列不等式中可以用来表示“a的2倍比a的平方的相反数小”的是（

）A．2a<a2 C．a<−2a2 【答案】D【分析】依题意，先用a表示代数式，再建立不等关系即得.【详解】因a的2倍为2a,a的平方的相反数为−a则不等式为：2a<−a故选：D.4.公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，B型货车载重量24吨，设派出A型货车x辆，B型货车y辆，则运输方案应满足的关系式是（

）A．5x+4y<100 B．5x+4y≥100C．5x+4y>100 D．5x+4y≤100【答案】B【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案.【详解】由已知可得，30x+24y≥600，所以有5x+4y≥100.故选：B.5.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于110m2，设靠墙的一边长为【答案】0<x≤18【分析】根据题意可得0<x≤18，以及菜园面积S=x15−【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为xm则0<x≤18，菜园的另一条边长为30−x2可得菜园面积S=x15−依题意有S≥110，即x15−故该题中的不等关系可用不等式组表示为0<x≤18x题型二、1.已知0<a<1，则（

）A．a2>1aC．1a>a>a【答案】C【详解】因为0<a<1，所以0<a2<1,1a>1,−1<−a<0．由于0<a<1，故在不等式上同时乘以a得【答案】C【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解.故选：C.3.下列说法中，错误的是（

）【答案】A【分析】举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C.故选：A．4.对于实数a,b,c，判断下列结论是否正确．(1)若a<b<0，则a2>ab>b(2)若c>a>b>0，则ac−a＞b(3)若a>b，1a>1(4)若a<b<0，则ba＞a【答案】(1)正确(2)正确(3)正确(4)错误【分析】由不等式的性质判断．【详解】（1）a<ba<0⇒故当a<b<0时，a2（2）若c>a>b>0，则0<c−a<c−b，∴1c−a>1c−b（3）若a>b，1a>1b，则b−aab>0，因为（4）若a<b<0，则ab5.判断下列各命题的真假，并说明理由.（1）若a<b，c<0，则ca（2）若ac3<bc3，则a>b；（3）若a>b，且k∈N*，则ak>bk；（4）若a>b，b>c则a－b>b－c.【答案】（1）假命题，理由见解析；（2）假命题，理由见解析；（3）假命题，理由见解析；（4）假命题，理由见解析.【分析】(1)由a<b，不一定有ab>0，故1a(2)当c>0时，c3>0，根据不等式的性质可判断.(3)举反例可判断.(4)举反例可判断.【详解】(1)∵a<b，不一定有ab>0，∴1a>1(2)当c>0时，c3>0，又ac3<bc3，∴a<b，∴(2)是假命题.(3)当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴(3)是假命题.(4)当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝2<b－c＝3，∴(4)是假命题.题型三、1.设a>b>0，求证b+2aa+2b【答案】证明见解析【分析】根据题意，得到b+2aa+2b−ab=【详解】由b+2aa+2b因为a>b>0，可得a+2b>0,b+a>0,b−a<0，所以(b+a)(b−a)a+2b⋅b<0，即b+2a2.若a>b>0，c<d<0，证明：ab−d【答案】证明见解析【分析】根据不等式的性质利用综合法即可证明．【详解】∵c<d<0，∴−c>−d>0，又∵a>b>0，∴a−c>b−d>0，∴a−c2>b−d又∵a>b>0，∴ab−d3.已知a≥−1，求证：a3【答案】证明见解析【分析】结合立方和公式及a≥−1，利用作差法即可证明.【详解】a3+1−因为a≥−1，所以a+1≥0，又a−12≥0，所以所以a34.（1）已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：ea−c（2）证明：a−【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】（1）因为c<d<0，所以−c>−d>0．又a>b>0，所以a−c>b−d>0，则1a−cb−d>0，所以a−c×1a−cb−d（2）要证a−a−2<a−1−a−3a≥3，只需证a+a−3<a−15.已知a>b>1，d<c<−2．(1)求证：a−1b−1(2)求证：ac+bd>bc+ad．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；（2）应用作差法比较大小，即可证.【详解】（1）由a>b>1，则a−1>0,b−1>0，故(a−1)(b−1)>0，由d<c<−2，则c+2<0,d+2<0，故(c+2)(d+2)>0，所以a−1b−1（2）由ac+bd−bc−ad=c(a−b)+d(b−a)=(c−d)(a−b)，而a−b>0,c−d>0，所以ac+bd−bc−ad=(c−d)(a−b)>0，即ac+bd>bc+ad，得证.题型四、利用作差与作商比较大小1.若x<1，试比较M=x2+x【答案】M>N【分析】利用作差法比较即可.【详解】由M−N=x又因为x<1，所以x−1<0，x−2<0，所以M−N=x−1x−2>02.设a为实数，试比较以下两个式子的大小(1)a2+1(2)2a2−a【答案】(1)a2(2)2a【分析】（1）用作差法比较大小．（2）用作差法比较大小．【详解】（1）a2+1−2a=(a−1)所以a2（2）2a所以2a3.（1）对于实数x，比较2x2+1（2）对于实数x，比较|2x−1|+|5−2x|与4的大小.【答案】（1）2x2【分析】（1）根据题意，由作差法代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分类讨论去掉绝对值符号，即可得到大小关系.【详解】（1）2x即2x（2）|2x−1|+|5−2x|=2x−1令fx当x≤12时，当x=12时，当12<x<5当x≥52时，当x=52时，综上所述，|2x−1|+|5−2x|≥44.试比较下列各数的大小，并说明理由：(1)3+3与2+(2)3+5与【答案】(1)3+3>(2)3+5>【分析】（1）作差法比较大小；（2）两式平方比较大小；【详解】（1）3+3>理由：3+3−3估算是1.7，5估算是2.2，所以1+3因此3+3>（2）3+5理由：将两式平方(3(2+所以3+5>5.已知a>b>0，则aabb与a【答案】aab【分析】运用做商比较法，由题意可得aa【详解】∵aabbabba=a即aabbabba故答案为：aabb6.已知a<b<0，试比较a2+b【答案】a【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.【详解】∵a<b<0，∴a−b<0,∴a两数作商a=a∴a7.已知a≥1，试比较M=a+1−a【答案】M<N【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算1M=a+1【详解】（方法1）因为a≥1，所以M=a+1所以MN因为a+1+a>a+（方法2）所以M=a+1又1M所以1M>18.（1）比较3x3与（2）已知a≥1，试比较M=a+1−a【答案】（1）答案见解析；（2）M<N.【分析】（1）利用作差法得出3x3−3x2−x+1=3（2）将M、N进行分子有理化，结合作商法可得出M、N的大小关系.【详解】（1）∵3x当x<1时，则3x2+1当x=1时，则3x2+1当x>1时，则3x2+1（2）∵a≥1，则M=a+1−aM=a+1N=a∵a+1+a因此，M<N.【点睛】本题考查利用作差法和作商法比较大小，属于基础题.9.试比较下列组式子的大小：(1)x+1−x与x−(2)M=a1+a+b1+b与N=(3)a2−b2a【答案】(1)x+1−(2)M≤N;(3)a2【分析】(1)通过比较1x+1+x与1x+(2)通过作差法来比较M,N的大小；(3)通过作差法或作商法比较a2−b【详解】（1）解：x+1−x=因为x+1+所以1x+1即x+1−（2）解：M−N==a−b因为a>0，b>0，所以1+a1+b>0，所以M−N≤0，即M≤N；（3）方法一（作差法）a=a−b因为a>b>0，所以a+b>0，a−b>0，2ab>0，a2所以2aba−b所以a2方法二（作商法）因为a>b>0，所以a2−b2a所以a2所以a2题型五、利用不等式求代数式的范围1.如果30<x<42,16<y<24.分别求x+y,x−2y及xy【答案】46<x+y<66;−18<x−2y<10;【分析】先利用不等式的性质分别求−2y，1y【详解】因30<x<42,16<y<24，故46<x+y<66；因−48<−2y<−32，故−18<x−2y<10；又因124<1y<2.已知实数a,b满足−1≤a+b≤1，1≤a−b≤3，求3a−b的取值范围．【答案】1,7.【解析】先将3a−b用a+b与a−b线性表示得3a+b=(a+b)+2(a−b)，再根据不等式的性质求解即可.【详解】解：设：3a−b=x(a+b)+y(a−b)=(x+y)a+(x−y)b∴

x+y=3x−y=−1   ∴2≤2a−b≤6即：1≤3a−b≤7．故答案为：1,7说明：此题的一种典型错误做法，如下：∵−1≤a+b≤1,1≤a−b≤3,∴0≤2a≤4，即：0≤a≤2∵即：−2≤b≤0∴0≤3a≤6此解法的错误原因是因为a与b是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当a+b取到最大值或最小值时，a−b不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围．避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程．【点睛】本题考查不等式的性质，考查运算能力，是基础题.3.已知12<a<60，15<b<36，(1)求a+13b(2)求ab【答案】(1)答案见解析(2)1【分析】（1）先求出13b,−b的范围，再结合（2）对于ab，可先求出1b的范围，然后再结合【详解】（1）∵15<b<36，∴5<13b<12又12<a<60，所以12+5<a+13b<60+1212−36<a−b<60−15，即−24<a−b<45，综上，17<a+13b<72（2）∵15<b<36，∴136又∵12<a<60，∴1236即134.已知−1<x+y<4, (1)求x的取值范围(2)求3x+2y的取值范围【答案】(1)1(2)−【分析】（1）两不等式相加可求x的取值范围；（2）利用待定系数法可得3x+2y=52x+y【详解】（1）∵−1<x+y<4,2<x−y<3，∴两个不等式相加可得1<2x<7解得12（2）设3x+2y=mx+y则m+n=3m−n=2，∴即3x+2y=5又∵−1<x+y<4,2<x−y<3，∴−5∴−3即−∴3x+2y的取值范围为−35.（1）已知−2<a≤3，1≤b<2，求2a−3b的取值范围；（2）已知−1≤a+b≤1，1≤a−2b≤3，则a+3b的取值范围【答案】（1）−10<2a−3b≤3；（2）−【分析】根据不等式的性质求得正确答案.【详解】（1）依题意−4<2a≤6−6<−3b≤−3，所以−10<2a−3b≤3（2）设a+3b=xa+b即a+3b=x+y所以x+y=1x−2y=3，解得x=所以a+3b=5−53≤巩固练习单选题1.若a>b>0，则下列不等式一定成立的是（

）A．ba>b+1a+1 B．a+1a【答案】C【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C.【详解】对A：若a=1，b=12，则有ba此时ba对B：若a=1，b=12，则有a+1此时a+1对C：a−b由a>b>0，故a−b>0，a+b>0，ab>0，故a−b即a−b对D：若a=1，b=12，则2a+ba+2b此时2a+ba+2b故选：C.【答案】C【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解.故选：C.3.设p=a2+a+1−1，A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q【答案】D【分析】首先配方判断p、q均大于零，然后作商即可比较大小.【详解】p=aq=a则q=a故p≤q，当且仅当a=0时，取等号，故选：D【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题.4.已知M=x2−x+3,N=x+2，则M与NA．M>N B．M<NC．M≥N D．M≤N【答案】C【分析】利用作差比较法求解.【详解】因为M−N=x所以M≥N.故选：C.多选题5.下列说法正确的有（）A．若ac2B．若a+b>2ab>1，则C．若a>b>0，则a−b>D．若a<1b<1，则【答案】AC【分析】由不等式的性质逐一判断所给命题的真假．【详解】A中，因为ac2>bc2B中，若a+b>2ab>1，a=1,b=2也可以，所以a>1C中，a>b>0,a−b−1因为a>b>0，ab>0，而1+ab＞0，所以a−b−1D中，若a<1b<1，当a=b=−2时，则ab>1，则ab<1故选：AC．6.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a,b,c∈R，则下列命题正确的是（

）A．若ab≠0且a<b，则1a>1b C．若a>b>0，则b+1a+1>ba D．若c<b<a【答案】BC【详解】对于A，取a=−2,b=1，则1a>1b不成立，故A错误；对于B，若0<a<1，则a3−a=aa2−1<0，所以a3<a，故B正确；对于C，若a>b>0，则a(b+1)−b(a+1)=a−b>0，所以7.如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1A．(a+b)2≥4ab B．当a=b时，A1，B1，C．(a−b)2≤4ab 【答案】ABD【解析】根据图形的构成，结合面积之间的关系即可求出答案.【详解】由图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a+b)2因为正方形A1B1C1D1的面积为(a−b)2，结合图形可知(a+b)2>(a−b)2，且当但是正方形A1故选：ABD【点睛】本题考查了(a−b)2，(a+b)2，8.下列命题中，不正确的是（

）A．若1a<1B．若a>b>0>c>d，则a−c<b−dC．若a>b>c>0，则bD．若−1<a<6,3<b<8，则−9<a−b<3【答案】AB【分析】利用不等式的性质，推理判断ACD；举例说明判断B.【详解】对于A，由1a<1对于B，取a=3,b=1,c=−1,d=−2，满足a>b>0>c>d，而a−c=4>3=b−d，B错误；对于C，由a>b>c>0，得0<a−b<a−c，则1a−b>1对于D，由3<b<8，得−8<−b<−3，而−1<a<6，则−9<a−b<3，D正确.故选：AB填空题9.设a=7，b=3−3，则a【答案】>【分析】由a、b均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.【详解】∵ab=7又∵b>0，∴a>b.故答案为：>.10.如果30<x<42，16<y<24，则2x−y的取值范围是.【答案】(36,68)【分析】根据同向不等式的运算规则，计算不等式的范围.【详解】∵30<x<42,∴60<2x<84,又∵16<y<24,∴−24<−y<−16,两式相加得36<2x−y<68,故答案为:(36,68).11.下列命题是真命题的为①若a>b>0>c>d，则ab>cd

②若ac²>bc²，则③若a>b>0且c<0，则ca2>c【答案】②③④【分析】由已知条件结合不等式的性质，判断结论是否正确.【详解】对于①，取a=2，b=1，c=−3，d=−4，则ab=2，cd=12，所以ab<cd，故①错误；对于②，若ac2>bc2对于③，若a>b>0，则a2>b又因为c<0，由不等式的性质可得ca对于④，若a>b且1a>1b，则故答案为：②③④．12.有外表一样、重量不同的四个小球甲、乙、丙、丁，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a+b=c+d，a+d>b+c，a+c<b，则这四个小球中最重的是，最轻的是．【答案】丁丙【分析】利用不等式的性质来化简证明即可.【详解】由a+d>b+c，a+b=c+d，可得a+d+a+b再由a+b=c+d⇒a=c+d−b，代入a>c，可得：c+d−b>c⇒d>b，再由a+c<b，因为c>0，所以b>a，即d>b>a>c，所以四个小球中最重的是丁，最轻的是丙，故答案为：丁，丙.13.若x<y<0，设M=x2+y2x−y,N=【答案】＞；【分析】利用作差法求解.【详解】解：因为x<y<0，所以x−y<0,xy>0，所以M−N=x=x−y则M−N>0，即M>N，故答案为：＞解答题14.某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式.【答案】72+12x≥408【分析】设该车工3天后平均每天需加工x个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和不小于总个数即得．【详解】设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工15−3天共加工12x个零件，15天里共加工3×24+12x个零件，则3×24+12x≥408．故不等关系表示为72+12x≥408．15.为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为am2，bm(1)若这所住宅的地面面积为100m2(2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了xm2【答案】(1)10,50(2)变好，理由见解析【分析】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果；（2）利用作差法计算比较出大小，可得结论.【详解】（1）因为b=100，所以10%解得10≤a≤50，所以这所住宅的窗洞口面积的范围为10,50m（2）由题意得0<a<b，x>0，原来的窗地面积比为ab，现在的窗地面积比为则a+xb+x−a因为0<a<b，x>0，所以.bb+x>0所以a+xb+c−a所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了.16.已知a>b>c，求证：1a−b【答案】证明见解析【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证.【详解】证明：因为a>b>c，所以a−b>0，b−c>0，a−c>0，所以4a−b所以a−ca−bb−c≥所以1a−b17.已知12<a<60,15<b<48，求a−2b,2a【答案】a−2b的取值范围是−84,30,2a【分析】根据不等式的性质运算求解【详解】因为15<b<48，所以−96<−2b<−30，又∵12<a<60，所以−84<a−2b<30，因为12<a<60，所以24<2a<120，又∵15<b<48，所以148所以244