2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（湘教版）-8 培优课16　概率统计与数列、函数的综合问题

培优课16概率统计与数列、

函数的综合问题高三一轮复习讲义湘教版第十章计数原理与概率05课时测评02题型二概率、统计与函数的综合问题题型一概率、统计与数列的综合问题01内容索引题型一概率、统计与数列的综合问题

典例1

概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步骤为：1.精准定性：即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是建立递推关系的准则.2.准确建模：即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题.3.解决模型：也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式.规律方法

返回题型二概率、统计与函数的综合问题(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi(i=0，1，2，3).(1)

已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；解：由题意，P(X=0)=0.4，P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.2，P(X=3)=0.1.所以X的分布列为所以E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.典例2X0123P0.40.30.20.1(2)

设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；证明：记f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0，由题知，p为f(x)=0的实根，由p0=1-p1-p2-p3，得f(x)=p3(x3-1)+p2(x2-1)+p1(x-1)-(x-1)=(x-1)[p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1].记g(x)=p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1，则g(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1，g(0)=p3+p2+p1-1=-p0<0.

(3)

根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.解：E(X)≤1，表示1个微生物个体繁殖下一代的个数不超过自身个数，种群数量无法维持稳定或正向增长，多代繁殖后将面临灭绝，所以p=1.E(X)>1，表示1个微生物个体可以繁殖下一代的个数超过自身个数，种群数量可以正向增长，所以面临灭绝的可能性小于1.

典例3

X345P

概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注意以下两点：1.准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键.2.注意变量的范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制.

规律方法

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X0123P

X-101P

X1012P

5.(26分)为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试)，共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.

(1)根据频率分布直方图，求a的值及样本平均数的估计值；(7分)解：因为10×(0.012+0.026+0.032+a+0.01)=1，所以a